2023年12月9日发(作者：七下数学试卷期末盐城市)

第三章 整除问题

【典型例题与基本方法】

例1 (2000年江苏省竞赛题)能整除任意三个连续整数之和的最大整数是（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

例2 (第10届“希望杯”全国邀请赛题)数2721能被500与600之间的若干整数整除，请找出这样的整数，它们是_______.

例3 (第14届“五羊杯”竞赛题)已知正整数n大于30，且使得4n1整除2002n，则n等于_______.

例4 (1990年列宁格勒数学奥林匹克竞赛题)设a和b为自然数，使得a2ab1可被b2ba1整除，证明：ab.

【解题思维策略分析】

1.灵活运用整除的基本性质求解问题

例5 若N2x78是一个能被17整除的四位数，求x.

例6 已知x，y，z均为整数，若117x2y5z，求证：113x7y12z.

例7 已知a，b为整数，且9a2abb2，求证：3a，3b.

2.善于将问题归结到运用整除的基本性质

例8 (1992-1993学年广州等五个城市联赛题)有10个数：1983331983221983，1984331984221984，...，1991331991221991，1992331992221992.下列的整数中，能整除上述10个数中的每一个数的最大整数是（ ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 12

例9 《(中等数学》2007(12)训练题)设x、y、a、m、n均为正整数，且xyam，x2y2an.求a300是多少位数.

例10 (2008年“数学周报杯”竞赛题)从1,2,...,9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除.求n的最小值.

【模拟实战】

A组 1.（第7届“五羊杯”竞赛题）能整除任意5个连续整数之和的最大整数是（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

2.（1992年江苏省竞赛题）已知7241可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（ ）.

A. 41,48 B. 45,47 C. 43,48 D. 41,47

3.有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同，则较大的四位数有（ ）种可能.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.证明：对任何正整数n，n33n25n9总能被3整除.

5.已知x，y为整数，5x9y，求证：58x7y.

6.求证：若34xy，则94x27xy2y2.

7.求证：若a为整数，则6aa12a1.

B组

1.求证：若577828161，则577838163

2.求证：若nmab，nmcd，则nadbc.

3.求证：若mpmnpq，则mpmqnp.

4.（第8届“祖冲之杯”邀请赛题）已知两个三位数abc，def的和abcdef能被37整除.证明：六位数abcdef也能被37整除.

5.（1996年安徽省竞赛题）已知1996个自然数a1,a2,,a1996满足条件：其中任意两数的和能被它们的差整除，现设na1a2a3a1996.

求证：n,na1,na2,,na1996这1997个数仍满足上述条件.

6.张华写了一个五位数，它能被9和11整除.如果去掉第一、三、五位，得到的数是35；如果去掉前三位，得到的数能被9整除；如果去掉后三位，得到的数也能被9整除.那么，这个数是多少？

7.（2008年天津市竞赛题）已知m，n都是正整数，若1mn30，且mn能被21整除，求满足条件的数对m,n的个数.

8.（2006年广东省竞赛题）三个互不相同的正整数，如果任何两个的乘积与1的和都恰好被第三个数整除，则称这样的三个正整数为“玲珑三数组”.

⑴求证：玲珑三数组中的三个正整数两两互质；

⑵求出所有的玲珑三数组.

9.如果将自然数N放在任一个自然数的右面所得的新数总可被N整除，则称N为“魔术数”.试求出所有的魔术数.


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