五年级数学最大公因数,最小公倍数练习题(含提高)

2024年4月8日发(作者：数学试卷宽怎么打印)

五年级数学最大公因数,最小公倍数练习题(含提高)

定义：

最大公约数：

最大公约数.也称最大公因数、最大公因子.指两个或多个整数共有约数中

最大的一个。a.b的最大公约数记为（a.b）.同样的.a.b.c的最大公约数记为（a.b.c）.多

个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法.常见的有质因数分解法、

短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数.a.b的最小公

倍数记为[a.b]。

质因数分解法

：把每个数分别分解质因数.再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘.

所得的积就是这几个数的最大公约数。

例如：求24和60的最大公约数.先分解质因数.得24=2×2×2×3.60=2×2×3×5.24与60

的全部公有的质因数是2、2、3.它们的积是2×2×3=12.所以.（24、60）=12。

把几个数先分别分解质因数.再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘.

所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数.得6=2×3.15=3×5.6和15的全部公有的质

因数是3.6独有质因数是2.15独有的质因数是5.2×3×5=30.30里面包含6的全部质因数2

和3.还包含了15的全部质因数3和5.且30是6和15的公倍数中最小的一个.所以

[6.15]=30。

短除法：

短除法求最大公约数.先用这几个数的公约数连续去除.一直除到所有的商互质为

止.然后把所有的除数连乘起来.所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法求最小公倍数.先用这几个数的公约数去除每个数.再用部分数的公约数去除.并把不

能整除的数移下来.一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止.然后把所有的除数和商连

乘起来.所得的积就是这几个数的最小公倍数.例如.求12、15、18的最小公倍数。[1]

短除法的格式

短除法的本质就是质因数分解法.只是将质因数分解用短除符号来进行。

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短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数.然后

落下两个数被公有质因数整除的商.之后再除.以此类推.直到结果互质为止（两个数互质）。

而在用短除计算多个数时.对其中任意两个数存在的因数都要算出.其它没有这个因数的

数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。

求最大公因数便乘一边.求最小公倍数便乘一圈。

无论是短除法.还是分解质因数法.在质因数较大时.都会觉得困难。这时就需要用新的方

法。

辗转相除法：

辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法.也叫欧几里德算

法。

这就是辗转相除法的原理。

辗转相除法的格式

例如.求（319.377）：

∵ 319÷377=0（余319）

∴（319.377）=（377.319）；

∵ 377÷319=1（余58）

∴（377.319）=（319.58）；

∵ 319÷58=5（余29）.

∴ （319.58）=（58.29）；

∵ 58÷29=2（余0）.

∴ （58.29）= 29；

∴ （319.377）=29.

可以写成右边的格式。

用辗转相除法求几个数的最大公约数.可以先求出其中任意两个数的最大公约数.再求这

个最大公约数与第三个数的最大公约数.依次求下去.直到最后一个数为止。最后所得的那个

最大公约数.就是所有这些数的最大公约数。

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更相减损法：

也叫更相减损术.是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法.它

原本是为约分而设计的.但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著.其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公

约数.即“可半者半之.不可半者.副置分母、子之数.以少减多.更相减损.求其等也。以等数

约之。”

翻译成现代语言如下：

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是.则用2约简；若不是则执

行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数.接着把所得的差与较小的数比较.并以大数减小数。继

续这个操作.直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”.就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相

减损法也叫等值算法。

例1、用更相减损术求98与63的最大公约数。

解：由于63不是偶数.把98和63以大数减小数.并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以.98和63的最大公约数等于7。

这个过程可以简单的写为：

（98.63）=（35.63）=（35.28）=（7.28）=（7.21）=（7.14）=（7.7）=7

最小公倍数：

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。两个或多个整数的公倍数

里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。

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分解质因数法：

先把这几个数的质因数写出来.最小公倍数等于它们所有的质因数的乘

积（如果有几个质因数相同.则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多.乘较多的次数）。

比如求45和30的最小公倍数。

45=3*3*5

30=2*3*5

不同的质因数是2,3,5。3是他们两者都有的质因数.由于45有两个3.30只有一个3.所

以计算最小公倍数的时候乘两个3.

最小公倍数等于2*3*3*5=90

又如计算36和270的最小公倍数

36=2*2*3*3

270=2*3*3*3*5

不同的质因数是5。2这个质因数在36中比较多.为两个.所以乘两次；3这个质因数在

270个比较多.为三个.所以乘三次。

最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=540

20和40的最小公倍数是40[4]

公式法：

由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a.b）×

[a.b]=a×b。所以.求两个数的最小公倍数.就可以先求出它们的最大公约数.然后用上述公

式求出它们的最小公倍数。

例如.求[18.20].即得[18.20]=18×20÷（18.20）=18×20÷2=180。求几个自然数的最

小公倍数.可以先求出其中两个数的最小公倍数.再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍

数.依次求下去.直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数.就是所求的几个数的最小

公倍数。

常用结论：

在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时.常用到以下结论：

（1）如果两个自然数是互质数.那么它们的最大公约数是1.最小公倍数是这两个数的乘积。

例如8和9.它们是互质数.所以（8.9）=1.[8.9]=72。

（2）如果两个自然数中.较大数是较小数的倍数.那么较小数就是这两个数的最大公约数.较

大数就是这两个数的最小公倍数。

例如18与3.18÷3=6.所以（18.3）=3.[18.3]=18。

（3）两个整数分别除以它们的最大公约数.所得的商是互质数。

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例如8和14分别除以它们的最大公约数2.所得的商分别为4和7.那么4和7是互质数。

（4）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

例如12和16.（12.16）=4.[12.16]=48.有4×48=12×16.即（12.16）× [12.16]=12×16。

例1：两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？

15×1=15,15×6=90；当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=30,15×3=45。所以.

这两个数是15和90或者30和45。

例2：两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少？

分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的

最大公因数与最小公倍数的积。根据这一规律.我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷

120=3。又因为（甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互质数.所以,a和b可以

是1和40,也可以是5和8。当a和b是1和40时.所求的数是3×1=3和3×40=120；当a

和b是5和8时.所求的数是3×5=15和3×8=24。

分析甲跑一圈需要600÷3=200秒.乙跑一圈需要600÷4=150秒.丙跑一圈需要600÷

2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发.经过的时间一定是200、150和300的最小公倍

数。200、150和300的最小公倍数是600,所以.经过600秒后三人又同时从出发点出发。

综合练习：

一. 填空题。

1.

a和b

都是自然数.如果

ab10

.

a和b

的最大公约数是（ ）.最小公倍数是

（ ）。

2. 甲

235

.乙

237

.甲和乙的最大公约数是（ ）×（ ）＝（ ）.

甲和乙的最小公倍数是（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝（ ）。

3. 所有自然数的公约数为（ ）。

4. 如果m和n是互质数.那么它们的最大公约数是（ ）.最小公倍数是（ ）。

5. 在4、9、10和16这四个数中.（ ）和（ ）是互质数.（ ）和（ ）是

互质数.（ ）和（ ）是互质数。

6. 用一个数去除15和30.正好都能整除.这个数最大是（ ）。

7. 两个连续自然数的和是21.这两个数的最大公约数是（ ）.最小公倍数是（ ）。

8. 两个相邻奇数的和是16.它们的最大公约数是（ ）.最小公倍数是（ ）。

9. 某数除以3、5、7时都余1.这个数最小是（ ）。

10. 根据下面的要求写出互质的两个数。

（1）两个质数（ ）和（ ）。

（2）连续两个自然数（ ）和（ ）。

（3）1和任何自然数（ ）和（ ）。

（4）两个合数（ ）和（ ）。

（5）奇数和奇数（ ）和（ ）。

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