高中数学文化鉴赏-阿基米德

2023年12月20日发(作者：阳光同学数学试卷答案)

【高中数学文化鉴赏】阿基米德一、单选题1.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为为20π，则椭圆C的标准方程为( )y2x2A.+=154y2x2B.+=12516y2x2C.+=145y2x2D.+=116253，面积52.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为为125π．则椭圆C的标准方程为( )y2x2A.+=12036y2x2B.+=195y2x2C.+=13620y2x2D.+=1592，面积33.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A-1,0,B1,0的距离之比为3，则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为( )A.25-3B.5-3C.25D.34.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为24π，则该模型中圆柱的体积为( )A.32π3B.4πC.16πD.8235.阿基米德(Archimedes，公元前287年-公元前212年)是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学

家，他推导出的结论“圆柱内球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．如图所示，若球的体积为12π，则圆柱的体积为( )A.8πB.12πC.18πD.24π6.阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为y2x2A.+=19167，面积为12π，则椭圆C的方程为( )4y2x2C.+=134y2x2D.+=143y2x2B.+=11697.“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，他死后，墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形．如图，球与圆柱的侧面及上、下底面相切，设圆柱体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则A.12m=( )nB.1C.2D.48.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在y轴上，椭圆C的面积为23π，且短轴长为23，则椭圆C的标准方程为(　　)x2A.+y2=112y2x2B.+=143y2x2C.+=134y2x2D.+=11639.阿基米德(Archimedes，公元前287年-公元前212年)，出生于古希腊西西里岛叙拉古(今意大利西西里岛上)，伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫

做阿基米德三角形(过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形)，他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的于△PAB面积的2(即右图中阴影部分面积等3p2)．若抛物线方程为y2=2px(p>0)，且直线x=与抛物线围成封闭图形的面32积为6，则p=( )A.1B.2C.32D.310.如图，在平面直角坐标系中，阿基米德曲线与坐标轴依次交于点A1-1,0,A20,-2,A33,0,A40,4,A5-5,0,A60,-6,A77,0,A80,8,⋯，按这样的规律继续下去.则以下命题中，正确的特称命题是( )A.对于任意正整数n,AnAn+2=2n+2B.存在正整数n,AnAn+1=2022C.存在正整数n,AnAn+1为有理数D.对于任意正整数n,AnAn+1为无理数11.阿基米德(公元前287年-公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为3x-3y+6=0，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是( )A.AB=⊥⊥ABD.点P的坐标为3,-212.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，x2我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C:2ay2+2=1(a>b>0)的面积为62π，两个焦点分别为F1,F2，点P为椭圆C的上项点．直线y=kx与b椭圆C交于A，B两点，若PA,PB的斜率之积为-8，则椭圆C的长轴长为( )9

A.3B.6C.22D.4213.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为( )A.B.4π352π3C.4πD.8π14.我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB.已知直线l：y=k(x-1)与抛物线C：y2=4x交于A，B点，若AB=8，记此时抛物线C的“阿基米德三角形”为△PAB，则P点为( )A.-1,±2B.-1,2C.-1,-2D.-1,±115.古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的22，且球的表面积也是圆柱表面积的.已知体积为63π33的圆柱的轴截面为正方形.则该圆柱内切球的表面积为( )A.12πB.63πC.6πD.43π16.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1、F2在x轴上，椭圆C的面积为23π，且离心率为y2x2A.+=1431，则C的标准方程为( )2y2x2C.+=134y2x2D.+=1163x2B.+y2=112

17.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1-1,0,A20,-2,A33,0,A40,4,A5-5,0,A60,-6､A77,0,A80,8，并按这样的规律继续下去，给出下列两个结论：①存在正整数n,△AnAn+1An+2的面积为2022；②对于任意正整数n,△AnAn+1An+2为锐角三角形.则( )A.①错误，②错误B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①正确，②正确18.我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直线l:y=kx-1与抛物线y2=4x交于A，B点，若AB=8，则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB顶点P的纵坐标为( )A.±1B.±2C.±3D.±1219.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线x2=4y的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为( )A.2B.3C.4D.520.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为2的正方体截去八

个一样的四面体，就得到二十四等边体，则下列说法错误的是( )A.该几何体外接球的表面积为4πB.该几何体外接球的体积为4π3C.该几何体的体积与原正方体的体积比为2：3D.该几何体的表面积比原正方体的表面积小二、填空题21.半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示.这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为1202cm，则此石凳的体积是___________cm3.22.阿基米德(公元前287-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”y2x2得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C:2+2=ab1a>b>0经过点P2,1，则当e+b取得最大值时，椭圆的面积为_________．a23.阿基米德多面体(Archimedeanpolyhedra)是由两种或三种正多边形面组成的半正多面体.它共有13种，其特点是棱长相等.如图1，顺次连接棱长为2的正方体各棱的中点，得到一个阿基米德多面体，如图2，在此阿基米德多面体的所有棱中任取两条，则两条棱垂直的概率为___________.

24.半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为V1的二十四等边体，其外接球体积为V2，则_____.V2=____________V125.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：y=[x](x∈R)，[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.6]=-2，[1.6]=1，[2]=2，则关于x的不等式[x]2+[x]-12<0的解集为__________.26.已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，p=a+b+c，则△ABC的面积S=2pp-ap-bp-c，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若△ABC的周长为15，则△ABC的面积为__________sinA+sinB:sinB+sinC:sinC+sinA=4:6:5，_________．27.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现．如图，在底面半径为2的圆柱O1O2内有球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，设A,B分别为圆柱O1O2的上、下底面圆周上一点，且O1A与O2B所成的角为90∘，直线AB与球O的球面交于两点M,N，则线段MN的长度为______．

28.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A､B两点，分别过A､B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线x2=4y的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为___________.29.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数，例如π=3，定义函数fx=x-x，则下列命题中正确的-1.08=-2，序号是________．①函数fx的最大值为1；②函数fx的最小值为0；③函数y=fx的图象与直线y=④fx+1=fx1有无数个交点 230.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2．已知函数f(x)=sin|x|+|sinx|，函数g(x)=[f(x)]，则下列命题正确的是__________．①函数g(x)是周期函数； ②函数g(x)的值域是{0,1,2}；③函数g(x)的图象关于x=④方程π对称； 2π⋅g(x)=x只有一个实数根；2