2024年1月17日发(作者：砚山的数学试卷)

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2016考研数学（一）试题（完整版）

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

（1） 若反常积分01dx收敛，则

abx(1x)（A）a1且b1. （B）a1且b1.

（C）a1且ab1. （D）a1且ab1.

2(x1),x1,（2）已知函数f(x)则f(x)的一个原函数是

lnx,x1,(x1)2,(x1)2,x1.x1.（A）F(x)（B）F(x)

x(lnx1)1,x1.x(lnx1),x1.(x1)2,(x1)2,x1.x1.（C）F(x)（D）F(x)

x(lnx1)1,x1.x(lnx1)1,x1.（3）若y(1x2)21x2，y(1x2)21x2是微分方程y\'p(x)yq(x)的两个解，则q(x)

（A）3x(1x2). （B）3x(1x2).

（C）xx. （D）.

1x21x2x,（4）已知函数f(x)1,nx0,11x,n1,2,n1n,则

（A）x0是f(x)的第一类间断点. （B）x0是f(x)的第二类间断点.

（C）f(x)在x0处连续但不可导. （D）f(x)在x0处可导.

（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是

（A）AT与BT相似（B）A1与B1相似

（C）AAT与BBT相似（D）AA1与BB1相似

22x34x1x24x1x34x2x3，则f(x1,x2,x3)2在空间直角（6）设二次型f(x1,x2,x3)x12x2坐标下表示的二次曲面为

（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面

（C）椭球面（D）柱面

（7）设随机变量X~N(,2)(0)，记pP{X2}，则

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（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加

（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少

1（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为。将3试验E独立重复做2次，Y表示2次试验中结果A2发X表示2次试验中结果A1发生的次数，生的次数，则X与Y的相关系数为

（A）（B）（C）（D）

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.

（9）limx0x0tln(1tsint)dt1cosx2_______.

（10）向量场A(x,y,z)(xyz)ixyjzk的旋度rotA_______.

（11）设函数f(u,v)可微，zz(x,y)由方程(x1)zy2x2f(xz,y)确定，则

dz|(0,1)______.

（12）设函数f(x)arctanxx，且f\'\'(0)1，则a______.

21ax1001（13）行列式004320011______.

（14）设x1,x2,,xn为来自总体N(,2)的简单随机样本，样本均值x9.5，参数置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.

三、解答题：15~23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）

已知平面区域D=(r,)|2r2(1cos),题满分10分）

设函数y(x)满足方程y\'\'2y\'ky0，其中0k1.

（I）证明：反常积分02（本，计算二重积分xdxdy.（16）2Dy(x)dx收敛；

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（II）若y(0)1，y(0)1，求\'0y(x)dx的值.

（17）（本题满分10分）

f(x,y)设函数f(x,y)满足(2x1)e2xy，且f(0,y)y1，Lt是从点(0,0)到点(1,t)的x光滑曲线。计算曲线积分I(t)

（18）（本题满分10分）

设有界区域由平面2xy2z2与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分I(x21)dydz2ydzdx3zdxdy。

Ltf(x,y)f(x,y)dxdy，并求I(t)的最小值。

xy（17）（本题满分10分）

f(x,y)设函数f(x,y)满足(2x1)e2xy，且f(0,y)y1，Lt是从点(0,0)到点(1,t)的x光滑曲线。计算曲线积分I(t)

（18）（本题满分10分）

设有界区域由平面2xy2z2与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分I(x21)dydz2ydzdx3zdxdy。

Ltf(x,y)f(x,y)dxdy，并求I(t)的最小值。

xy（21）（本题满分11分）

011已知矩阵A230

000（Ⅰ）求A99

（Ⅱ）设3阶矩阵B(1,2,3)满足B2BA。记B100(1,2,3)，将1,2,3分别表示为1,2,3的线性组合。

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量(X,Y)在区域D(x,y)|0x1,x2yx上服从均匀分布，令1,U0,XY.XY.

（I）写出(X,Y)的概率密度；

（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；

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（III）求ZUX的分布函数F(z).

（23）（本题满分11分）

3x2X1,X2,X3为来,0x,其中设总体的概率密度为f(x,)3为未知参数，（0，+）0,其他，自总体X的简单随机样本，令Tmax(X1,X2,X3)，

（Ⅰ）求T的概率密度；

（Ⅱ）确定a，使得aT为的无偏估计。


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