深入数学本质感悟数学精神

2024年4月5日发(作者：小升初数学试卷合肥)

深入数学本质感悟数学精神

第一篇：深入数学本质感悟数学精神

深入数学本质感悟数学精神

文献[1]中，许晓天老师对数学归纳法进行了系统研究，并在听课、

评课的基础之上对数学归纳法进行了理性思考.笔者欣赏之余亦发现文

献[1]中存在着三个“忽视”，而这三个“忽视”的内容恰是揭示数学

归纳法本质的重要支撑点，是学生发现、认识、理解数学归纳法必须

要经历的阶段，笔者借此机会把这三个“忽视”给予补充，供同行参

阅.1第一个忽视――如何确定第一步中n的起始值

文献[2]把数学归纳法分成2课时，例题的个数达到5个，包含了

与正整数有关的恒等式、数的整除性、数列的通项及前n项的和等问

题，但没有涉及不等式的证明问题.对于数学归纳法的教学，在文献[3]

中明确指出：要把重点放在第二步上，其关键在于让学生弄清“归纳

假设”是什么（即当n=k时，命题是什么），要证明的又是什么（即

当n=k+1时，命题是什么）.在此教学建议下，第二步成为了课堂上讨

论、研究的核心.笔者认为，这样的教学处理，虽对学生的做题有帮助，

但却不利于学生理解数学归纳法本质.文献[1]虽然对第一步做了理性的

思考，并概括为“一个足够，多了没用”，但是仍然没有揭示数学归

纳法第一步的本质问题.下面笔者结合文献[2]中的一道纠错题给出说明.

题目设n∈N*，求证：2n>n2.证明：①n=1时，21>12，不等式显然

成立.②假设当n=k时不等式成立，即2k>k2，那么，当n=k+1时，

有2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=（k+1）2.这就是说，

当n=k+1时不等式也成立.根据①和②，可知对任何n∈N*不等式都

成立.请分析上述问题用数学归纳法证明过程中的错误.错误剖析第二步

证明有错.一般地，对自然数k，当k≥3时，k2≥2k+1才成立，即当

k≥3时，第二步才能无限地运行下去.那么，如何来确定第一步中n的

起始值呢？我们现在来规定多米诺骨牌一个新的游戏规则：从第三块

骨牌开始，前一块倒下后一定能击倒下一块.在这样的规则要求下，如

果要使所有的骨牌都倒下，只要做三件事：第一，推倒第一块骨牌

（第二块骨牌未倒下）；第二，推倒第二块骨牌（第三块骨牌未倒

下）；第三，推倒第三块骨牌（从第三块开始，前一块倒下后一定能

击倒下一块）.即第二步能无限传递下去的基础是第三块骨牌倒下，也

就是说第一步中起始值不一定是1，因此，起始值的选择要根据题目所

给条件和第二步综合确定.需要特别指出的是，多米诺骨牌毕竟不是数

学问题，重要的是通过直观化处理为学生提供了一种“数学化”（所

谓数学化，是指通过一种组织与构建的活动，运用已有的知识与技能

去发现未知的规律、关系和结构.简言之，数学地组织现实世界的过程

就是数学化）思想，有利于帮助学生对第一步本质的认识.在此题目中，

我们要找出n≥3时，不等式2n>n2成立的最小正整数.当n=3时，

2nn2.从而，本题中第一步起始值应为5，当n≥5时，第二步才具有实

质上的无限传递性，即证得n≥5时，2n>n2.至此，数学归纳法第一步

的本质不攻自破.因此，在教学过程中，教师必须让学生经历起始值的

讨论，因为这是数学归纳法第二步论证的基础.就像玩多米诺骨牌一样，

在“前一块倒下后一定能击倒下一块”的游戏规则下，如果我们不推

倒第一块骨牌，那么所有的骨牌能倒下吗？

下面再利用文献[4]中的一道题说明确定起始值的重要性：

例题用数学归纳法证明：（1+2+3+…+n）（1+12+13+…+1n）

≥n2，其中n∈N*.证明①n=1时，不等式显然成立，n=2时，不等式

的左边=（1+2）×（1+12）=92，右边=22=4，不等式也成立.②假

设当n=k（k≥2）时不等式成立，即（1+2+3+…+k）

（1+12+13+…+1k）≥k2成立，则当n=k+1时，有[1+2+3+…+k+

（k+1）]1+12+13+…+1k+（1k+1）=（1+2+3+…+k）

（1+12+13+…+1k）+1+2+3+…+kk+1+（1+12+13+…+1k）

（k+1）+1≥k2+k（k+1）2（k+1）+（1+12）（k+1）

+1>k2+k2+3k2+1=（k+1）2.这就是说，当n=k+1时不等式也成

立.根据①和②，可知对任何n∈N*不等式都成立.说明本题结合不等关

系1+12+13+…+1n≥1+12，n≥2来证明，但注意要将第一步的起点

后移，即第一步中的起始值为2.因此，在第一步证明中，不仅要证明

当n=2时，不等式成立，还要说明当n=1时不等式成立.2第二个忽