2024年4月9日发(作者：八上基训数学试卷答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案
题 号
得 分
评卷人
复查人
一
1～5
二
6～10
11
三
12 13
14
总 分
答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.
2．解答书写时不要超过装订线.
3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了
代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确
选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）
424
1．已知实数
x，y
满足
4
2
3，y
4
y
2
3
，则
4
y
4
的值为（ ）．
xxx
（A）7 （B）
【答】（A）
解：因为
x
2
0
，
y
2
≥0，由已知条件得
1244431131143113
2
， ，
y
2
x8422
113713
（C） （D）5
22
所以
42
42
y33y
42
xx
2
2
y6
7．
2
x
2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数
yx
2
mxn
的
图象与x轴有两个不同交点的概率是（ ）．
54171
（A） （B） （C） （D）
129362
- 1 -
【答】（C）
解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知
＝
m
2
4n
＞0，即
m
2
＞4
n
.
通过枚举知，满足条件的
m，n
有17对. 故
P
17
.
36
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，
则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．
（A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条
【答】（B）
解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，
D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上
的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD
的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D
的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两
连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．
所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．
4．已知
AB
是半径为1的圆
O
的一条弦，且
ABa1
．以
AB
为一边在圆
O
内作正△
ABC
，点
D
为圆
O
上不同于点A的一点，且
DBABa
，
DC
的延长
线交圆
O
于点
E
，则
AE
的长为（ ）．
（A）
（第3题）
53
（D）a
a
（B）1 （C）
22
【答】（B）
解：如图，连接OE，OA，OB． 设D
，
则
ECA120
EAC
．
又因为
11
ABD
601802
22
120
，
所以
△ACE
≌
△ABO
，于是
AEOA1
．
ABO
（第4题）
- 2 -
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其
中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法
有（ ）．
（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种
【答】（D）
解：设
a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5
是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于
a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之
后都是偶数，与已知条件矛盾．
又如果
a
i
（1≤i≤3）是偶数，
a
i1
是奇数，则
a
i2
是奇数，这说明一个偶数
后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以
a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5
只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足
条件：
2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：
uvuvv
．若关于x的方程
x(ax)
1
有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围
4
是 ．
【答】
a0
，或
a1
．
1
解：由
x(ax)
，得
4
(a1)x
2
(a1)x
1
0
，
4
a10，
依题意有
2
(a1)(a1)0，
解得，
a0
，或
a1
．
- 3 -
7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔
3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且
18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．
【答】4．
解：设18路公交车的速度是
x
米/分，小王行走的速度是
y
米/分，同向行驶
的相邻两车的间距为
s
米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则
6x6ys
． ①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则
3x3ys
． ②
s
4
．
x
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．
由①，②可得
s4x
，所以
8．如图，在△
ABC
中，AB=7，AC=11，点M是BC的
中点， AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长
为
．
【答】9．
解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥
AB
．
又
MF//AD
，
所以
FMNBADDACMFN
，
1
AB
．
2
11
因此
FCFNNCABAC
9．
22
（第8题）
所以
FNMN
（第8题答案）
9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥
BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 ．
【答】
16
．
3
解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的
- 4 -
高为
h
a
，则
11
ah
a
S
△ABC
(abc)r
，
22
所以
ra
．
h
a
abc
因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成
比例，因此
h
a
r
DE
，
h
a
BC
（第9题答案）
所以
DE
h
a
r
ra
a(1a)(1a
)
h
a
h
a
abc
a(bc)
，
abc
8（7）916
． 故
DE
8793
10．关于x，y的方程
x
2
y
2
208(xy)
的所有正整数解为 ．
x48，
x160，
【答】
y32，y32.
解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平
方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．
设
x2a,y2b
，则
a
2
b
2
104(ab)
，
同上可知，a，b都是偶数．设
a2c,b2d
，则
c
2
d
2
52(cd)
，
所以，c，d都是偶数．设
c2s,d2t
，则
s
2
t
2
26(st)
，
于是
(s13)
2
(t13)
2
＝
213
2
，
- 5 -
其中s，t都是偶数．所以
(s13)
2
213
2
(t13)
2
≤
213
2
15
2
11
2
．
所以
s13
可能为1，3，5，7，9，进而
(t13)
2
为337，329，313，289，
s6，
s20，
257，故只能是
(t13)
＝289，从而
s13
＝7．于是
t4；t4，
2
，
x16，0
x48
因此
y32，
y32.
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
（k0）
11．在直角坐标系xOy中，一次函数
ykxb
的图象与
x
轴、
y
轴
的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于
OAOB3
．
（1） 用b表示k；
（2） 求△OAB面积的最小值．
解：（1）令
x0
，得
yb，b0
；令
y0
，得
x
b
0，k0
．
k
b
（，0)，B(0，b)
，于是，△OAB的面积为 所以A，B两点的坐标分别为
A
k
1b
Sb()
．
2k
由题意，有
1bb
b()b3
，
2kk
2bb
2
解得
k
，
b2
．
2(b3)
……………… 5分
（2）由（1）知
1bb(b3)(b2)
2
7(b2)10
Sb()
2kb2b2
b2
1010
2
7(b2)7210
b2b2
≥
7210
，
- 6 -
10
时，有
S7+210
，即当
b210
，
k1
时，不等式
b2
中的等号成立．
当且仅当
b2
所以，△OAB面积的最小值为
7210
． ……………… 15分
12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程
px
2
qxp0
有有理数根？
解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令
q
2
4p
2
n
2
，
其中n是一个非负整数．则
(qn)(qn)4p
2
．
……………… 5分
由于1≤
qn
≤q+n，且
qn
与
qn
同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几
种可能情形：
qn2，
2
qn2p，
2
qn4，
2
qnp，
p
qn，
qn4，p
p
qnp
2
，
qn2，
qn2，p
qn4.
p
2
5pp
2
消去n，解得
qp1， q2， q， q2p， q2
．
222
……………… 10分
对于第1，3种情形，
p2
，从而q＝5；对于第2，5种情形，
p2
，从
而q＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
1
又当
p2
，q＝5时，方程为
2x
2
5x20
，它的根为
x
1
，x
2
2
，它
2
们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数． ……………… 15分
- 7 -
13．如图，△
ABC
的三边长
BC，aC，AbAa，b，c
都是整数，，
且
a，b
的最大公约数为
2
．点
G
和点
I
分别为
△
ABC
的重心和内心，且
GIC90
．求△
ABC
的周长．
（第13题）
解：如图，延长
GI
，与边
BC，CA
分
别交于点
P，Q
．设重心
G
在边
BC，CA
上
的投影分别为
E，F
，△
ABC
的内切圆的
半径为
r
，
BC，CA
边上的高的长分别为
h
a
，h
b
，易知CP＝CQ，由
S
△PQC
S
△GPC
S
△GQC
，
可得
2rGEGF
即
2
（第13题答案）
1
h
a
h
b
，
3
2S
△ABC
1
2S2S
△AB
C△
abc3
ab
ABC
，
从而可得
abc
6ab
．
ab
……………… 10分
因为△
ABC
的重心G和内心
I
不重合，所以，△
ABC
不是正三角形，且
ba
，否则，
ab2
，可得
c2
，矛盾．
不妨假设
ab
，由于
a，b
2
，设
a2a
1
，b2b，，b
a
1
，于是有
111
6ab
12a
1
b
1
为整数，所以有
(a
1
b
1
)12
，即
(ab)24
．
aba
1
b
1
于是只有
a14，b10
时，可得
c11
，满足条件．
因此有
abc35
．
所以，△
ABC
的周长为35．
……………… 15分
- 8 -
14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，
也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．
解：当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．
……………… 5分
当n＝5时，设
a
1
，a
2
，，a
5
是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任
意若干个数，它们的和都不能被10整除，则
a
1
，a
2
，，a
5
中不可能同时出现1
和9；2和8；3和7；4和6．于是
a
1
，a
2
，，a
5
中必定有一个数是5．
若
a
1
，a
2
，，a
5
中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；
于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但
是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．
若
a
1
，a
2
，，a
5
中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；
于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但
是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．
综上所述，n的最小值为5．
……………… 15分
- 9 -
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