北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结

2024年3月17日发(作者：数学试卷幼儿园整点)

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结

第一章 勾股定理

1、勾股定理

（

1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c

的平方，即

a

2

b

2

c

2

（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面

积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……

（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法

或等积法）

（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系

a

2

b

2

c

2

，

那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：

满足

a

2

b

2

c

2

的三个正整数a，b，

c，称为勾股数。

常见的勾股数有：

（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）

（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……

规律：

（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边

是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a

2

那么a,b,c就

是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）

（9,40,41）……

（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一

组勾股数分别是：2n,n

2

-1,n

2

+1 米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测

如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

4、常见题型应用：

A A

E

（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上

的高线/周长/面积……

C B C B D

（1） （2）

（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长

思维入门指导：梯子顶端A下落的距离为AE，即

之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面求AE的长。已知AB和BC，根据勾股定理可求AC，

积…… 只要求出EC即可。

（3）判定三角形形状： a

2

+b

2

＞c

2

锐角~，a

2

解：在Rt△ACB中，AC

2

=AB

2

-BC

2

=2.5

2

-1.5

2

=4，

+b

2

=c

2

直角~，a

2

+b

2

＜c

2

钝角~ ∴AC=2

判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的

∵BD=0.5，∴CD=2

平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.

确定形状

在RtECD中，EC

2

ED

2

CD

2

2.5

2

2

2

2.25

（4）构建直角三角形解题 ∴EC=1.5

例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为

AEACEC215.05.

10。求直角三角形的两直角边。

答：梯子顶端下滑了0.5米。

解：设两直角边为3x，4x，由题意知：

点拨：要考虑梯子的长度不变。

例5. 如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠

222222

ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

(3x)(4x)100，9x16x100，25x100，x4

A

∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。

D

中考突破

C B

（1）中考典题

思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD，

例. 如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端

似乎不

得要领，连结AC，求出S

ABC

S

ACD

即可。

A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5

解：连结AC，在Rt△ADC中，

A

D

C B

AC

2

CD

2

AD

2

12

2

9

2

225

AC15

在△ABC中，AB

2

=1521

AC

2

BC

2

15

2

36

2

1521

AB

2

AC

2

BC

2

，ACB90°

1

S

ABC

S

ACD



2

ACBC

1

2

ADCD



11

2

1536

2

12927054216(m

2

)

答：这块地的面积是216平方米。

点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角

形判定条件。

第二章 实数

基本知识回顾

1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。





算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于，a

实数

即x

2



a

负有理数



那么这个非负数



x就叫做a的算术平方根，记为a，

算术平方根为

正无理数



非负数a0







正数的平方根有2个，它们互为相反数

无理数 无限不循环小





平方根







0的平方根是0





数







负数没有平方根

2.无理数的表示





定义：如果一个数的平方等a于，即x

2

a，那么这

个

数

就

负无理数





叫做a的平方根，记为a



2、无理数：

无限不循环小数叫做无理数。





正数的立方根是正数





立方根







负数的立方根是负数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时











0的立方根是0

之，归纳起来有四类：





定义：如果一个数x的立方等于，a即x

3

a，那么这

（

个

1）开方开不尽的数，如

数x

7,

3

2

等；





就叫做a的立方根，记为

3

a.

2）有特定意义的数，

（如圆周率π，或化简后含



概念有理数和无理数统称实数

有π的数，如π/3+8等；





（3）有一定规律，但并不循环的数，如





分类





正数



有理数



或







0

0.1010010001…等；



3.实数及其相关概念







无理数









负数

（4）某些三角函数值，如sin60

o

等



绝对值、相反数、倒数的意义同有理数



二、实数的倒数、相反数和绝对值



实数与数轴上的点是一一对应



1、相反数



实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则



实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两



运算规律相同。

个数叫做互为相反数，零的相反数是零）

，从数轴上

看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，

一、实数的概念及分类

如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之

1、实数的分类

亦成立。

正有理数

2、绝对值

有理数 零 有限小数和

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫

无限循环小数