2024年3月17日发(作者：汕头濠江历年中考数学试卷)
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新定义问题
中考要求
近年来的中考题中，涌现了大量的着重考查学生的创新意识、创新精神为目的的新型试题——新“定义”问题，
它们重在考查学生阅读、分析、仿练、归纳、内化等综合能力，培养学生自主学习、主动探究的品质．
【题型特点】
所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的
基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的
符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学
生创新意识．主要包括以下几种类型：（1）概念的“新定义”；（2）运算的“新定义”；（3）新规则的“新定义” ；
（4）实验操作的“新定义”；（5）几何图形的新定义．
概念新定义
例1、小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a
1
x
2
＋b
1
x＋c
1
（a
1
≠0，a
1
，b
1
，c
1
是常数）与y＝a
2
x
2
＋b
2
x＋c
2
（a
2
≠0，a
2
，b
2
，c
2
是常数）
满足a
1
＋a
2
＝0，b
1
＝b
2
，c
1
＋c
2
＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y＝－x
2
＋3x－2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y＝－x
2
＋3x－2可知，a
1
＝－1，b
1
＝3，c
1
＝－2，根据a
1
＋a
2
＝0，b
1
＝b
2
，c
1
＋c
2
＝0，
求出a
2
，b
2
，c
2
，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝－x
2
＋3x－2的“旋转函数”；
（2）若函数
yx
（3）已知函数
y
2
4
mx2
与y＝x
2
－2nx＋n互为“旋转函数”，求（m＋n）
2015
的值；
3
1
(x1)(x4)
的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称
2
1
点分布是A
1
，B
1
，C
1
，试证明经过点A
1
，B
1
，C
1
的二次函数与函数
y(x1)(x4)
互为“旋转函数．”
2
y(x0)
练习1：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y’），给出如下定义：若
y\'
则称点Q为点P
y(x0)
的“可控变点”.例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（－1，3）的“可控变点”为点（－1，－3）.
（1）若点（－1，－2）是一次函数y＝x＋3的图像上点M的“可控变点”，则点M的坐标为___________
（2）若点P在函数y＝－x2＋16（－5≤x≤a）的图像上，其“可控变点”Q的纵坐标y’的取值范围是－16≤y’≤16，
则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿
运算新定义
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例2. 定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．
（1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是 ．
（2）如果[
练习2：新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．
若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程
x1
]=3，求满足条件的所有正整数x．
2
11
＋＝1的解为____．
x1m
规则新定义
例3、图1，已知四边形ABCD，点P为平面内一动点. 如果∠PAD=∠PBC，那么我们称点P为四边形ABCD关于
A、B的等角点. 如图2，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6.
（1）若A、D两点的坐标分别为A（0，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，
则点P的坐标为＿＿＿＿＿＿；
（2）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，
求点P的坐标；
（3）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（10，4），点P（x，y）为四边形ABCD关于A、B的等角点，
其中x＞2，y＞0，求y与x之间的关系式.
练习3：定义：平面内的直线
l
1
与
l
2
相较于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线
l
1
，
l
2
的距离分别为a、b，
则称有序非负实数对（a,b）是点M的“距离坐标”。根据上述定义，距离坐标为（2,3）的点的个数是_______。
操作新定义
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