微分方程共轭复根α与β公式

2024年4月6日发(作者：成都初中中考数学试卷)

微分方程共轭复根α与β公式

微分方程是生物、力学、物理等自然科学学科中的重

要内容，解方程也是其中最关键的难点。微分方程中的共

轭复根是其中一个重要的理论基础，通过公式的运用，可

以更加方便地求解微分方程。本文将从共轭复根的定义，

及其在微分方程中的运用，详细阐述微分方程共轭复根α

与β公式。

1. 共轭复根的定义

在解一个微分方程时，常常出现一个常系数线性齐次

微分方程，如下：

y\'\'+by\'+cy=0

其中，b、c均为常数，此时我们可以将微分方程的特

征方程写作：

λ^2+bλ+c=0

将特征方程的求解过程展开，可以得到特征根为：

λ1=(-b+i√(4ac-b^2))/2，λ2=(-b-i√(4ac-

b^2))/2

当特征根的虚部皆为非零实数时，称其为共轭复根。

因此，共轭复根可表示为：

α=-b/2+i√(4ac-b^2)/2

β=-b/2-i√(4ac-b^2)/2

2. 共轭复根在微分方程中的运用

在微分方程中，当出现共轭复根时，我们可以通过以

下公式求解：

y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)

此处，C1、C2为常数，而e为自然对数的底数。此

时，可通过求解常数C1、C2来得到方程的通解，从而获得

未知函数的求解。

3. 微分方程共轭复根α与β公式

根据公式y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)，我们可以

将其转化为较为简洁的公式：

y=e^(-b/2x)(Acos(√(4ac-b^2)/2)x+Bsin(√(4ac-

b^2)/2)x)

此处，A、B为待求解的常数。

以上便是微分方程共轭复根α与β公式的详细阐

述。需要特别注意的是，当微分方程的特征方程存在共轭

复根时，根据以上公式求解时应进行适当的区分，以便获

得准确的解答。