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梁昆淼理论力学答案
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【篇二：理论力学】
>学时：68 学分：4 适用专业：物理学
一、课程的性质、目的和任务
理论力学是物理学专业的理论物理必修课程，本课程的目的是在普通物理力学课程的基础
上进一步全面系统的理解宏观机械运动规律，并能较熟练地运用数学语言描述机械运动的基本
概念和基本规律，掌握处理力学问题的一般方法，培养学生抽象思维与严密的逻辑推理能力，
分析问题和解决问题的能力。
二、教学基本要求
（1）通过学习掌握牛顿力学的理论体系，理解牛顿力学的基本概念和基本规律；
（2）了
解分析力学处理力学问题的思维方式，理解分析力学的基本概念和基本原理和基本方程；
（3）能用牛顿力学的理论和数学工具求解较复杂的力学问题，能用分析力学的方法处理简
单的力学问题。通过学习提高学生逻辑思维能力及分析问题和解决问题的能力；
（4）为后续课程的学习奠定基础。
三、课程教学内容
（一） 牛顿力学的基本原理
绪论
1．质点运动的描写
参考系和坐标 质点的运动轨道 速度和加速度 长度恒定的矢量转动时的时间变化率
2．牛顿定律
3．质点运动的基本定理
质点动量定理 质点动量矩定理 质点动能定理
4．保守力、势能和机械能守恒定律
5．质点运动的相空间和相轨迹
一维简谐振动的相轨迹 单摆运动的相轨迹
说明：
（1）本章内容应在普通力学的基础上系统化，能够较熟练地运用质点力学的理论处理较为
复杂的问题。
（2）质点运动学中要求学生熟练掌握在直角坐标系、极坐标、自然坐标下处理二维运动学
问题。了解在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系处理三维运动学问题。
（3）能掌握建立运动微分方程的方法，重点在于用运动微分方程处理一维、二维问题（包
括力分别是时间、坐标、速度的函数的情形）对于三维问的解法可适当举例进行讲述.
（4）三个基本定理及其守恒定律不但是本章地重要内容,在后续课程中也有重要的地位,在
讲清三个定理与牛顿定律的关系,明确相关的物理概念,能正确运用三个定理及其守恒律处理实际
问题.
（5）可通过具体实例对相空间和相轨迹作一般介绍，不作基本要求.
（6）本章内容需要学生熟练运用矢量及微积分、微分方程等高数知识解决物理问题，运用
数学知识解决物理问题是一个难点，应引起足够的重视。
（二） 有心运动和两体问题
1．有心力和有心运动
基本特征 运动方程 轨道微分方程
2．距离平方反比引力作用下的质点运动
轨道 轨道的特性
3．园轨道的稳定性中心
散射轨道 散射角 散射截面 卢瑟福散射公式
5．两体问题
说明：
（1）有心运动问题是牛顿定律的应用，同时有心力作用下的质点运动又是一类重要的运动
形式，在天体运行，粒子物理研究中占有重要的地位。因此独立一章讨论。
（2）本章的重点之一是有心运动的基本特性。运动方程和轨道微分方程。对有心运动的一
般情况有一个全面的了解。
（3）掌握在平方反比有心力作用下，求解轨道微分方程，能对方程的解进行讨论。
（4）对园轨道的稳定性问题只作一般了解。
（5）对任意幂有心力问题的计算问题，一般不能得到严格的解析解，可不作讲授内容，对
于有计算机基础的学生可以自学。
（6）两体问题中，引入折合质量，建立一个物体相对另一物体的运动微分方程的方法，是
处理两体问题的一个常用的方法，要求学生掌握。
（三） 非惯性参考系
1．相对运动
绝对速度 相对速度和牵连速度 加速度 科里奥利加速度
2．平动非惯性系
3．旋转的非惯性系
4．地球自转的效应
地面坐标系中的质点运动方程 自由落体偏东 付科摆 气旋 热带风暴的信风 说明：
（1）相对运动的运动学问题，搞清绝对运动、相对运动和牵连运动的关系，在理解绝对微
商、相对微商、牵连微商概念的基础上，着重讲授转动参照系为动系时，绝对速度、相对速度、
牵连速度和绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度的关系。能求解相对运动的有
关问题。
（2）对非惯性系的动力学问题，应掌握惯性力的概念，了解它们和真实力的区别。能正确
建立和求解运动微分方程，重点是转动参照系的动力学问题。
（3）地球自转对质点运动的影响，是在转动参照系中处理实际问题的应用。可着重讨论
“落体偏东”现象，而对付科摆、气旋等现象的解释，可作定性分析。
（4）学生对本章的内容较难掌握，建立运动微分方程时对惯性离心力和科氏力的概念和方
向性不易掌握，应通过例题进行分析，帮助学生学会在非惯性系中处理问题的方法。
（四） 质点组动力学
1．质点组
内力和外力 质心
2．质点组的动量、角动量和动能
动量 角动量 动能
3．质点组的基本定理
动量定理和质心定理 角动量定理 动能定理
4．开放的持点组——变质量物体的运动问题
说明：
（1）本章的任务是运用经典力学的找出质点组的整体运动规律。为解决刚体，理想流体等
特殊质点系问题打好基础。
（2）质心是质点组力学中的一个重要概念，应深刻理解，要求能掌握并计算简单规则均匀
物体的质心的方法。
（3）掌握质点组的三个定理及其守恒律，并能应用三个定理及守恒律解题。
（4）对变质量物体的运动问题，在普物力学中已作了讲授，只作简单复习。
（五） 刚体力学
1．刚体的运动
刚体的运动及其自由度 欧拉角 角位移和角速度 角速度的欧拉角表示 刚体内任意点的速度
和加速度 瞬时转动中心
2．刚体的动量、角动量和动能
刚体的角动量和惯量张量 刚体的动能
3．刚体的动力学方程
4．刚体的定轴转动
5．刚体的平面平行运动
6．刚体的定点运动
基本方程 坐标系完全跟随刚体转动时的角动量定理——欧拉方程 不随刚体自旋的活动坐标
系 对称重陀螺的定点运动 高速自旋陀螺的近似理论
说明：
（1）刚体力学是力学的一个重要方面，应在普通物理的基础上加深，提高和系统化。
（2）运动学的学习中，对角位移、角速度等概念作了严格的定义。并从自由度的观点，选
用欧拉角（广义坐标）建立定转动的欧拉运动学方程，不仅应讲清概念，还要让学生通过学习
体会到描述运动的新的方法。
（3）普通物理基础上，进一步掌握在平面运动和定点转动中求刚体上各点的速度和加速度
的问题。
（4）惯量张量是学生再次接触的二阶张量，应讲清它在刚体动力学中的作用。掌握惯量张
量的矩阵表示，应明确惯量张量与转动惯量、角动量、转动能的关系。应使学生掌握确定匀质
对称刚体惯量主轴的方法，对矩阵对角化的一般方法不作要求。
（5）刚体的动力学的重点仍是刚体的定轴转动和平面运动。但处理问题的难度应顺普通物
理上有所提高。
（6）刚体定点运动的基本动力学方程是角动量定理。通过求解欧拉——班锁问题和拉格朗
日——泊松问题，了解求解刚体定点转动问题的方法。
（六）分析力学
1．约束、自由度和广义坐标
2．虚功原理
虚位移和实位移 理想约束和虚功原理 虚功原理的广义坐标表述和广义力
3．拉格朗日原理
达朗贝尔原理 拉格朗日方程 循环坐标和广义动量积分
*4．微振动
耦合摆的微振动 简正坐标 一般力学系的微振动
5．哈密顿函数和正则方程
哈密顿函数 哈密顿正则方程 泊松括号
6．哈密顿原理和正则变换
泛函和变分 哈密顿原理 正则变换
说明：
（1）分析力学是用广义坐标描述力学系统的运动，从变分原理出发建立的力学理论体系。
偏重于解析数学推论。在处理复杂力学体系时比牛顿力学更为简洁，分析力学的表述方式已超
越力学范围在近代物理电气系统、控制系统非线性系统中广泛的应用，应使学生掌握分析力学
初步知识，。学会用分析力学的方法处理问题，为后续课程的学习打好基础。
（2）本章的重点是：虚功原理，第二类拉格朗日方程，哈密顿正则方程。
（3）本章需引入的新概念较多，内容也较抽象，数学知识的要求高，应尽可能强调物理实
质。
（4）要求学生能用虚动原理和第二类拉格朗的方程处理简单的力学问题。应通过典型例题
分析使学生掌握分析力学中分析问题和解决问题的基本思路和基本方法。
（5）哈密顿函数和正则方程在近代物理的学习中非常有用，就使学生正确理解和掌握。
（6）哈密顿原理可作一般介绍。
（7）微振动问题是拉格朗日方程的具体应用，可在教师指导下自学，不纳入讲授内容。
四、课内实践教学要求
本课程无课内实践教学要求。
五、考核形式
考试（闭卷）
六、学时分配
【篇三：理论力学讲义】
院物理与电子科学系 冯云光
绪论
一、理论力学研究对象和任务： 1、研究对象；
研究物体机械运动普遍遵循的基本规律并将其用严密的数学表述，使其完全可以用严格的
分析方法来加以处理。
机械运动 物体在空间的相对位置随时间而改变的现象。
2、任务 ：归纳机械运动的规律。（借助严密的数学规律进行归纳） 3、表达方式；（理论力
学分为矢量力学和分析力学两大部分。） （1）、矢量力学（牛顿力学）
从物体之间的相互作用出发，借助矢量分析这一数学工具，运用形象思维方法，通过牛顿
定律揭示物体受力与其运动状态之间的因果关系来确定物体的运动规律。特点：形象直观，易
于处理简单的力学问题，范围：仅能解决经典力学问题。（在矢量力学中，涉及量多数是矢量，
如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是矢量力学中最关键的量。）
（2）、分析力学：
从牛顿力学的基础上发展起来的，它借助数学分析这一工具，运用抽象思维方法，研究力
学体系整体位形变化。特点“从各种运动形态通用的物理量—能量出发，它的运用远远超出经
典力学范围，也适用非力学体系。（分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日
函数、哈密顿函数等。动能和势能是最关键的量。）
（分析力学是由拉格朗日、哈密顿等人建立并完善起来的经典力学理论，它的理论体系和
处理问题方法，完全不同于牛顿力学，它代表经典力学的进一步发展，它揭示出支配宏观机械
运动的更普遍的规律，以致能用比较统一的方法处理力学体系的运动问题，它揭示出力学规律
与其他物理的过渡起了重要作用，分析力学已经成为学习后继课程的必要基础。）
二、理论力学的研究内容
1、运动学： 从几何的观点来研究物体位置随时间的变化规律，而未研究引起这种变化的
物理原因。
2、动力学：研究物体运动和物体间相互作用的联系，阐明物体运动的原因。
3、静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。（它可以看作动力学的一部分，质点、质点
系，刚体）
三、理论力学的研究方法 1、理论力学的研究方法
观察、实验， 总结实验规律， 建立物理模型， 提出合理假设， 数学演绎、逻辑推理， 探
讨规律， 实验验证。（即：从实践出发，经过抽象化、综合、归纳，建立公里，再应用数学演绎
和逻辑推理而得到定理和结论，形成理论体系，然后再通过实践来证明理论的正确性。）
2、理论力学与普通物理力学的关系以及区别：
（1）方法上不一样，不再从实验开始，而是将实验规律用 数学表述，从理论上进行推理，
运算。
（2）研究对象一样，基本规律相同，但研究更系统更深入。
（3）分析力学以达朗伯原理为基础，以能量作为基本量，建立的体系与近代物理更接近。
（理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演绎更强。主要数学要求是：微积分
和解常系数微分方程。）
四、经典力学的适用范围： (1)宏观物体；（2）低速 五、理论力学的学习目的与任务:
1、学习质点、质点系和刚体机械运动的一般规律，为后续课程打下坚实基础。(对机械运
动有一个全面的认识。)
2、运用严密的数学规律，对机械运动的规律进行理论推证。 3、培养辩证唯物主义的世界
观,提高分析问题解决问题的能力.
4、三个方面要求：（1）准确地理解基本概念：（2）熟悉基本定律与公式；（3）能在正确
条件下灵活应用。
六、学习理论力学的几点注意： 1、理论联系实际。
2、培养科学的逻辑思维方法。 3、注意表达式中的物理意义。 4、认真对待作业。 5、
学习方法
（1）作听课笔记（2）及时复习，温故而知新。 6、学习态度：认真、务实 教科书
周衍柏，《理论力学教程》（第三版），高等教育出版社，2009年7 参考书目
[1]苏云荪，《理论力学》，高等教育出版社，1990年 [2]梁昆淼，《力学》（上），高等教育
出版社，1965年 [3]梁昆淼，《力学》（下），人民教育出版社，1981年
[4]许健民等，《理论力学解题分析》，江苏科学技术出版社,1981年 [5]谢宝田等，《理论力
学教程习题解》，中国科学技术出版社,1991年 [6]h.戈德斯坦等，《经典力学》，科学出版社，
1981年
[7]阎康年，《牛顿的科学发现与科学思想》，湖南教育出版社，1989年 [8]朱照宣，《理论
力学》（上），北京大学出版社，1982年 [9]朱照宣，《理论力学》（下），北京大学出版社，
1982年 [10]肖士珣，《理论力学简明教程》，高等教育出版社，1983年
数学准备知识—矢量分析基础： 一、矢量与矢量场 1、矢量及表示 2、标量场量场
标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变
化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场等
矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还
可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.
二、矢量代数
1、矢量和
abba
a?(b?c)?(a?b)?c
2.点乘（标量积、投影积）-- 对应分量相乘的和
a?b?b?a?abcos?
3. 叉乘（矢量积）－行列式展开
a?(b?c)?a?b?a?ca?b??b?a
a?(b?c)?a?b?a?c
a?b?absin?u
1?a2u?2?a3u?3a?a1u?
1?a2u?2?a3u?3a?a1u
1u?2u?3??u
a?b?a1a2a3
b1b2b3
b?
b1u
b2u?2?b3u?34、矢量代数公式
)?b??(c??a?)?c??(a??b?)
(a
a??b?(b?)c?c??a(b)?(a??c?b?))?c
三、常用坐标系
1、直角坐标系：(x,y,z) ,z0)
方向单位矢量
e?x：,
e?y,e
z位置矢量 r?x0e
x?y0e?y?z0e?z矢量表示：
x0e
x?y0e?y?z0e?z
2、圆柱坐标系 ( ?,?,z) 方向单位矢量： e??,e??,e
z位置矢量
r?r0e
z0e?z
矢量表示： a(r)ea?(r)eaz(r)e?rz
3、球面坐标系 ( r,?,? )
方向单位矢量：e? r,e??,e??位置矢量： r?r0e
r
矢量表示： a?r(r)er?
a?
(r)ea?(r)e??x
4、坐标变换
圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
ee?xcos??e?ysin?e?e?xsin??e?ycos?e
z?e?z球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系 e
r?e?xsin?cos??e?ysin?sin??e?zcos? e
exsine e
ycose?xcos?cos??e?ycos?sin??e?zsin?
四、场论——梯度、散度和旋度 1、标量场的梯度 （1、）等值面（线）
由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为 u?u(x,y,z)，则等值面方
n
程为：u(x,y,z)?c?const （2）、梯度的定义
du
lgradu(x,y,z)??edl
m
u??u
en
max
（3）、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
up
el
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标
量场的最大增加率。
（4）、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达 1）在直角坐标系中
gradu?
2）在柱面坐标系中：
u?u?u
x??y??zeee?x?y?z
u1?u?u
rzeee?rr???z
gradu?
3）在球面坐标系中：
gradu?
u1?u1?u?reee?rr??rsin???
2、矢量场的通量 散度 （1）、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小；
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向； （2）、矢量场的通量
若矢量场a(r)分布于空间中，在空间中存在任意曲面s，则定义：
s
a(r)?ds
为矢量 a(r)沿有向曲面s 的通量。
若s为闭合曲面
s
a(r)?ds
物理意义：表示穿入和穿出闭合面s的矢量通量的代数和。
讨论： 1）面元 ds 定义；
矢量场的通量
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