2024年4月15日发(作者：2007年专转本数学试卷)

2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷

数学（文科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题

卡相应位置上.

1．已知集合

A

＝{﹣1，0，1，6}，

B

＝{

x

|

x

＞0，

x

∈R}，则

A

∩

B

＝ ．

2．已知复数（

a

+2

i

）（1+

i

）的实部为0，其中

i

为虚数单位，则实数

a

的值

是 ．

3．如图是一个算法流程图，则输出的

S

的值是 ．

4．函数

y

＝的定义域是 ．

5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．

6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名

同学中至少有1名女同学的概率是 ．

7．在平面直角坐标系

xOy

中，若双曲线

x

2

﹣＝1（

b

＞0）经过点（3，4），则

该双曲线的渐近线方程是 ．

8．已知数列{

a

n

}（

n

∈N

*

）是等差数列，

S

n

是其前

n

项和．若

a

2

a

5

+

a

8

＝0，

S

9

＝27，

则

S

8

的值是 ．

9．如图，长方体

ABCD

﹣

A

1

B

1

C

1

D

1

的体积是120，

E

为

CC

1

的中点，则三棱锥

E

﹣

BCD

的体积是 ．

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10．在平面直角坐标系

xOy

中，

P

是曲线

y

＝

x

+（

x

＞0）上的一个动点，则点

P

到直线

x

+

y

＝0的距离的最小值是 ．

11．在平面直角坐标系

xOy

中，点

A

在曲线

y

＝

lnx

上，且该曲线在点

A

处的切

线经过点（﹣

e

，﹣1）（

e

为自然对数的底数），则点

A

的坐标是 ．

12．如图，在△

ABC

中，

D

是

BC

的中点，

E

在边

AB

上，

BE

＝2

EA

，

AD

与

CE

交于

点

O

．若•＝6•，则的值是 ．

13．已知＝﹣，则sin（2α+）的值是 ．

14．设

f

（

x

），

g

（

x

）是定义在R上的两个周期函数，

f

（

x

）的周期为4，

g

（

x

）

的周期为2，且

f

（

x

）是奇函数．当

x

∈（0，2]时，

f

（

x

）＝

（

x

）＝

，

g

其中

k

＞0．若在区间（0，9]上，关于

x

的方

程

f

（

x

）＝

g

（

x

）有8个不同的实数根，则

k

的取值范围是 ．

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二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

．

（1）若

a

＝3

c

，

b

＝

（2）若

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，cos

B

＝，求

c

的值；

，求sin（

B

+）的值． ＝

16．（14分）如图，在直三棱柱

ABC

﹣

A

1

B

1

C

1

中，

D

，

E

分别为

BC

，

AC

的中点，

AB

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＝

BC

．

求证：（1）

A

1

B

1

∥平面

DEC

1

；

（2）

BE

⊥

C

1

E

．

17．（14分）如图，在平面直角坐标系

xOy

中，椭圆

C

：+＝1（

a

＞

b

＞0）

的焦点为

F

1

（﹣1，0），

F

2

（1，0）．过

F

2

作

x

轴的垂线

l

，在

x

轴的上方，1与

222

圆

F

2

：（

x

﹣1）+

y

＝4

a

交于点

A

，与椭圆

C

交于点

D

．连结

AF

1

并延长交圆

F

2

于

点

B

，连结

BF

2

交椭圆

C

于点

E

，连结

DF

1

．已知

DF

1

＝．

（1）求椭圆

C

的标准方程；

（2）求点

E

的坐标．

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18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为

O

的圆，湖的一侧有一条直线型公路

l

，湖上有桥

AB

（

AB

是圆

O

的直径）．规划在公路

l

上选两个点

P

，

Q

，并修建两

段直线型道路

PB

，

QA

，规划要求：线段

PB

，

QA

上的所有点到点

O

的距离均不小

．．

于圆

O

的半径．已知点

A

，

B

到直线

l

的距离分别为

AC

和

BD

（

C

，

D

为垂足），测

．

得

AB

＝10，

AC

＝6，

BD

＝12（单位：百米）．

（1）若道路

PB

与桥

AB

垂直，求道路

PB

的长；

（2）在规划要求下，

P

和

Q

中能否有一个点选在

D

处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路

PB

和

QA

的长度均为

d

（单位：百米），求当

d

最小

时，

P

、

Q

两点间的距离．

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19．（16分）设函数

f

（

x

）＝（

x

﹣

a

）（

x

﹣

b

）（

x

﹣

c

），

a

，

b

，

c

∈R，

f

′（

x

）

为

f

（

x

）的导函数．

（1）若

a

＝

b

＝

c

，

f

（4）＝8，求

a

的值；

（2）若

a

≠

b

，

b

＝

c

，且

f

（

x

）和

f

′（

x

）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求

f

（

x

）的极小值；

（3）若

a

＝0，0＜

b

≤1，

c

＝1，且

f

（

x

）的极大值为

M

，求证：

M

≤

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．

20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“

M

﹣数列”．

（1）已知等比数列{

a

n

}（

n

∈N

*

）满足：

a

2

a

4

＝

a

5

，

a

3

﹣4

a

2

+4

a

1

＝0，求证：数列{

a

n

}

为“

M

﹣数列”；

（2）已知数列{

b

n

}（

n

∈N

*

）满足：

b

1

＝1，＝﹣，其中

S

n

为数列{

b

n

}

的前

n

项和．

①求数列{

b

n

}的通项公式；

②设

m

为正整数，若存在“

M

﹣数列”{c

n

}（

n

∈N

*

），对任意正整数

k

，当

k

≤

m

时，都有c

k

≤

b

k

≤

c

k

+1

成立，求

m

的最大值．

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2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷

数学（文科）参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题

卡相应位置上.

1．【解答】解：∵

A

＝{﹣1，0，1，6}，

B

＝{

x

|

x

＞0，

x

∈R}，

∴

A

∩

B

＝{﹣1，0，1，6}∩{

x

|

x

＞0，

x

∈R}＝{1，6}．

故答案为：{1，6}．

2．【解答】解：∵（

a

+2

i

）（1+

i

）＝（

a

﹣2）+（

a

+2）

i

的实部为0，

∴

a

﹣2＝0，即

a

＝2．

故答案为：2．

3．【解答】解：模拟程序的运行，可得

x

＝1，

S

＝0

S

＝0.5

不满足条件

x

≥4，执行循环体，

x

＝2，

S

＝1.5

不满足条件

x

≥4，执行循环体，

x

＝3，

S

＝3

不满足条件

x

≥4，执行循环体，

x

＝4，

S

＝5

此时，满足条件

x

≥4，退出循环，输出

S

的值为5．

故答案为：5．

4．【解答】解：由7+6

x

﹣

x

2

≥0，得

x

2

﹣6

x

﹣7≤0，

解得：﹣1≤

x

≤7．

∴函数

y

＝的定义域是[﹣1，7]．

故答案为：[﹣1，7]．

5．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：

＝（6+7+8+8+9+10）＝8，

∴该组数据的方差为：

S

2

＝[（6﹣8）

2

+（7﹣8）

2

+（8﹣8）

2

+（8﹣8）

2

+（9﹣8）

2

+（10﹣8）

2

]＝．

故答案为：．

6．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，

基本事件总数

n

＝＝10，

选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：

m

＝+＝7，

． ∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是

p

＝

故答案为：．

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