► 探究点一 ∀x∈D，f(x)>g(x)的研究
例1、已知函数
f(x)x
2
2ax1
，
g(x)
a
，其中
a0
，
x0
．
x
对任意
x[1,2]
，都有
f(x)g(x)
恒成立，求实数
a
的取值范围；
【思路分析】等价转化为函数
f(x)g(x)0
恒成立，通过分离变量，创设新函数求最值解决．
ax
3
xx
3
x
x2ax10a
2
(x)
2
x
2x1
成立，只需满足
2x1
的最小简解：（1）由
2
2x
4
x
2
1
x
3
x
(x)0
(x)
2
22
(2x1)
2x1
求导，值大于
a
即可．对，故
(x)
在
x[1,2]
是
增函数，
min
(x)
(1)
2
2
0a
3
．
3
，所以
a
的取值范围是
► 探究点二 ∃x∈D，f(x)>g(x)的研究
对于∃x∈D，f(x)>g(x)的研究，先设h(x)＝f(x)－g(x)，再等价为∃x∈D，h(x)
max
>0，其中若g(x)
＝c，则等价为∃x∈D，f(x)
max
>c.
例 已知函数f(x)＝x
3
－ax
2
＋10.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围．
【解答】 (1)当a＝1时，f′(x)＝3x
2
－2x，f(2)＝14，
曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处的切线方程为
8x－y－2＝0.
2
(2)解法一：f′(x)＝3x
2
－2ax＝3x
x－
3
a
(1≤x≤2)，
23
当
3
a≤1，即a≤
2
时，f′(x)≥0，f(x)在[1,2]上为增函数，
3
故f(x)
min
＝f(1)＝11－a，所以11－a<0，a>11，这与a≤
2
矛盾．
23
当1<
3
a<2，即
2
22
当1≤x<
3
a，f′(x)<0；当
3
a0，
2
所以x＝
3
a时，f(x)取最小值，
3
5
2
8
3
4
3
4
3
3
因此有f
3
a
<0，即
27
a－
9
a＋10＝－
27
a＋10<0，解得a>3
2
，这与
2
2
当
3
a≥2，即a≥3时，f′(x)≤0，f(x)在[1,2]上为减函数，所以f(x)
min
＝f(2)＝18－4a，所以18－
9
4a<0，解得a>
2
，这符合a≥3.
9
综上所述，a的取值范围为a>
2
.
x
3
＋10
10
解法二：由已知得：a>
x
2
＝x＋
x
2
，
1020
设g(x)＝x＋
x
2
(1≤x≤2)，g′(x)＝1－
x
3
，
∵1≤x≤2，∴g′(x)<0，所以g(x)在[1,2]上是减函数．
9
g(x)
min
＝g(2)，所以a>
2
.
【点评】 解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关
系；解法二是用的参数分离，由于ax
2
>x
3
＋10中x
2
∈[1,4]，所以可以进行参数分离，而无
需要分类讨论．
► 探究点三 ∀x
1
∈D，∀x
2
∈D，f(x
1
)>g(x
2
)的研究
例、设函数
h(x)
a
11
xb
，对任意
a[,2]
，都有
h(x)10
在
x[,1]
恒成立，求
x
24
实数
b
的取值范围．
思路分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质
还是通过函数求最值解决．
方法1：化归最值，
h(x)10h
max
(x)10
；
a
x)
或
ax
2
(10b)x
；
x
11
方法3：变更主元，
(a)axb100
，
a[,2]
x2
方法2：变量分离，
b10(
简解：
a
xa)
xb
求导，
h
(x)1
a
2
(xa)(
，
2
x
xx
11
由此可知，
h(x)
在
[,1]
上的最大值为
h()
与
h(1)
中的较大者．
44
方法1:对
h(x)g(x)xb
1
1
39
h()10
4ab10
b4a
4
17
44
a[,2]b
h(1)10
1ab10
b9a
，对于任意
2
，得
b
的取值范围是
4
．
► 探究点四 ∀x
1
∈D，∃x
2
∈D，f(x
1
)>g(x
2
)的研究
对于∀x
1
∈D，∃x
2
∈D，f(x
1
)>g(x
2
)的研究，第一步先转化为∃x
2
∈D，f(x
1
)
min
>g(x
2
)，再将该问
题按照探究点一转化为f(x
1
)
min
>g(x
2
)
min
.
－
例、已知函数f(x)＝2
|
xm
|
和函数g(x)＝x|x－m|＋2m－8.
(1)若方程f(x)＝2
|
m
|
在[－4，＋∞)上恒有惟一解，求实数m的取值范围；
(2)若对任意x
1
∈(－∞，4]，均存在x
2
∈[4，＋∞)，
使得f(x
1
)>g(x
2
)成立，求实数m的取值范围．
【解答】 (1)由f(x)＝2
|
m
|
在x∈[－4，＋∞)上恒有惟一解，
得|x－m|＝|m|在x∈[－4，＋∞)上恒有惟一解．
当x－m＝m时，得x＝2m，则2m＝0或2m<－4，
即m<－2或m＝0.
综上，m的取值范围是m<－2或m＝0.
xm
2
(2)f(x)＝
m
－
x
2
－
x≥m，
x
原命题等价为f(x
1
)
min
>g(x
2
)
min
.
－
①当4≤m≤8时，f(x)在(－∞，4]上单调递减，故f(x)≥f(4)＝2
m
4
，g(x)在[4，m]上单调递减，[m，
－
＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(m)＝2m－8，所以2
m
4
>2m－8，解得46.
所以4－
m
m
②当m>8时，f(x)在(－∞，4]上单调递减，故f(x)≥f(4)＝2
m
4
，g(x)在
4，
2
单调递增，
2
，m
上单调递减，[m，＋∞)上单调递增，
g(4)＝6m－24>g(m)＝2m－8，
－
故g(x)≥g(m)＝2m－8，所以2
m
4
>2m－8，
解得46.所以m>8.
③0故f(x)≥f(m)＝(x)在[4，＋∞)上单调递增，
7
故g(x)≥g(4)＝8－2m，所以8－2m<1，即
2
④m≤0时，f(x)在(－∞，m]上单调递减，[m,4]上单调递增，
故f(x)≥f(m)＝(x)在[4，＋∞)上单调递增，
7
故g(x)≥g(4)＝8－2m，所以8－2m<1，即m>
2
(舍去)．
7
综上，m的取值范围是
2
，5
∪(6，＋∞)．
【点评】 因为对于∀x∈D，f(x)>c，可以转化为f(x)
min
>c；∃x∈D，c>g(x)，可以转化为c>g(x)
min
，
所以本问题类型可以分两步处理，转化为f(x)
min
>g(x)
min
.
► 探究点五 ∀x
1
∈D，∃x
2
∈D，f(x
1
)＝g(x
2
)的研究
对于∀x
1
∈D，∃x
2
∈D，f(x
1
)＝g(x
2
)的研究，若函数f(x)的值域为C
1
，函数g(x)的值域为C
2
，
则该问题等价为C
1
⊆C
2
.
115
例、设函数f(x)＝－
3
x
3
－
3
x
2
＋
3
x－4.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设a≥1，函数g(x)＝x
3
－3a
2
x－2a.若对于任意x
1
∈[0,1]，总存在x
0
∈[0,1]，使得f(x
1
)＝g(x
0
)
成立，求a的取值范围．
2525
【解答】 (1)f′(x)＝－x
2
－
3
x＋
3
，令f′(x)>0，即x
2
＋
3
x－
3
<0，
5
5
5
解得－
3
－
3
，1
；单调减区间为
－∞，－
3
和(1，＋∞)．
(2)由(1)可知：当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，
∴当x∈[0,1]时，f(x)∈[f(0)，f(1)]，即f(x)∈[－4，－3]．
又g′(x)＝3x
2
－3a
2
，且a≥1，∴当x∈[0,1]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，∴当x∈[0,1]时，
g(x)∈[g(1)，g(0)]，即g(x)∈[－3a
2
－2a＋1，－2a]，
又对于任意x
1
∈[0,1]，总存在x
0
∈[0,1]，使得f(x
1
)＝g(x
0
)成立
2
－3a－2a＋1≤－4，
⇔[－4，－3]⊆[－3a
2
－2a＋1，－2a]，即
－3≤－2a，
3
解得1≤a≤
2
.
恒成立与存在有解的区别：
恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，
切不可混为一体。
①不等式
f
x
M
对
xI
时恒成立
f
max
(x)M•
，
xI
。即
f
x
的上界小于或等于
M
；
②不等式
f
x
M
对
xI
时有解
f
min
(x)M•
，
xI
。 或
f
x
的下界小于或等于
M
；
③不等式
f
x
M
对
xI
时恒成立
f
min
(x)M•
，
xI
。即
f
x
的下界大于或等于
M
；
④不等式
f
x
Mf
x
对
xI
时有解
f
max
(x)M
，
xI
.。 或的上界大于或等于
M
；
方法总结：
1．对于恒成立问题或存在性问题常见基本类型为∀x∈D，f(x)>c，可以转化为f(x)
min
>c；∃x
∈D，c>g(x)，可以转化为c>g(x)
min
；∃x∈D，c＝g(x)，可以转化为c∈{y|y＝g(x)}，对于由这
些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理．
2．对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并
借助于函数图象来解决问题．
练习:
232
`1.已知两函数
f
x
7x28xc
，
g
x
2x4x40x
。
（1）对任意
x
3,3
，都有
f
x
g
x
成立，求实数
c
的取值范围；
（2）存在
x
3,3
，使
f
x
g
x
成立，求实数
c
的取值范围；
（3）对任意
x
1
,x
2
3,3
，都有
f
x
1
g
x
2
，求实数
c
的取值范围；
（4）存在
x
1
,x
2
3,3
，都有
f
x
1
g
x
2
，求实数
c
的取值范围；
2.设函数
f(x)
1
3
x2ax
2
3a
2
xb(0a1,bR)
.
3
（1）求函数
f
x
的单调区间和极值；
（2）若对任意的
x[a1,a2],
不等式
f
x
a
成立，求
a
的取值范围。
→→→
3.已知
A
、B、C是直线
l
上的三点，向量OA，OB，OC满足：
OA
y2f
1
OBln
x1
OC0
.
（1）求函数
y
＝
f
(
x
)的表达式；
2x
（2）若
x
＞0，证明：
f
(
x
)＞
x＋2
；
（3）若不等式
1
2
xf(x
2
)m
2
2bm3
时，x∈[-1,1]及b∈[-1,1]都恒成立，求实数
2
m的取值范围．
发布评论