2024年3月17日发(作者：淄博中考押题数学试卷答案)
中考专题复习——“新定义”问题
一、专题诠释
所谓“新定义”型试题，是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图形基础上或增加条件，
或改编条件，或削弱条件，构造一些创意新奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。
其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，要求学生读懂题意并结合已有
知识、能力进行理解，然后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。“新定义”型试
题常常以运算模式、函数模式、几何模式等形式出现。
二、解题策略
解决此类问题的常见思路：给什么，用什么。即：正确理解新定义，并将此定义作为解题的
重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新
的问题
（一）运算模式
1．定义运算：a⋆b＝a（1﹣b）．若a，b是方程x
2
﹣x+m＝0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆
a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
2．规定：log
a
b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：log
a
a
n
＝n．log
N
M＝（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．
例如：log
2
2
3
＝3，log
2
5＝，则log
100
1000＝ ．
3．当关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，
称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x
2
+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，
那么m的值为 ．
4．在平面直角坐标系中，如果对任意一点（a，b），规定两种变换：f（a，b）＝（﹣a，﹣
b），g（a，b）＝（b，﹣a），那么g[f（1，﹣2）]＝ ．
5．将关于x的一元二次方程x
2
+px+q＝0变形为x
2
＝﹣px﹣q，就可将x
2
表示为关于x的一
次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知x
2
﹣x﹣1
＝0，可用“降次法”求得x
4
﹣3x+2014的值是 ．
（二）函数模式
1．我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝﹣的图
象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标 ．
2．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P
1
关于y轴对称，点P
1
和点P
2
关于直线l对称，
则称点P
2
是点P关于y轴，直线l的二次对称点．已知点A（﹣1，0），若点C（﹣5，0）
是点A关于y轴、直线x＝a的二次对称点，则a的值为 ；
3.（2015•衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a
1
x
2
+b
1
x+c
1
（a
1
≠0，a
1
，b
1
，c
1
是常数）与y＝a
2
x
2
+b
2
x+c
2
（a
2
≠0，a
2
，b
2
，c
2
是常数）满足a
1
+a
2
＝0，b
1
＝b
2
，c
1
+c
2
＝0，则称这两个函数互为“旋
转函数”．
求函数y＝﹣x
2
+3x﹣2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y＝﹣x
2
+3x﹣2可知，a
1
＝﹣1，b
1
＝3，c
1
＝﹣2，根据a
1
+a
2
＝0，b
1
＝b
2
，c
1
+c
2
＝0，求出a
2
，b
2
，c
2
，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝﹣x
2
+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y＝﹣x
2
+mx﹣2与y＝x
2
﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）
2015
的值；
（3）已知函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，
点A、B、C关于原点的对称点分别是A
1
，B
1
，C
1
，试证明经过点A
1
，B
1
，C
1
的二次函
数与函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”
4．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y＝（m＞0）和双曲线y＝（n＞0），如果m
＝2n，则称双曲线y＝（m＞0）和双曲线y＝（n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y
＝（m＞0）是双曲线y＝（n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y＝（n＞0）是双曲线
y＝（m＞0）的“半双曲线”，如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限内任意一点，
过点A与y轴平行的直线交双曲线y＝的“半双曲线”于点B，那么△AOB的面积
是
（三）几何模式
1．我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫
做这个正n边形的“特征值”，记为λ
n
，那么λ
6
＝ ．
2．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三
角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于 ．
3．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，
给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，
分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的
延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是
（ ）
A．矩形ABFE
C．矩形EFGH
B．矩形EFCD
D．矩形DCGH
4．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，
则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩
形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2），点A，
B，C的最优覆盖矩形的面积为 ；
5．在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对
角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．
如图为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标
为（b，0），若点A，B的“相关菱形”为正方形，那么b的值为
6．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线
段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与
原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，
DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
则CD的长为 ．
7．如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕
着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′．当α+β＝90°时，我们
称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”．如果等边△ABC的边长为a，那么它的“双旋
三角形”的面积是 （用含a的代数式表示）．
8．已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）
2
+（y﹣b）
2
＝r
2
．例
如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x﹣2）
2
+（y﹣3）
2
＝4，则以原
点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为 ．
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