第二十九届国际数学奥林匹克试题及解答

2023年12月10日发(作者：武汉2022技能高考数学试卷)

第二十九届国际数学奥林匹弃试题及解答本局M中国队领队常庚哲中国科大)IO第29届国际数学奥林匹克M)于988年月9日一2日在澳大利亚首都堪培拉举行。在本届M中,苏联队总分217分名列第一,我国`名队员以201分与罗马尼亚并列第二。这是我国参加IMO以来获得的最好名次。据专家们一致认为,今年的题目是较难的。1987年在古巴举行的第28届1MO上,只有取得满分(绍分)的个人才可获得金牌,而今年奖牌的分布是金牌32一42分银牌32一31分铜牌14一煞分在本文中,首先公布今年1MO的6道题目,接着给出解答。要申明的是,组委会公布的官方解答,并不都是最简单的,这里给出的解答,以官方解答为基础,也结合了我熟选手何宏宇、陈啼的好的解法,还有当我在屯溪市向许多中学老师介绍这些解法时,一些中学老师对若干细节的简化,我相信,这里给出的解法是比较优越的`应当感谢何、陈两位同学,以及作出改进的那些中学老师们。本届工MO的试题如下第一天1088年7月15日堪培拉时间4.5小时,每题7分1.考虑在同一平面上,具有相同圆心、半径为R与r(R>r)的两个圆。设P是小圆周上的一个固定的点,B是大圆周上的一个变动的点,直线B尸与大圆周相交于另外一点C。通过点P且与B尸垂直的直线l与小圆周相交子另一点月(如果l与小圆相切于P,则A=P)。(1O1(i)7求表达式B1C’+C且2+且方2所取值的集合。1O(i)求线段A刀的中点的杭公。2。设“为一正整数月且。,卫,,姓::、:是某个集合刀的子集。没(a)每一只,恰含有2”J争元素;(句每一且`自才,扭镇`<了〔2”+1)恰含有一个元素:(。)召中每一个元素层于王少两个子集A`。间:对怎样的值,,,可以对B中的每一元素贴一张写有0或1的标签,使得每个A:中恰含有”个贴上了写有O的标牡的元素?3.万为正整数集。在N上定义函数了如下:(f)1二1,(f3)=3,且对邓C刀有f(2,:)=f(:),f(4:,+1)=Z一f(2,,卜1》一了(;:),f(泛:+3)=3一f(2,:。1)一介f(,,、。问:有多少个”一任丫且“(1988使得f(,2)二”?第二天如韶年7月”日堪培拉盯间4.5小时,每题7分4.证明:满足不等式7O艺k~`多弓X--4的实数劣的集合是互不相交的区间的并集,并且这些区间长度的总和等于le88。弓。在直角三角形刃BC中,AD是了