2024年4月2日发(作者：高考数学试卷推荐中考版)

八年级数学—正方形的性质和应用

正方形的性质：正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质。

①正方形四个角都是直角

②四条边都相等

③对角线互相垂直平分

④每一条对角线平分一组对角

⑤正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

正方形的判定：同时满足菱形和矩形的判定即可。

常用判定有：

①先证菱形后证一个角是直角

②先证矩形后证一组邻边相等

基础篇：

例一、已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC②∠ABC=90°③AC=BD④AC⊥BD四个条件

中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，下列选法错误的是（ ）

A、①② B、②③ C、①③ D、②④

例二、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△

ACE是等边三角形。

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形。

例三、如图，在正方形ABCD中，点P，Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，

分别交AC、BC于E、G，AP，EQ的延长线相交于R。

（1）求证：DP=CG；

（2）判断△PQR的形状，并说明理由

例四、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。

（1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

提高篇：

例五、如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边

AD于点F。

（1）求证：△ADE≌△BCE；

（2）求∠AFB的度数。

变式练习1：如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED。

（1）求证：△BEC≌△DEC

（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数。

例六、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA。

（1）求证：△ABE≌△ADF;

（2）求证：

S

△ABE

S

△ADF

S

△CEF

。

例七、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至

△AFE，延长DF交边BC于点G，连接AG、CF。

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求证：BG=GC；

（3）求证：AG∥CF；

（4）求

S

△FGC

例八、如图，正方形ABCD，点E为正方形外一点，△ADE为等边三角形，连BE，AM⊥DE交BE

于P点，连CP。

（1）求∠APB的大小；

（2）求证：AP⊥CP。

思维探究：（同位小组探讨解题思路）

例九、如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是BC延长线上一点，AE⊥EG交

∠DCF的平分线于点G。

求证：AE=EG

例十、如图，

P

正方形

ABCD

边

BC

上任意一点，

BGAP

于点

G

，在

AP

的延长线上取点

E，

使

AGGE，连BE，CE.

（1）求证：

BEBC；

（2）

CBE

的平分线交

AE

于

N

点，连接

DN

，求证：

BNDN2AN；

（3）若正方形的边长为2，当

P

为

BC

的中点时，求

CE

的长.

例十一、如图，在正方形

ABCD

中，

AB6，点E在CD上，

且

CD3DE.

将

ADE

沿

AE

对折至

延长

EF

交边

BC

于点

G，连结AG、CF.

AFE，

（1）求证：

ABG≌AFG；（2）BGGC；（

（4）求

S

FGC

.

3）AG//EF；


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