图论(数学图解生活)

2024年2月11日发(作者：数学试卷苏教版6年级上)

图论讲义

第一课时————第二课时

集合的概念

一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。

元素与集合的关系：

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合通常表示为大写字母

A，

B，

C……。而元素通常表示为小写字母a,b,c……。元素a属于集合A,记作aA。假如元素a不属于A，则记作aA。

如果两个集合

A 和

B 它们各自所包含的元素完全一样，则二者相等，写作

A =

B。

集合的特点



无序性

在同一个集合里面的每一个元素的地位都是相同的，所以元素的排列是没有顺序的。



互异性

在同一个集合里面每一个元素只能出现一次，不能重复出现。



确定性

定制集合的标准是确定的而不是含糊的，如全国全体较高的男生，这里的较高没有标准是含糊的。

集合的表示

集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。

1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，„„}

2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0

3.图式法（Venn图）﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，A =

C 而

B =

D，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 {2, 4}，{4, 2} 和 {2, 2, 4, 2} 是相同的，同样因为它们有相同的元素。

集合的元素个数

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合

A 有三个元素，而集合

B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用符号 表示。比如：在2004年，集合

A 是所有住在月球上的人，它没有元素，则

A = 。就像数字零，看上去微不足道，而在数学上，空集非常重要。更多信息请看空集。

如果集合含有有限个元素，那么这个集合可以称为有限集。

集合也可以有无穷多个元素。比如：自然数的集合是无穷大的。

常用数集的符号：

（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N

（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）

（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z

（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q

（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R

子集

如果集合

A 的所有元素同时都是集合

B 的元素，则

A 称作是

B

的子集，写作

A ⊆

B。 若

A 是

B 的子集，且

A 不等于

B，则

A

称作是

B 的真子集，写作

A ⊂

B。

B 的子集 A

举例：



所有男人的集合是所有人的集合的真子集。



所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。



{1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}



{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

空集是所有集合的子集，而所有集合都是其本身的子集：



⊆

A

A

⊆ A

并集

有多种方法通过现有集合来构造新的集合。

两个集合可以相\"加\"。A 和

B 的并集（联集），写作

A ∪

B，是或属于

A 的、或属于

B 的所有元素组成的集合。

A 和 B 的并集

举例：



{1, 2} ∪ {红色,



{1,

白色} = {1, 2, 红色, 白色}

2, 绿色} ∪ {红色, 白色, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色,

绿色}



{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

并集的一些基本性质



A ∪ B = B ∪ A



A ⊆

A ∪ B



A ∪ A = A



A ∪ = A

交集

一个新的集合也可以通过两个集合\"共\"有的元素来构造。A 和

B 的交集，写作

A ∩

B，是既属于

A 的、又属于

B 的所有元素组成的集合。

若

A ∩

B = ，则

A 和

B 称作不相交。

A 和 B 的交集

举例：



{1, 2} ∩ {红色,



{1, 2,

白色} =

绿色} ∩ {红色, 白色, 绿色} = {绿色}



{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

交集的一些基本性质



A ∩ B = B ∩ A



A ∩ B ⊆ A



A ∩ A = A



A ∩ =

补集

两个集合也可以相\"减\"。A 在

B 中的相对补集，写作

B −

A，是属于

B 的、但不属于

A 的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集

U 的子集。这样，

U −

A 称作

A 的绝对补集，或简称补集（余集），写作

A′或CUA。

相对补集 A - B

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

举例：



{1, 2} − {红色,



{1, 2,

白色} = {1, 2}

绿色} − {红色, 白色, 绿色} = {1, 2}



{1, 2} − {1, 2} =



若 U 是整数集，则奇数的补集是偶数

补集的基本性质：



A ∪ A′ = U



A ∩ A′ =



(A′)′ = A



A − B = A ∩ B′

集合的运算：

集合交换律

A∩B=B∩A

A∪B=B∪A

集合结合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

集合分配律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

集合德.摩根律

Cu(A∩B)=CuA∪CuB

Cu(A∪B)=CuA∩CuB

集合“容斥原理”

在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c}，则card(A)=3

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)

card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)

第三课时————第九课时

图的基本概念

定义 设V 是一个非空集合，E是V 上的(多重)二元关系，则称有序对(V, E)为有向图，记为G。

V 的元素称为G的顶点，V 称为G 的顶点集，V 的基数|V|称为G的顶点数，记为V(G )； E 的元素称为G的弧，E 称为G的弧集，E的基数|E|称为G的弧数，记为E(G)。

若弧 e =(u, v)，则称 u为 e的起点，v为 e的终点，

若弧 e 的起点与终点相同，则称 e 为环。

e

u

弧 e =(u, v)

v

e

u

环 e =(u, u)

e

u

v e

u

边 e ={u, v}

环 e ={u, u}

若E是V 中元素 u, v 的无序对{u, v}的(多重)集合，则G 称为无向图，E的元素称为G的边，E称为G的边集。

在不会引起混淆的情形下, 无向图与有向图都可简称为图。

无向图也可看成是由弧集 E是V 上对称的二元关系的有向图, 把二顶点u, v间的对称弧(u, v)与(v, u)变为一条边而形成的。

3

4

.

3

2

1

4.

5

2

1

有向图

多重有向图

定义 设 e = (u, v) 是有向图G = (V, E) 的弧，则称顶点 u与 v 邻接，称顶点 u, v 与弧 e关联。

若G的顶点 v与任意弧都不关联，则称v为G的孤立点。

若G的两条弧 e1 和 e2都与顶点v关联，则称e1与e2邻接。

3

5

.

4

1 2

无向图

3

5

.

4

2

3

5

.

4

1

1 2

对称有向图

多重无向图

顶点 u与 v 邻接即u和 v 由一条弧相连；两条弧 e1 和 e2邻接即e1与e2有公共的顶点。

通常在讨论集合时，规定集合中的元素是各不相同的，否则该集合就称为多重集。同样，在讨论图时，把两对顶点相同的一对弧称为重弧。

规定无环也无重弧的图为简单图，而有环或有重弧的图为多重图。

今后，如果没有特别说明，讨论的都是简单图。

定义 设G1=(V1, E1)，G2=(V2, E2)为两个图，若顶点集V1=V2且弧集E1=E2，则称两个图G1与G2相等，记为G1=G2。

定义 设G = (V, E)， G1=(V1, E1)为两个图，若V1⊆V，E1 ⊆ E，则称图G1为图G的子图，记为G1⊆ G。

为了方便，以下概念都针对无向图给出，而有向图的概念可以类似地得到。

若G1是由图G的全部顶点及一部分边组成的图，即V1=V, E1 ⊆

E，则称G1为G的生成子图。

若G1是由图G的部分顶点(V1⊆V )及二个端点都在V1中的边组成的图，则称G1为G的由顶点集V1导出的子图，简称为G的点导出子图，记为G(V1).

若G1是由图G的部分边(E1 ⊆ E)及所有与E1中的边关联的顶点组成的图，则称G1为G的由边集E1导出的子图，简称为G的边导出子图，记为G(E1).

例 如图所示，其中(d)是由顶点1, 3, 4, 5导出的子图，(e)是由弧(1,5), (2,5), (4,5) 导出的子图。

4

3 5

4

3 5

4

5

31

2

1

4

2

4

1 2

(a) 图G

5

(b) G的子图

3

5

(c) G的生成子图

1

1 2

(d) G的点导出成子图

(e) G的弧导出子图

定义 设G = (V, E)为一个图，则

顶点v 关联的边数称为顶点v 的度数记为d(v)。

度数为零的点是孤立点。

度数是奇(偶)数的顶点称为奇(偶)度点。

G中顶点度数的最小(大)值称为G的最小(大)度，记为(G )

((G ))。

对于有向图G，顶点v的度数d(v)分为两部分：

以v为起点(终点)的弧数称为顶点v的出度(入度) 记为d+(v)

( d-(v) )，并且d(v) = d+(v) + d-(v)。

在多重图中讨论顶点v度数时，若与v关联的边中有环，则每个环按两条边计算。

只有孤立顶点的图称为零图，也称为平凡图。一个零图的边集是空集。定理 设图G = (V, E)，则d(v) = 2E(G) 。

即图的各个顶点的度数之和为该图边数的两倍。

注意到每条边都与两个顶点关联，而增加一条边就会使顶点度数的和也增加2。

把度数是奇数的顶点称为奇度点，度数是偶数的顶点称为偶度点。

推论 任何图 G 中必有偶数个奇度点。

由图G中顶点的总度数是偶数，故奇度点的个数必为偶数。

定理 设G=(V, E)为有向图, 则d+(v) =d-(v) 即有向图各个顶点的出度之和与入度之和相等。

因有向图G的每条弧都恰有一个起点和一个终点,

而顶点v的出度d+(v)是以v为起点的弧数，

故G的各个顶点的出度之和与G的弧数E(G)相等，

即d+(v) =E(G)，同样有d-(v) =E(G)，

所以d+(v) = d-(v) =E(G)。

从图G = (V, E)中删去一个顶点v, 是指删去顶点v以及与顶点v关联的所有边后所得G的子图, 记为G-{v}或G－v。

设V0为V的子集，则从图G = (V, E)中删去V0

,是指删去V0中的所有顶点以及与这些顶点关联的所有边后所得G的子图，记为G－V0。

从图G = (V, E)中删去一条边e后所得G的子图，记为G－{e}或G－e。

若E0为E的子集，则从图G=(V, E)中删去E0中的所有边后所得G的子图，记为G－E0。

例

v4

e3

e6

v3

e2

v2

v5

e5

v1

e4

v4

e3

e6

e2

v1

v3

v5

v4

e4

v5

e5

v1

v3

e

7

e1

v2

G

G- v2

设G1=(V1, E1)，G2=(V2, E2)是图，

• 若V1∩V2=∅，则称G1与G2不相交；

若E1∩E2=∅，则称G1与G2边不相交；

G-{e6, e7}

• 以E1∪E2为边集，以与E1∪E2中边关联的顶点为顶点集的图称为G1与G2的并，记作G1∪G2；

以E1∩E2为边集，以与E1∩E2中边关联的顶点为顶点集的图称为G1与G2的交，记作G1∩G2；

以E1-E2为边集，以与E1-E2中边关联的顶点为顶点集的图称为G1与G2的差，记作G1-G2；

以E1E2为边集，以与E1⊕E2中边关联的顶点为顶点集的图称为G1与G2的环和，记为G1

⊕

G2。

G1

G2

G1∪G2

G1∩G2

G1-G2

G1⊕G2

• 对于顶点和边都不标定字母或数字的图称为非标定图，而

称顶点和边都标定的图称为标定图。

定义 设两个图G1=(V1, E1)，G2=(V2, E2)，

若存在双射f : V1→V2，使得对任意的 u, v∈V1,

当(u, v) E1时, 有(f(u), f(v))∈ E2，则称图G1与G2同构，记为G1≅G2。

≅

G1

G2

•两个图的同构是一种等价关系。两个图同构，不仅要求两个图的顶点与顶点之间有一一对应关系，还要求保持顶点之间的邻接关系。

4

6

10

7

8

1

9

2

d

3

b

c

f

j

5

e

i

≅

a

g

h

彼得森(Petersen)图

例 证明上图中的G1与G2两个图同构。

证 记两个图G1=(V1, E1)，G2=(V2, E2)

其中V1={1, 2, 3, 4}，V2={ v1, v2, v3, v4}。

设f : V1→V2, f(1)= v1

, f(2)= v2

, f(3)= v3

, f(4)= v4

,

则E1中的边 (1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 4)分别被 f 映射到E2中的边(v1, v2)，(v1, v3)，(v1, v4)，(v2, v3)，(v2, v4)，(v3, v4)。故 f

是双射，并且保持顶点之间的邻接关系。所以G1≅G2 。

欧拉图

重点：1、欧拉图的定义。

2、无向图是否具有欧拉通路或回路的判定。

一、问题的提出

图论起源于18世纪，1736年瑞士数学家欧拉 发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。在当时的哥尼斯堡城有一条横贯全市的普雷格尔河，河中的两个岛与两岸用七座桥联结起来，见图(1)。当时那里的居民热衷于一个难题：游人怎样不重复地走遍七桥，最后回到出发点。

为了解决这个问题，欧拉用个字母代替陆地，作为个顶点，将联结两块陆地的桥用相应的线段表示，如图(2)，于是哥尼斯堡七桥问题就变成了图(2)中，是否存在经过每条边一次且仅一次，经过所有的顶点的回路问题了。欧拉在论文中指出，这样的回路是不存在的。

二、定义

欧拉通路 (欧拉迹)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。

欧拉回路 (欧拉闭迹)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。

欧拉图——存在欧拉回路的图。

三、无向图是否具有欧拉通路或回路的判定

有欧拉通路 连通，图中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。

有欧拉回路(为欧拉图)连通，图中均为偶度顶点。

例1、以下图形能否一笔画成？

解：(1)有个奇度顶点，无欧拉回路或通路，不能一笔画成。

(2)与(3)都是个奇度顶点，其余均为偶度顶点，具有欧拉通路，可一笔画成。

(4)图中均为偶度顶点，具有欧拉回路，可一笔画成。

例2、“两只蚂蚁比赛问题”。两只蚂蚁甲、乙分别处在图中的顶点 处，并设图中各边长度相等。甲提出同乙比赛：从它们所在顶点出发，走过图中所有边最后到达顶点处。如果它们速度相同，问谁最先到达目的地？

解：图中，有两个奇度顶点 ，因此存在从到的欧拉通路，蚂蚁乙走到只要走一条欧拉通路，边数为，而蚂蚁甲要想走完图中所有边到达，至少要先走一条边到达，再走一条欧拉通路，故它至少要走条边到达，所以乙必胜。

四、有向图是否具有欧拉通路或回路的判定

有欧拉通路 连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。

有欧拉回路(为欧拉图)连通，中所有顶点的入度等于出度。

例3、判断以下有向图是否欧拉图。

哈密尔顿图

重点：哈密尔顿图的定义。

一、问题的提出

哈密尔顿图起源于一种游戏，它是由英国数学家哈密尔顿于1859年提出的“周游世界游戏”，它用一个正十二面体的20个顶点代替20个城市(图(1))，这个正十二面体同构于一个平面图(图(2))，要求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到出发点，这个游戏曾风靡一时，它有若干个解，称为哈密尔顿图。

二、哈密尔顿图

哈密尔顿通路——通过图中每个顶点一次且仅一次的通路。

哈密尔顿回路——通过图中每个顶点一次且仅一次的回路。

哈密尔顿图——存在哈密尔顿回路的图。

三、判定

遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件。虽然有些充分非必要，或必要非充分条件，但在大部分情况下，还是采用尝试的办法。

例1、判断下图是否具有哈密尔顿回路，通路。

解：(1) 存在哈密尔顿通路，但不存在哈密尔顿回路。

(2) 是哈密尔顿图，存在哈密尔顿回路和通路。

(3) 不存在哈密尔顿回路，也不存在哈密尔顿通路。

例2、画一个无向图，使它

(1) 具有欧拉回路和哈密尔顿回路，

(2) 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路，

(3) 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路，

(4) 既没有欧拉回路，也没有哈密尔顿回路。

解：所要的图分别如下：

第十课时————第十五课时

一、树的定义：

树是n(n>=0)个结点的有限集。在任意一棵非空树中：

(1)有且仅有一个特定的称为根的结点；

(2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,...Tm,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树.

二、树的基本概念：

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。

结点拥有的子树数称为结点的度。

度为0的结点称为叶子或终端结点。

度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。

树的度是树内各结点的度的最大值。

结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。

同一个双亲的孩子之间互称兄弟。

结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。

以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度，或高度。

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

森林是m(m>=0)棵互不相交的树的集合

二叉树的定义

二叉树是另一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有二棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点),并且,二叉树的子树有左右之分,其次序不能任意颠倒。

一棵深度为k且有2(k)-1个结点的二叉树称为满二叉树，如图(a)，按图示给每个结点编号，如果有深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

性质１：在二叉树的第i层上至多有2的i-1次方个结点(i>=1)。

性质２：深度为k的二叉树至多有2的k次方减1个结点(k>=1)。

性质３：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。

性质４：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2(n+1)

性质５：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1=

(1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则双亲PARENT(i)是结点i/2

(2)如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i

(3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1

最小生成树

1、 最小生成树

对于连通的带权图(连通网)G，其生成树也是带权的。生成树T各边的权值总和称为该树的权。

权最小的生成树称为G的最小生成树(Minimum SpannirngTree)。最小生成树可简记为MST。

、生成树和最小生成树的应用

生成树和最小生成树有许多重要的应用。

【例】网络G表示n各城市之间的通信线路网线路（其中顶点表示城市，边表示两个城市之间的通信线路，边上的权值表示线路的长度或造价。可通过求

该网络的最小生成树达到求解通信线路或总代价最小的最佳方案。

求最小生成树的方法

（一）普里姆（Prim）算法

设G =（V，E）

（1） 任意G的一个顶点v1令V1={v1}, E1=φ，G1=(V1,E1)

（2） 令

W(ek)=min

点

,令vk+1表示ek的不属于Vk的端k=1，2，3，4，……p 则Gp就是G的最小生成树

每次添加一边一顶点。

例 求下图的最小生成树

解（1）取中心顶点作v1 ,

(2) min

(3) min

(4) min

ddd(5) min

=2 ,

,

,

=7,

,

至此，已经得到了最小生成树，且

（二）破圈法——克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

在图中任找一圈，把权数最大的一边删去。（即使有多条权数最大，也只删去一条）重复操作，直到图中无圈为止，就得到最小生成树。

例 求最小生成树

步骤

(1) (2) (3) (4)

余下的图就是最小生成树。

第十六课时————第十八课时

欧拉简介

欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导．

欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为\"分析学的化身\"．

欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．

欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说：\"研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．\"

欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点数学．由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了．

1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林

二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．

沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．

欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．

欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等

周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉．他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：\"欧拉是我们的导师．\" 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：\"我死了\"，欧拉终于\"停止了生命和计算\"．

欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．［欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．

欧拉是18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。

1707年4月15日，欧拉诞生于瑞士的巴塞尔。小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师

都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。1720年，13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学。这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。

欧拉大学毕业后到了俄国的首都彼得堡。在他26岁时，担任了彼得堡科学院的数学教授。1735年，年仅28岁的欧拉，由于要计算一个彗星的轨道，奋战了三天三夜，最后用他自己发明的新方法圆满地解决了这个难题。过度的工作，使欧拉得了眼病，就在那一年他右眼失明了。疾病没有吓倒他，他更加勤奋地工作，写出了几百篇论文，大量出色的研究成果，使他在欧洲科学界享有很高的声望。在他59岁时，仅剩的一只左眼视力衰退，只能模糊地看到物体，最后双目失明。但是工作就是他的生命，他决心用加倍的努力，来回答命运对他的挑战。眼睛看不见，他就口述，由他的儿子记录，继续写作。欧拉凭着他惊人的记忆力和心算能力，在黑暗中整整工作了17年。

1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴奋中突然停止了呼吸，享年76岁。欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作为自己的数学家，为有他而感到骄傲。

简单多面体

对于一个多面体，如果它的表面能够连续地变形为一个球面，那么这样的多面体就叫做简单多面体，如长方体、棱柱等。

欧拉公式：

对于简单多面体，有著名的欧拉公式：

V-E+F=2

式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，表示面数。 F