《柯西不等式》知识点

2024年1月8日发(作者：去年广东中考数学试卷难度)

《柯西不等式》知识点

《柯西不等式》知识点

所谓柯西不等式是指:设ai,bi∈R(i=1,2…,n,),则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2),等号当且仅当==…=时成立。

柯西不等式证法:

柯西不等式的一般证法有以下几种：

(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.

我们令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)

则我们知道恒有f(x)≥0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.

于是移项得到结论。

(2)用向量来证.

m=(an)n=(bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.

因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)

这就证明了不等式.

乘以

柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.

柯西不等式应用:

可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。

巧拆常数：

例：设a、b、c为正数且各不相等。

求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

分析：∵a、b、c均为正数

∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)(1+1+1)

证明：Θ2(a+b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=(a+b)+(a+c)+(b+c)]1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9

又a、b、c各不相等，故等号不能成立

∴原不等式成立。

像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献.

柯西简介:

1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原

因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。

他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院\'\'会刊\'\'创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方。

柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础。

一、一般形式

(∑(ai))(∑(bi))≥(∑ai·bi)

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

一般形式的证明

(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2

证明：

等式左边=(ai·bj+aj·bi)+....................共n2/2项

等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2/2项

用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证

二、向量形式

|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。

向量形式的证明

令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn)m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cosm,n>=√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)×cosm,n>∵cosm,n>≤1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)注：“√”表示平方根。

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