数学,源于自然,高于自然

2023年12月26日发(作者：数学试卷第几题是压轴)

数学，源于自然，高于自然

《雅典学院》

首先，对这个问题感兴趣，还点进来看的人，都不是一般人。

00

一切先从定义开始

数学究竟是发现（discovered），还是发明（invented），取决于“发明”和“发现”的定义。

先看两个案例：

科学家发现了微观粒子，而不是发明了微观粒子；

殷商时代的古人发明了甲骨文，而不是发现了甲骨文。

通过这个例子，我们可以达成共识：

发现，是指人类在自然宇宙里找到了以前没见过的事物

发明，是指人类创造出了自然宇宙中以前不存在的事物

如果以这两个定义为基础，可以推出：

因为，数学的定义、符号和规则都是人类的发明，是自然宇宙中以前不存在的事物。

所以，数学是人类的发明，而不是发现。

Q.E.D.

等一下，这样就结束了？

并没有，因为事情没有这么简单。

01

有限的自然宇宙和无穷的数学宇宙

无穷符号

“无穷”是数学中最核心的概念之一，但是”无穷“只存在于人类的想象中，不存在于自然宇宙中。

在我们的印象里，自然宇宙是无穷的。

然而，随着人类观测能力增强，科学家逐渐发现，我们所生活的自然宇宙，实际上比我们想象的要“小”的多。

根据观测到的天文数据，科学家发现宇宙的时间不能无限上溯，而是存在一个叫“大爆炸”的起点，宇宙的年龄估计不超过200亿年；

宇宙的空间也非无限，宇宙的直径不超过1000亿光年；

而宇宙里所有普通物质的质量是1.45×10^53千克，尽管这些都是极其庞大的天文数字，但也是有限的。

也就是说，我们印象里那个无穷的宇宙，是我们想象出来的。

宇宙中所有已知的自然事物，包括时间、空间、物质、能量…

等等都是有限的，在自然中并不存在无穷的事物。

圆周率π

换句话说，数学世界和自然世界是截然不同的两个世界，数学是人类创造出来的全新世界。

02

无穷让数学凌驾于其他科学之上

公元前6世纪，古希腊人证明出了第一个数学定理，从此，无穷进入了数学。

第一个定理是泰勒斯证明出来的泰勒斯定理，和他同时代的毕达哥拉斯则证明了勾股定理，并建立了第一个数学学派。

《雅典学院》中的毕达哥拉斯，旁边抄作业的是德莫克里克。维基百科说图中抄作业的是阿那克西曼德，但他比毕达哥拉斯要早，我更倾向于是德谟克利特，反正拉斐尔也没明确他是谁

（当然很可能他们也证明了，只是还没有足够的证据支持）

是无穷让定律和定理之间产生了天壤之别。

定律是对已知规律的归纳总结，将来可能会出现例外情况，改写定律

而定理则通过演绎推理实现了无穷，不存在例外情况，不会被推

翻。

所以，毕达哥拉斯之前的古代数学家更多的是发现，他们发现了很多定律，但是没有发明太多超越自然宇宙的数学概念。

而毕达哥拉斯之后的数学家，引入了演绎和无穷，还定义了很多超越自然的概念，导致此后的数学越来越多的是发明。

这是一个历史性的时刻，古希腊哲学家开辟了一个无穷的新世界，而数学也从此开始凌驾于其他科学之上。

高斯称，“数学是科学的皇后”。

而爱因斯坦也表示认同：

数学之所以拥有超越其他所有科学的地位，是因为数学中的法则是绝对确定和无可质疑的，而其他科学的法则则是可质疑的，并随时有被新发现的事实所推翻的危险。

大部分自然科学中的定律，放在数学中只能算作猜想。

因为这些定律都是观察、归纳而来的，还不能靠严格的证明保证其永远成立。

例如以牛顿定律所构建的经典力学，后来就被相对论和量子力学所改写。

现代物理学

数学的地位要归功于无穷，数学家赫尔曼.外尔也说：

数学被称为关于无穷的科学。的确，数学家发明了有限构造，通过该构造可以解决问题，而其本性却隐含着无穷。

外尔的第一句话，我们已经理解，第二句话也很重要，可是该如何理解呢？

让我们以《几何原本》为例：

利玛窦和徐光启所翻译的拉丁语版《几何原本》

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，是数学史上最重要的文献之一，这本书的第一句话就暗含了无穷。

定义1. 点：点无法再分割成部分。

有没有意识到，这个定义很古怪，但是哪里古怪，又说不出来。

其实，这是欧几里得在用精巧的话术，想方设法的要绕开无穷，只是为了说明”点“只有位置，而没有大小。

如果直接说“点”没有大小，就必须引出“无穷小”这个至关重要的概念。

所谓”无穷小“是指无限的接近于零，却不等于零。

古希腊人发现”无穷小“会引发很多悖论，他们无法解决，所以只好用“分割”来定义“点”，回避“无穷小”悖论。

如果有人问，这个定义好像包含了无穷小啊？

你就可以反驳：谁说无穷小了？我说的是”不能再分割“。

不管怎么说，无穷隐含其中。

《雅典学院》中手拿圆规作图的欧几里得

定义完了“点”，紧接着，欧几里得又在“点”的定义基础之上，构造出了“线”的定义：

定义2．线：线是没有宽度的长度。

定义3．线的两端是点。

定义4．直线：直线是线上的点均匀平直的分布。

有了“线”的定义，接下来是“面”的定义，然后是各种“几何图形”的定义，…

欧几里得构造了点、线、面、形、角等23个数学元素的定义（后面的12卷又增加到了131个），以及5条公理、5条公设，并以这些有限的元素和规则证明了465个命题，构建出无限的欧几里得几何空间。

号称最美彩版《几何原本》中的插图

数学的定义里有无穷、定理里也有无穷、数学的空间也是无穷的…，总之数学世界中到处都是无穷。

回过头来，再重新品味外尔的话：

的确，数学家发明了有限构造，通过该构造可以解决问题，而其本性却隐含着无穷。

是不是容易理解多了？

03

数学来源于自然，却高于自然

人类观察鸟的飞行，发现了飞行的原理，然后发明出飞机这种全新的事物。

随着人类对飞机的不断改良，飞机的速度和范围很快就超越了所有鸟类。

数学的计算边界远远超过自然

注意，这个图只是演示数学可计算的边界远远超出了自然宇宙的范围，并不代表数学已经比自然大。

数学完全有能力来描述我们所在的这个自然宇宙，但是反过来，数学宇宙中的很多东西是无法用自然事物来描述的，比如无穷。

这是不是很神奇？

爱因斯坦也这样认为，他说：

宇宙的可理解性是宇宙永远的秘密...宇宙居然能被理解，这个事实本身，就是一个奇迹。

数学史的时间线

按照数学史的时间线：

1. 5000多年前，人类发明出算数计算

2. 2000多年前，古希腊人发明了几何证明

3. 400多年前，欧洲人发明了代数和微积分

4. 100多年前，数学家建立起了现代数学体系

直到此时，爱因斯坦才有能力用现代数学的强大工具发明出了相对论，如果没有现代数学，即使爱因斯坦也寸步难行。

这个图片是搞笑用的，但内容是认真的。

一个不会现代数学的爱因斯坦，和一个掌握现代数学的爱因斯坦，只有后者才可以发明相对论。

智商决定不了人的上限，是人所能掌握的数学水平，限制了人能掌握的科学和技术水平，而这些才决定了人的上限。

事实上，数学家每发明创造出一个新的数学概念，都会让数学的边界扩展出一个更庞大的无穷空间。

如果只依靠发现的话，数学家的能力就会受到极大的限制。

2000多年前，毕达哥拉斯学派的希帕索斯，基于勾股定理发明出了根号2，这种不能用自然数的比例来表示的非比例数，也就是无理数。

学派认为他发明出的新数，不是自然宇宙中存在的数，是亵渎神灵的行为，于是淹死了希帕索斯。

如果数学家停止脚步，只使用自然数，而不使用发明出来的新数，那就极大约束他们的能力，就不会有后来高度繁荣的数学世界了。

经过2000多年创造，数学家打破了自然的限制，发明出了越来越多自然宇宙中并不存在的新数。

从0维空间到4维空间

二向箔把太阳系碾压成低维空间

图片出处：《三体艺术插画集》

而如果能让数学家把数学工具带到自然宇宙的话，他们完全可以碾压歌者，彻底摧毁歌者文明。

如果想限制住数学家的力量，就让他们只能用在自然中才存在的事物。

这样人类的科学探索能力，就会被永远锁死在2000多年前的古代，这比智子锁死基础物理还要狠毒！(三体迷都知道的梗^_^)

幸好，数学家已经摆脱了自然的限制，就像《西游记》里的孙悟空一样，“跳出三界外，不在五行中”，这是前所未有的自由。“

人定胜天”这个梦想，至少在数学上已经完全实现了！

现在你已经明白了，数学的强大力量恰恰来自于发明，而没有停留在发现上。

数学是人类文明对自然的伟大超越！

04

仔细观察拉斐尔的《雅典学院》，就会发现画中暗藏着一个金字

塔形的层次结构。

整个《雅典学院》以柏拉图和亚里士多德为中心。

同时他们也是身边人物的视线焦点。

如果以亚里士多德伸出的右手作为顶点，可以做出一个等腰三角形，从台阶之上向下延伸到地板，底边的两个角右边指向毕达哥拉斯，左边指向欧几里得。

注意观察，就会发现这两个数学家也是周围人物的视线焦点。

右边是由达芬奇Cosplay的柏拉图，他的右手竖着中指（啊不，是食指）指向天空，左手夹着《蒂迈欧篇》，象征着「形式」可以构造出理想的世界。

左边是亚里斯多德（可能是米开朗基罗Cosplay），右手拍向大地，左手扶着《伦理学》，象征着「经验」需要通过脚踏实地的观察才能发现。

他们两个人，正好代表了人类获得知识的两种途径：

一种来自演绎、发明，另一种则来自归纳、发现。

拉斐尔用这样的构图来表达，在自然哲学的层级结构中，数学是整个自然哲学的基础。

两者不是非此即彼的关系，而是兼而有之的关系。

发现和发明是数学的不同阶段：

1. 数学家观察自然，在数量和图形中发现了数学规律

2. 数学家根据发现，设计出新的数学元素，并通过演绎引入了无穷

3. 无穷将自然定律变成了数学定理，数学逐渐开始超越自然

4. 数学家发明出大量新的数学元素和规则，开拓出一个又一个的数学无穷宇宙

5. 人类借助数学宇宙中超越自然的力量，实现了科学、技术的大繁荣

6. 数学起源于自然，独立于自然，超越了自然，最终演化为一个全新的世界

所以，发明和发现在过程上是统一的，并非对立。

PS：

01

如果有外星高级智慧，他们想用一种工具来描述那些规律的时候，会发明另一种类似数学的东西，而不是人类数学么？

提到外星人，我倒是确实想象过外星人的数学可能是什么样。

我们的数学，是从自然数出发，从离散到连续，从静止到变化（从数到函数到微积分），这可能跟我们的生理构造有关。

我们生活在空气中，可以很清晰地分辨出物体的轮廓，可以很自然地数数，所以离散、相比、连续，对我们来说更自然。

但有没有可能发生相反的情况呢？

有没有可能有某种生活在半透明的液体中的智慧生物，他们靠低频段电磁波或者声波来感知周围的物体。

对他们来说，连续变化的量比离散的整数更符合直觉？

而这又导致他们的数学发展史与我们截然不同，以至于微积分、拓扑比数论更基本？

他们可能对数的大小、函数的变化速率非常敏感，但是却需要经过训练才能理解什么是整数、什么叫奇数偶数、什么叫整除。

当然这都是我的胡思乱想，我只是觉得人类认知数学的方式，跟人类本身的感知方式是有关系的。

之前听xx老师的报告，说为什么代数里面定义乘法，只有左乘、右乘，没有上乘、下乘呢？

初听起来这个问题很蠢，但仔细思考之后里面有不平凡的想法。

我们传统的代数结构是一维的，所以只有左右两个方向；

但是现代的Hopf代数、量子群等等更复杂的代数结构，他们的定义在数学公理的层面上是非常繁冗的。

但是，从高维量子场论的角度去看，他们其实是一维代数结构的自然推广。

——老师原话

具体我也不太理解。

至于为什么传统代数结构是一维的呢？

因为我们传统的书写、阅读方式就是一维的啊；

我们是一行一行写，写完一行换一行。

我们集成信息的方式就是把信息当成一个巨大的字符串啊。

这么一想，我们先天固有的感知方式，可能对我们发展数学概念确实有难以察觉的深刻影响。

（@Yuhang Liu）

02为什么中国人数学这么牛，却几乎没有中国人发现的数学定理？

简答。

一个历史残片。

Theorem: (Chu-Vandermonde sum)

这里Chu指的是中国数学家：朱世杰

朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。（百度百科复制的）

其实朱世杰在1303年就得到了这个公式。

但。

很长一段时间以来，这个杰出又如此有用的的公式是被归在Vandermonde名下的。

后来特殊函数论领域的权威R. Askey通过查阅文献得知了朱世杰的工作，才重新（建议）称之为Chu-Vandermonde求和（公式）的。

这一故事的来源是R. Askey著名的著作《Orthogonal

Polynomials and Special Functions》第59-60页。

维基百科的相关词条：Vandermonde\'s identity也强调了这个事实。

这块历史残块虽然十分细小，但也许可以带给我们很多的思考。