2024年4月11日发(作者：上海闵行区一模数学试卷)
第十章曲线积分与曲面积分
曲线积分
一基本概念
定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
n
（1）平面曲线
L(AB)
的积分：
L(AB)
f(x,y)dslim
(T)0
f(
k1
n
k
,
k
)s
k
（2）空间曲线
L(AB)
的积分：
L(AB)
f(x,y,z)dslim
(T)0
f(
k1
k
,
k
,
k
)s
k
(,)
或
其中
(T)
表示分割曲线
k
L(AB)
的分法
T
的细度，即
n
段曲线弧长的最大值，
kk
(
k
,,
k
)
是第
k
段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线
表示曲线的线密度。
L
的质量，其中被积函数
f(x,y)
或
f(x,y,z)
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（1）平面曲线
L(AB)
的积分：
n
L(AB)
P(x,y)dxQ(x,y)dylim
(T)0
[f(
k1
k
,
k
)x
k
f(
k
,
k
)y
k
]
（2）空间曲线
L(AB)
的积分：
L(AB)
P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dy
n
R(x,y,z)dz
k
lim
(T)0
[f(
k1
k
,
k
,
k
)x
k
f(,
k
,
k
)y
k
f(
k
,
k
,
k
)z
k
]
k
其中
(T)
表示分割曲线
L(AB)
的分法
T
的细度，即
n
段的最大弧长，
(,
k
)
是第
k
段弧
上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力
F
沿曲线
L
所作的功，被积函数
P(x,y),Q(x,y)
或
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)
表示力
F
在各坐标轴上的分量。
二基本结论
定理1 （第一类曲线积分的性质）
（1）无向性
L(AB)
f(x,y)ds
L(BA)
f(x,y)ds
．
（2）线性性质(1)
(2)
(
x
,
y
)d
skf
L
[
f
(
x
,
y
)
L
k
L
f
(
x
,
y
)d
s
；
L
g
(
x
,
y
)]d
sf
(
x
,
y
)d
s
．
(,)d
gxys
L
（3）路径可加性曲线
L
L
分成两段
L
1
和
L
2
（不重叠），则
L
1
f(x,y)dsf(x,y)ds
L
2
f(x,y)ds
．
（4）弧长公式
（5）恒等变换
d
s
L
L
(
L
表示曲线
L
的弧长)．
积函数可用积分曲线方程作变换．
如果积分弧段
L(AB)
关于（6）奇偶性与对称性
y
轴对称，
L(AB)
f(x,y)ds
存在，则
0,
L(AB)
f(x,y)
关于
x
是奇函数,
L(OB)
f(x,y)ds
2
，
f(x,y)
关于
x
是偶函数.
f(x,y)ds
其中
O
点是曲线弧段
L(AB)
与
y
轴的交点．
定理2 （第二类曲线积分的性质）
（1）有向性
（2）线性性质
P(x,y)dx
L(AB)
(1)
(2)
．
P(x,y)dx
L(BA)
kf
(
x
,
y
)d
x
L
[(,)
fxy
L
曲线
L
k
L
f
(
x
,
y
)d
x
；
L
g
(
x
,
y
)]d
xf
(
x
,
y
)d
x
．
(,)d
gxyx
L
（3）路径可加性
L
分成两段
L
1
和
L
2
（不重叠），则
L
1
f(x,y)dxf(x,y)dx
L
2
f(x,y)dx
．
定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）
L(AB)
PdxQdyRdz
L(AB)
P
dx
ds
Q
dy
ds
R
dz
ds
ds
L(AB)
(Pcos
Fds
QcosRcos)ds
L(AB)
其中
cos,cos,cos
是曲线
AB
上的点的切线的方向余弦，且
cosds,dycosds,dzcosds
L(AB)
是直线时，则
L(AB)
可能采用两类不同的曲线积分的
dx
一般地，积分曲线的方向余弦是变量。但是，当积分曲线
切线的方向余弦是一个常量。
转换。
定理4 （格林公式）
所以，当积分曲线是直线时，
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曲线,表示,方向,闵行区
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