同济大学《高等数学第五版》习题答案

习题1−1

1. 设A=(−∞, −5)∪(5, +∞), B=[−10, 3), 写出A∪B, A∩B, AB及A(AB)的表达式.

解 A∪B=(−∞, 3)∪(5, +∞),

A∩B=[−10, −5),

AB=(−∞, −10)∪(5, +∞),

A(AB)=[−10, −5).

2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=AC

∪B C

.

证明 因为

x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈AC或x∈B C

⇔ x∈AC

∪B C,

所以 (A∩B)C=AC

∪B C

.

3. 设映射f : X →Y, A⊂X, B⊂X . 证明

(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);

(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).

证明 因为

y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B, 使f(x)=y

⇔(因为x∈A或x∈B) y∈f(A)或y∈f(B)

⇔ y∈ f(A)∪f(B),

所以 f(A∪B)=f(A)∪f(B).

(2)因为

y∈f(A∩B)⇒ ∃x∈A∩B, 使f(x)=y⇔(因为x∈A且x∈B) y∈f(A)且y∈f(B)⇒ y∈ f(A)∩f(B),

所以 f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).

4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使gDf=IX,

fDg=IY, 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有IX

x=x; 对于每一个y∈Y, 有IY

y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f −1.

证明 因为对于任意的y∈Y, 有x=g(y)∈X, 且f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.

又因为对于任意的x1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) ⇒g[ f(x1)]=g[f(x2)] ⇒ x1=x2.

因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射.

对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有g(y)=x∈X, 且满足f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射.

5. 设映射f : X→Y, A⊂X . 证明:

(1)f −1(f(A))⊃A;

(2)当f是单射时, 有f −1(f(A))=A .

证明 (1)因为x∈A ⇒ f(x)=y∈f(A) ⇒ f

−1(y)=x∈f −1(f(A)),

所以 f −1(f(A))⊃A.

(2)由(1)知f −1(f(A))⊃A.

另一方面, 对于任意的x∈f −1(f(A))⇒存在y∈f(A), 使f −1(y)=x⇒f(x)=y . 因为y∈f(A)且f是单射, 所以x∈A. 这就证明了f −1(f(A))⊂A. 因此f −1(f(A))=A .

6. 求下列函数的自然定义域:

(1)y=3x+2;

解 由3x+2≥0得x>−2. 函数的定义域为[−2, +∞).

33 (2)y=12;

1−x 解 由1−x2≠0得x≠±1. 函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞).

(3)y=1−1−x2;

x 解 由x≠0且1−x2≥0得函数的定义域D=[−1, 0)∪(0, 1].

(4)y=1;

4−x2 解 由4−x2>0得 |x|<2. 函数的定义域为(−2, 2).

(5)y=sinx;

解 由x≥0得函数的定义D=[0, +∞).

(6) y=tan(x+1);

ππ 解 由x+1≠(k=0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为x≠kπ+−1

(k=0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).

22 (7) y=arcsin(x−3);

解 由|x−3|≤1得函数的定义域D=[2, 4].

1 (8)y=3−x+arctan;

x 解 由3−x≥0且x≠0得函数的定义域D=(−∞, 0)∪(0, 3).

(9) y=ln(x+1);

解 由x+1>0得函数的定义域D=(−1, +∞).

(10)1y=ex.

解 由x≠0得函数的定义域D=(−∞, 0)∪(0, +∞).

7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？

(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x;

(2) f(x)=x, g(x)=x2;

(3)f(x)=3x4−x3,g(x)=x3x−1.

(4)f(x)=1, g(x)=sec2x−tan2x .

解 (1)不同. 因为定义域不同.

(2)不同. 因为对应法则不同, x<0时, g(x)=−x.

(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.

(4)不同. 因为定义域不同.

⎧|sinx| |x|<π⎪3, 求ϕ(π),

ϕ(π),

ϕ(−π),

ϕ(−2), 并作出函数y=ϕ(x)的图形.

8. 设ϕ(x)=⎨π464⎪0 |x|≥⎩3 解

ϕ(π)=|sinπ|=1,

ϕ(π)=|sinπ|=2,

ϕ(−π)=|sin(−π)|=2,

ϕ(−2)=0.

662442442 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:

x, (−∞, 1); (1)y=1−x (2)y=x+ln x, (0, +∞).

证明 (1)对于任意的x1, x2∈(−∞, 1), 有1−x 1>0, 1−x 2>0. 因为当x1

xxx1−x2

y1−y2=1−2=<0,

1−x11−x2(1−x1)(1−x2)所以函数y=x在区间(−∞, 1)内是单调增加的.

1−xx1<0,

x2 (2)对于任意的x1, x2∈(0, +∞), 当x1

y1−y2=(x1+lnx1)−(x2+lnx2)=(x1−x2)+ln所以函数y=x+ln x在区间(0, +∞)内是单调增加的.

10. 设 f(x)为定义在(−l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(−l, 0)内也单调增加.

证明 对于∀x1, x2∈(−l, 0)且x1−x2.

因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以

f(−x2)f(x1),

这就证明了对于∀x1, x2∈(−l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(−l, 0)内也单调增加.

11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l, l)上的, 证明:

(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;

(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明 (1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则

F(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.

如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则

F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−F(x),

所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.

(2)设F(x)=f(x)⋅g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则

F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.

如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则

F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=[−f(x)][−g(x)]=f(x)⋅g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.

如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则

F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)[−g(x)]=−f(x)⋅g(x)=−F(x),

所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？

(1)y=x2(1−x2);

(2)y=3x2−x3;

(3)y=1−x2;

1+x2 (4)y=x(x−1)(x+1);

(5)y=sin x−cos x+1;

x−x (6)y=a+a.

2 解 (1)因为f(−x)=(−x)2[1−(−x)2]=x2(1−x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数.

(2)由f(−x)=3(−x)2−(−x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.

1−(−x)21−x2 (3)因为f(−x)===f(x), 所以f(x)是偶函数.

21+(−x)1+x2 (4)因为f(−x)=(−x)(−x−1)(−x+1)=−x(x+1)(x−1)=−f(x), 所以f(x)是奇函数.

(5)由f(−x)=sin(−x)−cos(−x)+1=−sin x−cos x+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.

(6)因为f(−x)=a(−x)+a−(−x)−xx=a+a=f(x), 所以f(x)是偶函数.

22

13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:

(1)y=cos(x−2);

(2)y=cos 4x;

(3)y=1+sin

πx;

(4)y=x cos x;

(5)y=sin2 x.

解 (1)是周期函数, 周期为l=2π.

(2)是周期函数, 周期为l=π.

2 (3)是周期函数, 周期为l=2.

(4)不是周期函数.

(5)是周期函数, 周期为l=π.

14. 求下列函数的反函数:

(1)y=3x+1;

(2)y=1−x;

1+x (3)y=ax+b(ad−bc≠0);

cx+d (4) y=2sin3x;

(5) y=1+ln(x+2);

2x. (6)y=x2+1 解 (1)由y=3x+1得x=y3−1, 所以y=3x+1的反函数为y=x3−1.

1−y, 所以y=1−x的反函数为y=1−x. (2)由y=1−x得x=1+x1+x1+x1+y−dy+b (3)由y=ax+b得x=, 所以y=ax+b的反函数为y=−dx+b.

cy−acx+dcx+dcx−ay (4)由y=2sin 3x得x=1arcsin, 所以y=2sin 3x的反函数为y=1arcsinx.

3232 (5)由y=1+ln(x+2)得x=e y−1−2, 所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=e x−1−2.

xy2x的反函数为y=logx.

x=logy=得, 所以 (6)由y=2222x+12x+11−y1−x 15. 设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.

证明 先证必要性. 设函数f(x)在X上有界, 则存在正数M, 使|f(x)|≤M, 即−M≤f(x)≤M. 这这就证明了f(x)在X上有下界−M和上界M.

再证充分性. 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1≤f(x)≤ K2 . 取M=max{|K1|, |K2|},

则 −M≤ K1≤f(x)≤ K2≤M ,

即 |f(x)|≤M.

这就证明了f(x)在X上有界.

16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:

(1) y=u2, u=sin x,

x1=π,

x2=π;

63 (2) y=sin u, u=2x,

x1=π,x2=π;

8,4 (3)y=u, u=1+x2, x1=1, x2= 2;

(4) y=eu, u=x2, x1

=0, x2=1;

(5) y=u2

, u=ex , x1=1, x2=−1.

解 (1)y=sin2x,

y1=sin2π=(1)2=1,y2=sin2π=(3)2=3.

624324 (2)y=sin2x,

y1=sin(2⋅π)=sinπ=2,y2=sin(2⋅π)=sinπ=1.

42842 (3)y=1+x2, y1=1+12=2, y2=1+22=5.

(4)y=ex2,

y1=e02=1,

y2=e12=e.

(5)y=e2x, y1=e2⋅1=e2, y2=e2⋅(−1)=e−2.

17. 设f(x)的定义域D=[0, 1], 求下列各函数的定义域:

(1) f(x2);

(2) f(sinx);

(3) f(x+a)(a>0);

(4)f(x+a)+f(x−a)(a>0).

解 (1)由0≤x2≤1得|x|≤1, 所以函数f(x2)的定义域为[−1, 1].

(2)由0≤sin x≤1得2nπ≤x≤(2n+1)π (n=0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f(sin x)的定义域为

[2nπ, (2n+1)π] (n=0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .

(3)由0≤x+a≤1得−a≤x≤1−a, 所以函数f(x+a)的定义域为[−a, 1−a].

(4)由0≤x+a≤1且0≤x−a≤1得: 当01时, 无解. 因此当01时函数无意义.

2

1 |x|<1⎧⎪ 18. 设f(x)=⎨0 |x|=1, g(x)=ex

,

求f[g(x)]和g[f(x)],

并作出这两个函数的图形.

⎪⎩−1 |x|>11 |ex|<11 x<0⎧⎧⎪⎪x解

f[g(x)]=⎨0 |e|=1,

即f[g(x)]=⎨0 x=0.

⎪⎪⎩−1 |ex|>1⎩−1 x>0e1 |x|<1e |x|<1⎧⎧⎪⎪

g[f(x)]=ef(x)=⎨e0 |x|=1,

即g[f(x)]=⎨1 |x|=1.

⎪⎪⎩e−1 |x|>1⎩e−1 |x|>1 19.

已知水渠的横断面为等腰梯形,

斜角ϕ=40°(图1−37).

当过水断面ABCD的面积为定值S0时,

求湿周L(L=AC+CD+DB)与水深h之间的函数关系式,

并说明定义域.

图1−37

解

Ab=DC=hsin40D,

又从得1h[BC+(BC+2cot40D⋅h)]=S02BC=S0−cot40D⋅h,

所以

hS02−cos40DL=+h.

sin40Dh

自变量h的取值范围应由不等式组

h>0,

确定,

定义域为0

S0−cot40D⋅h>0

h 20.

收敛音机每台售价为90元,

成本为60元.

厂方为鼓励销售商大量采购,

决定凡是订购量超过100台以上的,

每多订购1台,

售价就降低1分,

但最低价为每台75元.

(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;

(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;

(3)某一商行订购了1000台,

厂方可获利润多少？

解 (1)当0≤x≤100时, p=90.

令0. 01(x0−100)=90−75,

得x0=1600.

因此当x≥1600时, p=75.

当100

p=90−(x−100)×0. 01=91−0. 01x.

综合上述结果得到

⎧90 0≤x≤100⎪

p=⎨91−0.01x 100

⎪75 x≥1600⎩

30x 0≤x≤100⎧⎪ (2)P=(p−60)x=⎨31x−0.01x2 100

⎪15x

x≥1600⎩ (3) P=31×1000−0. 01×10002=21000(元).

习题1−2

1. 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势, 写出它们的极限:

1 (1)xn=n;

21 (2)xn=(−1)n;

n1 (3)xn=2+2;

nn−1; (4)xn=n+1 (5) xn=n(−1)n.

解 (1)当n→∞时,

xn=12n→0,

lim1n→∞2n=0.

11→0,

lim(−1)n=0.

n→∞nn11 (3)当n→∞时,

xn=2+2→2,lim(2+2)=2.

n→∞nn2n−1n−1=1−=1.

→0,lim (4)当n→∞时,

xn=n→∞n+1n+1n+1 (5)当n→∞时, xn=n(−1)n没有极限.

(2)当n→∞时,

xn=(−1)ncosnπ2. 问limx=? 求出N, 使当n>N时, x与其极限之差的 2. 设数列{xn}的一般项xn=nnn→∞n绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N.

解

limxn=0.

n→∞|cosnπ|12≤. ∀ε >0, 要使|x−0|<ε , 只要1<ε, 也就是n>1. 取N=[1],

|xn−0|=

nnnεnε则∀n>N, 有|xn−0|<ε .

1 当ε =0.001时,

N=[]=1000.

ε 3. 根据数列极限的定义证明:

1 (1)lim2=0;

n→∞n3n+13=; (2)limn→∞2n+12

n2+a2 (3)lim=1

n→∞n (4)lim0.