2024年3月19日发(作者：数学试卷里的手写体x)

2019全国3卷理数

一、选择题

2.若

z(1i)2i

，则

z

( )

2

A{1,0,1,2}，B{x|x1}

，则

AB

( ) 1.已知集合

A．

1,0,1

0,1

B．



C．

1,1

D．

0,1,2

A．

1i

B．

1+i

C．

1i

D．

1+i

3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中

国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学

生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共

有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西

游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

24

3

(12x)(1x)

4.的展开式中

x

的系数为( )

A．12 B．16 C．20

a

n

D．24

5.已知各项均为正数的等比数列

的前4项为和为15，且

a

5

3a

3

4a

1

，则

a

3

( )

A．16 B．8 C．4 D．2

x

yaexlnx

在点

(1,ae)

处的切线方程为

y2xb

，则( ) 6.已知曲线

A．

ae,b1

B．

ae,b1

1

ae,b1

C．

1

ae,b1

D．

2x

3

y

x

22

x

在

6,6

的图象大致为( ) 7.函数

A． B．

C． D．

8.如图，点

N

为正方形

ABCD

的中心，

△ECD

为正三角形，平面

ECD

平面

ABCD,M

是线段

ED

的中点，则( )

A．

BMEN

，且直线

BM、EN

是相交直线

B．

BMEN

，且直线

BM,EN

是相交直线

C．

BMEN

，且直线

BM、EN

是异面直线

D．

BMEN

，且直线

BM,EN

是异面直线

9.执行下边的程序框图，如果输入的

为0.01，则输出

s

的值等于( )

1111

A.

2

2

4

B.

2

2

5

C.

2

2

6

D.

2

2

7

x

2

y

2

C:1

42

10.双曲线的右焦点为

F

，点

P

在

C

的一条渐进线上，

O

为坐标原点，若

POPF

，则

△PFO

的面积为( )

32

A．

4

32

B．

2

C．

22

D．

32

11.设

f(x)

是定义域为R的偶函数，且在

(0,)

单调递减，则( )

2

3

1

2

f(log

3

)f(2)f(2

3

)

4

A．

2

3

1

3

f(log

3

)f(2)f(2

2

)

4

B．

1

f(2)f(2)f(log

3

)

4

C．

3

2

2

3

1

f(2)f(2)f(log

3

)

4

D．

2

3

3

2

f(x)sin(

x)(

0)

0,2

5

12.设函数，已知

f(x)

在

有且仅有5个零点，下述四个结

论：

①

f(x)

在

(0,2)

有且仅有3个极大值点

②

f(x)

在

(0,2)

有且仅有2个极小值点

③

f(x)

在

(0,

)

10

单调递增

1229

,

5

④

的取值范围是

10

其中所有正确结论的编号是( )

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

二、填空题

13.已知

a,b

为单位向量，且

ab0

，若

c2a5b

，则

cosa,c

________.

S

10

a

n

a

1

0,a

2

3a

1

S

n

S

14.记为等差数列的前

n

项和，，则

5

___________.

x

2

y

2

C:+1

F

1

,F

2

3620

15.设为椭圆的两个焦点，

M

为

C

上一点且在第一象限.若

△MF

1

F

2

为

等腰三角形，则

M

的坐标为___________.

16.学生到工厂劳动实践，利用

3D

打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

挖去四棱锥

OEFGH

后所得几何体，其中

O

为长方体的中心，

E,F,G,H

分

AB=BC=6cm, AA

1

=4cm

别为所在棱的中点，，

3D

打印所用原料密度为

0.9 g/cm

，不考虑

3

打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

三、解答题

17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随

机分成

A、B

两组，每组100只，其中

A

组小鼠给服甲离子溶液，

B

组小鼠给服乙离子溶

液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算

出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记

C

为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到

P(C)

的估

计值为0.70．

1.求乙离子残留百分比直方图中

a,b

的值；

2.分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表）．

18.

△ABC

的内角

A、B、C

的对边分别为

a、b、c

，已知

asin

AC

bsinA

2

．

1.求

B

；

2.若

△ABC

为锐角三角形，且

c1

，求

△ABC

面积的取值范围．

19.图1是由矩形

ADEB、Rt△ABC

和菱形

BFGC

组成的一个平面图形，其中

AB1,BEBF2

，

FBC60

，将其沿

AB,BC

折起使得

BE

与

BF

重合，连结

DG

，如图2.

1.证明：图2中的

A,C,G,D

四点共面，且平面

ABC

平面

BCGE

；

2.求图2中的二面角

BCGA

的大小.

32

f(x)2xaxb

. 20.已知函数

1.讨论

f(x)

的单调性；

2.是否存在

a,b

，使得

f(x)

在区间

[0,1]

的最小值为

1

且最大值为1？若存在，求出

a,b

的所有值；若不存在，说明理由.

x

2

1

C:y,D

y

2

2

上的动点，过

D

作

C

的两条切线，切点分别为21.已知曲线为直线

A,B.

1.证明：直线

AB

过定点：

5

E(0,)

2

为圆心的圆与直线

AB

相切，且切点为线段

AB

的中点，求四边形

ADBE

2.若以

的面积.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]



B(2,)C(2,)

4

，

4

，

D(2,)

，弧

AB

，

BC

，

CD

所如图，在极坐标系

Ox

中，

A(2,0)

，

(1,)

在圆的圆心分别是

(1,0)

，

2

，

(1,)

，曲线

M

1

是弧

AB

，曲线

M

2

是弧

BC

，曲线

M

3

是弧

CD

.

1.分别写出

M

1

，

M

2

，

M

3

的极坐标方程；

2.曲线

M

由

M

1

，

M

2

，

M

3

构成，若点

P

在

M

上，且

|OP|3

，求

P

的极坐标.

23.[选修4-5：不等式选讲]

设

x,y,zR

，且

xyz1

.

222

(x1)(y1)(z1)

1.求的最小值；

2.若

(x2)

2

(y1)

2

(za)

2

1

3

成立，证明：

a3

或

a1

.

参考答案

一、选择题

1.答案：A

解析：

2.答案：D

解析：

3.答案：C

解析：

4.答案：A

解析：

5.答案：C

解析：

6.答案：D

解析：

7.答案：B

解析：

8.答案：B

解析：

9.答案：C

解析：

10.答案：A

解析：

11.答案：C

解析：

12.答案：D

解析：

二、填空题

2

13.答案：

3

解析：

14.答案：4

解析：

15.答案：

(3,15)

解析：

16.答案：118.8

解析：

三、解答题

17.答案：1.由已知得

0.70a0.200.15

，故

a0.35

．

b10.050.150.700.10

．

2.甲离子残留百分比的平均值的估计值为

20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05

．

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00

．

解析：

AC

sinBsinA

2

． 18.答案：1.由题设及正弦定理得

sinAsin

因为

sinA0

，所以

sin

AC

sinB

2

．

由

ABC180

，可得

sin

ACBBBB

coscos2sincos

22

，故

222

．

因为

cos

BB1

0sin

2

，故

22

，因此

B60

．

2.由题设及1知

△ABC

的面积

S

△

ABC

3

a

4

．

由正弦定理得

a

csinA

sin

120C

31



sinCsinC2tanC2

．

由于

△ABC

为锐角三角形，故

0A90,0C90

，由1知

AC120

，所以

33

1

S

△

ABC

a2

2

．

30C90

，故

2

，从而

8

33

8

,

2



．

△ABC

因此，面积的取值范围是

解析：

19.答案：1.由已知得

AD//BE,CG//BE,

所以

AD//CG

，故

AD,CG

确定一个平面，从而

A,C,G,D

四点共面．

由已知得

ABBE,ABBC

，故

AB

平面

BCGE

．

又因为

AB

平面

ABC

，所以平面

ABC

平面

BCGE

．

2.作

EHBC

，垂足为

H

．因为

EH

平面

BCGE

，平面

BCGE

平面

ABC

，所以

EH

平面

ABC

．

由已知，菱形

BCGE

的边长为2，

EBC60

，可求得

BH1,EH3

．

以

H

为坐标原点，

HC

的方向为

x

轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

Hxyz

，

则

A(1,1,0)

，

C(1,0,0)

，

G(2,0,3)

，

CG(1,0,3)

，

AC(2,1,0)

．

设平面

ACGD

的法向量为

n(x,y,z)

，则

CGn0,

x3z0,

ACn0,

即

2xy0.

所以可取

n(3,6,3)

．

又平面

BCGE

的法向量可取为

m(0,1,0)

，所以

cosn,m

nm3

|n||m|2

．

因此二面角

BCGA

的大小为

30

．

解析：

2

f(x)6x2ax2x(3xa)

． 20.答案：1.

令

f

(x)0

，得

x

=0或

x

a

3

.

a



a

x(,0)

,

x

0,

3

时，

f

(x)0

；当

3

时，

f

(x)0

．故

f(x)

在若

a0

，则当

a



a

(,0),

,



0,

3



单调递增，在

3

单调递减；

若

a0

，

f(x)

在

(,)

单调递增；

a



a

x

,

(0,)

x

,0

3

若

a0

，则当

时，

f

(x)0

；当

3

时，

f

(x)0

．故

f(x)

在

a



a

,,(0,)



,0

3



单调递增，在

3

单调递减.

2.满足题设条件的

a,b

存在.

（i）当

a0

时，由1知，

f(x)

在

[0,1]

单调递增，所以

f(x)

在区间

[0,1]

的最小值为

f(0)=b

，最大值为

f(1)2ab

.此时

a,b

满足题设条件当且仅当

b1

，

2ab1

，即

a0

，

b1

．

（ii）当

a3

时，由1知，

f(x)

在

[0,1]

单调递减，所以

f(x)

在区间

[0,1]

的最大值为

f(0)=b

，最小值为

f(1)2ab

．此时

a,b

满足题设条件当且仅当

2ab1

，

b1

，即

a4,b1

．

a

3

a

f



b

27

f(x)

[0,1]

（iii）当

0a3

时，由1知，在的最小值为

3

，最大值为

b

或

2ab

．

a

3

b1

3

若

27

，

b1

，则

a32

，与

0a3

矛盾.

a

3

b1

若

27

，

2ab1

，则

a33

或

a33

或

a0

，与

0a3

矛盾．

综上，当且仅当

a0

，

b1

或

a4,b1

时，

f(x)

在

[0,1]

的最小值为

–1

，最大值为

1．

解析：

1



D

t,

,A

x

1

,y

1

x

1

2

2y

1

2



21.答案：1.设，则.

1

2

x

1

x

xt

y\'x

1

由于，所以切线

DA

的斜率为，故

1

.

y

1

整理得

2 tx

1

2 y

1

+1=0.

Bx,y

设

22

，同理可得

2tx

2

2 y

2

+1=0

.

故直线

AB

的方程为

2tx2y10

.

1

(0,)

所以直线

AB

过定点

2

.

2.由1得直线

AB

的方程为

ytx

1

2

.

1

ytx

2

2

y

x

2

2

由

，可得

x2tx10

.

于是

x

1

x

2

2t,x

1

x

2

1,y

1

y

2

t

x

1

x

2

12t

2

1

，

|AB|1t

2

x

1

x

2

1t

2

x

1

x

2

2

4x

1

x

2

2

t

2

1

.

设

d

1

,d

2

分别为点

D,E

到直线

AB

的距离，则

d

1

t

2

1,d

2

2

t

2

1

.

因此，四边形

ADBE

的面积

S

1

|AB|

d

1

d

2

t

2

3

t

2

1

2

.

1



M

t,t

2

2

. 设

M

为线段

AB

的中点，则

由于

EMAB

，而

t1

.

EM

t,t

2

2

2

tt2

t0

(1, t)

，

AB

与向量平行，所以.解得

t0

或

当

0

时，

S3

；当

t1

时，

S42

.

因此，四边形

ADBE

的面积为3或

42

.

解析：

22.答案：1.由题设可得，弧

AB,BC,CD

所在圆的极坐标方程分别为

2cos

，

2sin

，

2cos

.

所以

M

1

的极坐标方程为

2sin

π

4

2cos

0

π

4

，

M

2

的极坐标方程为

3π



3π

2cos

π



4

，

M

3

的极坐标方程为

4

.

2.设

P(

,

)

，由题设及1知

若

0

ππ

4

，则

2cos

3

，解得

6

；

π3ππ

2π

4

，则

2sin

3

，解得

3

或

3

； 若

4

3π5π

π

6

. 若

4

，则

2cos

3

，解得

π



π



2π



5π



3,3,3,3,



P

6336



. 综上，的极坐标为或或或

解析：

2

[(x1)(y1)(z1)]

23.答案：1.由于

(x1)

2

(y1)

2

(z1)

2

2[(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)]

222

3

(x1)(y1)(z1)

，

4

3

， 故由已知得

(x1)

2

(y1)

2

(z1)

2

511

x,y,z

333

时等号成立． 当且仅当

4

所以

(x1)(y1)(z1)

的最小值为

3

.

222

2

[(x2)(y1)(za)]

2.由于

(x2)

2

(y1)

2

(za)

2

2[(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)]

222

3

(x2)(y1)(za)

，

(2a)

2

(x2)(y1)(za)

3

故由已知，

222

当且仅当

x

4a1a2a2

yz

3

，

3

，

3

时等号成立．

(2a)

2

222

(x2)(y1)(za)

因此的最小值为

3

．

(2a)

2

1

33

，解得

a3

或

a1

． 由题设知

解析：


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