2019全国1卷文数

2024年3月19日发(作者：高考数学试卷中周期与对称)

2019全国1卷文数

一、选择题

1.设

z

3i

，则

z

( )

12i

B．

3

C．

2

D．1

U

A．2

2.已知集合

U



1,2,3,4,5,6,7



,A



2,3,4,5



,B



2,3,6,7



，则

B

A．



1,6



B．



1,7



C．



6,7



A

( )

D．



1,6,7



alog

2

0.2,b2

0.2

,c0.2

0.3

，则( ) 3.已知

A．

abc

B．

acb

C．

cab

D．

bca

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

51

2

（

51

0.618

，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人

2

2

体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

．若某人满足上述两个黄金分

割比例，且腿长为

105cm

，头顶至脖子下端的长度为

26cm

，则其身高可能是( )

A．

165cm

5.函数

f(x)

B．

175cm

C．

185cm

D．

190cm

sinxx

在

[,]

的图像大致为( )

cosxx

2

A． B．

C． D．

6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新

生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名

学生中被抽到的是( )

A．8号学生

7.

tan255

( )

A．

23

B．

23

C．

23

D．

23

B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

8.已知非零向量

a,b

满足

|a|2|b|

，且

(ab)b

，则a与b的夹角为( )

A．

π

6

B．

π

3

C．

2π

3

D．

5π

6

9.如图是求

1

2

1

2

1

2

的程序框图，图中空白框中应填入( )

A．

A

1

2A

B．

A2

1

A

C．

A

1

12A

D．

A1

1

2A

x

2

y

2

10.双曲线

C:

2



2

1(a0,b0)

的一条渐近线的倾斜角为

130

，则

C

的离心率为

ab

( )

A．

2sin40

B．

2cos40

C．

1

sin50

D．

1

cos50

11.

△ABC

的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c,

已知

asinAbsinB4csinC

，

1

b

cosA

，则



( )

4

c

A．6 B．5 C．4 D．3

12.已知椭圆

C

的焦点为

F

1

(1,0),F

2

(1,0)

，过

F

2

的直线与

C

交于

A,B

两点．若

AF

2

2F

2

B

，

ABBF

1

，则

C

的方程为( )

x

2

y

2

1

A．

2

二、填空题

13.曲线

y3(xx)e

在点

(0,0)

处的切线方程为_______.

14.记

S

n

为等比数列



a

n



的前

n

项和.若

a

1

1,S

3



15.函数

f(x)sin(2x

2x

x

2

y

2

1

B．

32

x

2

y

2

1

C．

43

x

2

y

2

1

D．

54

3

，则

S

4



___________．

4

3π

)3cosx

的最小值为___________．

2

16.已知

ACB90

，

P

为平面

ABC

外一点，

PC2

，点

P

到

ACB

两边

AC,BC

的距离均为

3

，那么

P

到平面

ABC

的距离为___________．

三、解答题

17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的

服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

男顾客

女顾客

满意 不满意

40

30

10

20

1.分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

2.能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

n(adbc)

2

附：

K

．

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

P(K

2

k)

0.050 0.010 0.001

k

3.841 6.635 10.828

18.记

S

n

为等差数列



a

n



的前

n

项和，已知

S

9

a

5

．

1.若

a

3

4

，求



a

n



的通项公式；

2.若

a

1

0

，求使得

S

n

a

n

的

n

的取值范围．

19.如图，直四棱柱

ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

的底面是菱形，

AA

1

4,AB2,BAD60,E,M,N

分别是

BC,BB

1

,A

1

D

的中点.

1.证明：

MN//

平面

C

1

DE

；

2.求点

C

到平面

C

1

DE

的距离．

20.已知函数

f(x)2sinxxcosxx,f\'(x)

为

f(x)

的导数．

1.证明：

f\'(x)

在区间

(0,)

存在唯一零点；

2.若

x



0,



时，

f(x)ax

，求a的取值范围．

21.已知点

A,B

关于坐标原点

O

对称，

AB4

，

切．

1.若

A

在直线

xy0

上，求

M

过点

A,B

且与直线

x20

相

M

的半径；

2.是否存在定点

P

，使得当

A

运动时，

MAMP

为定值？并说明理由．

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]



1t

2

x



2



1t

在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为



（t为参数）．以坐标原点

O

为极



y

4t



1t

2



点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线

l

的极坐标方程为

2



cos



3



sin



110

．

1.求

C

和

l

的直角坐标方程；

2.求

C

上的点到

l

距离的最小值．

23.[选修4—5：不等式选讲]

已知

a,b,c

为正数，且满足

abc1

．证明：

1.

111

a

2

b

2

c

2

；

abc

2.

(ab)(bc)(ca)24

．

333

参考答案

一、选择题

1.答案：C

解析：

2.答案：C

解析：

3.答案：B

解析：

4.答案：B

解析：

5.答案：D

解析：

6.答案：C

解析：

7.答案：D

解析：

8.答案：B

解析：

9.答案：A

解析：

10.答案：D

解析：

11.答案：A

解析：

12.答案：B

解析：

二、填空题

13.答案：

y3x

解析：

14.答案：

解析：

15.答案：

4

解析：

5

8

16.答案：

2

解析：

三、解答题

17.答案：1.由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为

该商场服务满意的概率的估计值为0.8．

女顾客中对该商场服务满意的比率为

计值为0.6．

40

0.8

，因此男顾客对

50

30

0.6

，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估

50

100(40203010)

2

4.762

． 2.

K

50507030

2

由于

4.7623.841

，故有

95%

的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

解析：

18.答案：1.设



a

n



的公差为d．

由

S

9

a

5

得

a

1

4d0

．

由

a

3

4

得

a

1

2d4

．

于是

a

1

8,d2

．

因此



a

n



的通项公式为

a

n

102n

．

2.由1得

a

1

4d

，故

a

n

(n5)d,S

n



n(n9)d

.

2

由

a

1

0

知

d0

，故

S

n

a

n

等价于

n

2

11n100

，解得

1n10

．

所以n的取值范围是

{n|1n10,nN}

．

解析：

19.答案：1.连结

B

1

C,ME

.因为

M,E

分别为

BB

1

,BC

的中点，所以

ME//B

1

C

，且

ME

11

B

1

C

.又因为

N

为

A

1

D

的中点，所以

NDA

1

D

.

22

由题设知

A

1

B

1

//DC

，可得

B

1

C//A

1

D

，故

ME//ND

，因此四边形

MNDE

为平行四边

形，

MN//ED

.又

MN

平面

C

1

DE

，所以

MN//

平面

C

1

DE

.

2.过

C

作

C

1

E

的垂线，垂足为

H

.

由已知可得

DEBC

，

DEC

1

C

，所以

DE

平面

C

1

CE

，故

DECH

.

从而

CH

平面

C

1

DE

，故

CH

的长即为

C

到平面

C

1

DE

的距离，

由已知可得

CE1,C

1

C4

，所以

C

1

E17

，故

CH

从而点

C

到平面

C

1

DE

的距离为

417

.

17

417

.

17

解析：

20.答案：1.设

g(x)f



(x)

，则

g(x)cosxxsinx1,g



(x)xcosx

.

当

x(0,)

时，

g



(x)0

；当

x



增，在



π

2

π



π



,π



时，

g



(x)0

，所以

g(x)

在

(0,)

单调递

2



2





π



,π



单调递减.



2





π





0,g(π)2

，故

g(x)

在

(0,π)

存在唯一零点.

2



又

g(0)0,g



所以

f



(x)

在

(0,π)

存在唯一零点.

2.由题设知

f(π)aπ,f(π)0

，可得

a0

.

由1知，

f



(x)

在

(0,π)

只有一个零点，设为

x

0

，且当

x



0,x

0



时，

f



(x)0

；当

x



x

0

,π



时，

f



(x)0

，所以

f(x)

在



0,x

0



单调递增，在



x

0

,π



单调递减.

又

f(0)0,f(π)0

，所以，当

x[0,π]

时，

f(x)0

.

又当

a0,x[0,π]

时，

ax0

，故

f(x)ax

.

因此，a的取值范围是

(,0]

.

解析：

21.答案：1.因为

M

过点

A,B

，所以圆心

M

在

AB

的垂直平分线上.由已知

A

在直线

x+y=0

上，且

A,B

关于坐标原点

O

对称，所以

M

在直线

yx

上，故可设

M(a, a)

.

因为

M

与直线

x20

相切，所以

M

的半径为

r|a2|

.

22

由已知得

|AO|=2

，又

MOAO

，故可得

2a4(a2)

，解得

a=0

或

a=4

.

故

M

的半径

r=2

或

r=6

.

2.存在定点

P(1,0)

，使得

|MA||MP|

为定值.

理由如下：

设

M(x, y)

，由已知得

M

的半径为

r=|x+2|,|AO|=2

.

2222

由于

MOAO

，故可得

xy4(x2)

，化简得M的轨迹方程为

y4x

.

因为曲线

C:y4x

是以点

P(1,0)

为焦点，以直线

x1

为准线的抛物线，所以

2

|MP|=x+1

.

因为

|MA||MP|=r|MP|=x+2(x+1)=1

，所以存在满足条件的定点

P

.

解析：

1t

4t

2



y





1t



2

1

，且

x







22.答案：1.因为

1

1

，所以

C

的直角

2

2



2

2

1t

21t







1t



y

2

1(x1)

. 坐标方程为

x

4

2

2

2

2

2

l

的直角坐标方程为

2x3y110

.

2.由1可设

C

的参数方程为





xcos



,

（



为参数，

π



π

）.



y2sin



.

π



4cos









11

|2cos



23sin



11|

3





.

C

上的点到

l

的距离为

77

当





解析：

23.答案：1.因为

ab2ab,bc2bc,ca2ac

，又

abc1

，故有

222222

π



2π



时，

4cos









11

取得最小值7，故

C

上的点到

l

距离的最小值为

7

.

3



3



a

2

b

2

c

2

abbcca

所以

abbcca111



.

abcabc

111

a

2

b

2

c

2

.

abc

2.因为

a, b, c

为正数且

abc1

，故有

(ab)

3

(bc)

3

(ca)

3

3

3

(ab)

3

(bc)

3

(ac)

3

=3(a+b)(b+c)(a+c)

3(2ab)(2bc)(2ac)

24

.

所以

(ab)(bc)(ca)24

.

解析：

333