2023年12月25日发(作者：单人推理数学试卷)
2021年第5期中学数学月刊•
1
•!观#指导下的中学*学+学郑毓信（南京大学哲学系210093）1
“小数”的启示何谓“高观点指导下的数学教学”（包括小学与
中学阶段）？由于相对于中学而言，这一论题应当说
在小学获得了更多关注，因此，我们就可通过对于后
一方面工作的综合考察引出关于如何做好“高观点
指导下的中学数学教学”的直接启示.主要包括这
样几点：第一,“高观点指导下的数学教学”不应仅仅被
理解成将更高层面的一些内容“下放”到较低层次,
如将方程、负数等原先属于中学的内容提前到小学
进行教学.当然，我们不应完全排斥后一方面的工
作,而应进行积极、慎重的探索与试点，但这又不应
被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，因
为,后者应当集中于观念的问题，也即相应的指导思
想,包括后者对于具体内容教学的指导与渗透$第二，这是小学层面在论及数学教育改革时经
常提到的一个话题，即是“代数思维的渗透”,后者并
被看成为小学教师更好从事算术内容的教学指明了
努力方向,特别是，我们应当切实做好由“程序性（操
作性）观念”向“结构性（关系性）观念”的转变，这也
就是指，教学中我们不应唯一关注如何能够通过正
确的计算去求得所需的结果，而应更加注重数量关
系、特别是等量关系的分析.以下就是这方面的一段
相关论述:小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理
解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如3十4,这
里值得注意的是我们要强调3
+
4“等于\"7,而不要说“得
到\"7.因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结
果,就是我们经常说的“得到“；二是表示“相等关系\".我
们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这
种相等关系的理解.因O,有时候让一年级的学生接触
7
=
3
+
4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，
你就没法将等号说成“得到\'\"当然，这里也要尝试让学生
理解7同样也等于4+33
+
4
=
4+3……在这之后，可以
让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17
+
29
&
16
+
30
O外，还可以给学生利用相等关系判断正误
的式子，比如，199
+
59
=
200
+
58,148+68=
149
+
70
—
2,149
+
68
=
150
+
70
—
3.1*第三，尽管强调“代数思维的渗透”有一定道
理，但这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的一个实例:尽管由此我们也可获得关于后一方面工
作的重要启示，但仍然不应以特殊代替一般,这也就
指）
就
学数学教学而言）我们
“数思维的渗透”看成“高观点指导下的数学教学”的
）而
更高
面做出
的析对
中学数学教学当
的）包括我们
当
对中学教学的
内容做出相关
究,如初中数学教学是否应当特别强调“变量思想的”第四,与各种具体数学思想的分析相对照，所谓
“高观点指导下的数学教学
的
行
析思考”应当更加重视围绕数）
学教当
这面的
指导
的教学工
下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）关于数学教育基本目标的认识应当切实可
行，而不应停留于“大而空”的论述.例如，关于“深
度学习”的以下论述就可被看成后一方面的一个典
型例子:“深度学习\'深\'在哪里？首先\'深\'在人的
心灵里，\'深\'在人的精神境界上，还\'深\'在系统结
构中，\'深\'在教学规律中2更一般地说，我们既应明确肯定一般性教育理
论的指导作用，但又应当从专业的角度做出进一步
的分析思考.例如，这显然也是我们面对“努力提升
学生的核心素养”这一总体性教育思想应当采取的
立场,特别是,我们不应满足于能够正确地去复述
“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”，
并能通过逐条对照去发现每一堂课的不足之处与努
力方向;恰恰相反,作为数学教育工作者，我们应当
进一步去思考数学作为一门基础学科对于提升个人
与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要、甚至是
不可取代的作用,并能通过“理论的实践性解读”很
好落实于自己的每一天工作、每一堂课！以下就是笔者在这一方面的具体思考:数学教
育的主要目标应是促进学生思维的发展,特别是，能
帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理
地进行思考，并能由理性思维逐步走向理性精神.3
进而，这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的
主要涵义，即我们应当通过自己的教学很好落实上
述的主张，而不应满足于数学基础知识与基本技能
•
2
•中学数学月刊2021年第5期的教学.简言之,数学教学应当努力实现的这样一个
境界，即是“用深刻的思想启迪学生”.在此我们并应对“帮助学生学会思维”与“帮助
学生学会数学地思维”做出明确的区分.相信读者
由以下分析即可清楚地认识到这样一点,包括我们
为什么不应将所谓的“三会”（会用数学的眼光观察
世界，用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世
界看成数学教育的主要目标：大多数学生将来
未必会从事数学或其他与数学直接相关的工作,“数
学思维”也不是唯一合理的思维形式（对于“数学语
言”和“数学眼光”我们显然也可引出同样的结论）,
从而,与后一主张相对照,我们就应更加注重著名数
学家波利亚的以下论述:“一个教师,他若要同样地
去教他所有的学生一一未来用数学和不用数学的
人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三
分之二的常识.对学生灌注有益的思维习惯和常识
也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在
这方面取得了成绩,那么他就真正为他的学生们（无
论他们以后是做什么工作的）做了好事.能为那些
70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事
当然是一件最有意义的事情.”5进而,依据上面分析相信读者也可更好理解笔
者为什么又要提出努力做好“数学深度教学”这样
一个主张,后者即是指,数学教学必须超越具体知识
和技能深入到思维的层面，由具体的数学思维方法
和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提
升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学
习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学之间的
合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人.简
言之，这就是对于这里所说的“高观点”的进一步
解读.（2）尽管相关论述提到了三个“深化”或“提
升”，但我们并不应将其中的对立双方,如“具体知识
和技能的学习”与“思维的学习”等,看成绝对地相
互排斥、互不兼容的，我们更不应脱离数学知识、技
与数学思
的学习
性思
的教学和努力提升学生的思维品质，而应更加注重后者的
渗透与指导,从而使我们的教学达到更大的深度.再
者，由于中小学教学内容不同，从而在这方面也应有
不同的要求,特别是,我们应根据学生的认知水平很
好地去把握相应的“度”，而不应好高x远，脱离实
际;但就总体而言,我们又应始终坚持促进学生的思
维发展这样一个总方向,特别是，努力做好以下一些
方面的工作想与思
:联系的观点与思维的深刻性活性）
结、
思和再
与思，变化的思
的
的性$第五,我们应清楚地看到切实做好“高观点指导
下的数学教学”的现实意义：当前的中学数学教学
在很大程度上被看成完全集中于“习题教学”，现实
中更可看到“题海战术”泛滥这样一个现象;但是，
即使我们暂时不去论及如何才能很好地落实“立德
”
这
）
依
相关做
真提升学生解决问题的能力，而只是使我们的学生和
教师始终处于巨大的压力之下.因为，正如人们普遍
地认识到，学生解题过程中思维策略的产生往往具
有以下几个特征［7］：1）非逻辑性,2）快速性,3）个体
性，,）
或
性，
而就与教学工
的
论特
与
规范性质构成了直接冲突.但在笔者看来，后者恰又
更清楚
表明了这
点，
相对
个
的解题策略或数学思维方法的学习而言，我们应当更加
重视一般性思维策略与学生思维品质的提升.另外,
尽管解题策略的发现、包括结果的猜想等常常表现
为顿悟，也就是“快思”的结果，但这恰又是数学教
当发
的
个
要
，
帮助学
学
“
间的思考”，因为，
有
过
后的 间思考相关发现才
得
的展
和清楚的表
，
包括必要
的检验、理解与改进;更一般地说，我们又应特别重
视“
结、
思与再
”
的工
，
当
此成“长时间思考”的主要内容.但是，上述目标是否真的可行？以下就以初一
数学教学为
对此做出
析$
读
联系自己的教学做出进一步的分析，这并可被看成先
前所提到的“理论的实践性解读”这一思想的具体
运用.2用案例说话:聚焦初一数学教学除去具体内容的教学以外,“习题教学”显然也
数学教学
要的
个
面，更与“
的思想与思维的灵活性”密切相关.由于笔者对此已专门
撰文进行了分析-w
,在此就不再赘述.⑴如众所知，研究对象由“数”扩展到了由数
和
的“式”
中
学数学的
个明
区
，当
，
对此我们
简
解
“
”
的
，
因为,这也意味着达到了更高的抽象层次，并为学生逐
步学会用“联系的观点”进行分析思考、从而达到更
大的
了很好的
入点，当
，
后
为指导
教学
有益
学
更好
握相关的
识和技能.具体地说，尽管我们在此关注的主要是“式”的
运算，但又应当将此与学生已学过的数的运算联系
起来，更好地发挥“类比”这一方法在认识活动中的
2021年第5期中学数学月刊•
3
•重要作用,特别是，我们应以学生已学过的数的知识
为背景帮助他们很好地建立关于新的学习内容的整
体性认识，从而就可在学习中获得更大的自觉性.例
如，“式的运算”的学习也是按照由“加减”到“乘除”
这样一个顺序逐步展开的；我们还可通过“乘法公
式”“因式分解”与小学所学的“速算法”和“数的分
解”的直接类比帮助学生更好掌握相关的内容.当
然，除去所说的“共同点”以外，我们也应十分重视
它们的不同点，即如“同类项”概念的引入等.另外，
在直接的
比关
，
由
“
式”
与“因式分解”的学习更加集中，从而我们在教学中也
就不应唯一关注计算技能的掌握，而应更加突出这
样一个思想，即我们应当善于根据需要与情境对
“式”做出适当变形，这可以看成“变化的思想与思
维的灵活性”的具体应甩当然，从更高的层面看，这一内容的学习也有助
于学生很好认识成功应用“类比联想”的这样一个
关键:“求同存异”.再者，由于学生在小学阶段往往
未能很好建立起关于“数学结构”的整体性认识，特
别是清楚地认识它的丰富性和层次性，因此，我们在
教学中就
学
对相关内容做出
和“再认识”,从而很好地实现这样一个目标：“以发展
代替重复，以深刻达成简约”.①当然,“式”的引入也更清楚地表明了数学结构
的层次性质
——
从认识的角度看，这意味着达到了
更高的抽象层次，包括这样一个更深层次的认识:我
们应将“优化”看成数学学习的本质.（2）如果说“由少到多，由简单到复杂”即可被
看成数学发展的基本形式，那么，数学认识的发展就
可被归结为“化多为少，化复杂而简单”，从而也就更
清楚地表明了这样一点:数学学习主要是一个不断
优化的过程，而不仅仅是指知识和技能以及“数学经
验”的简单积累，尽管后者确又可以被看成为认识
的发展和深化提供了现实的可能性和必要的途径.特殊地，我们显然也可从上述角度更好认识学
习方程的意义，包括通过这一内容的学习帮助学生
很好认识“优化”对于数学学习的特殊重要性，从而
逐步地学会学习，并能真正成为学习的主人.进而，从上述角度我们显然也可更好理解笔者
的这样一个看法:如果说小学阶段教师不允许学生
用由各种非正规渠道提前学到的方程方法去求解算
术应用题尚有一定道理，因为，这时学生对于方程的
掌握往往只是一种机械的运用，而未能达到真正的
理解，而且，算术应用题的学习对于学生学会思维也
有重要作用;那么，在初中学习方程时再做出类似的
规定,也即只允许学生用方程方法、而不准用算术方
法去求解问题，就可说完全没有道理.因为,解题教
学最重要的目标就是努力提升学生解决问题的能
力，而后者主要地又是指我们能否综合地、灵活地应
用各种方法去解决问题，而不是指所使用的方法是
否符合某种外部的硬性规定一一也正因此,上述规
定事实上就只能被看成解题活动“程式化和机械化”
的一种表现.™与此相对照，我们应当更加重视如何能够帮助
学生很好认识方程方法相对于算术方法的优点,又
由于优化的实现主要取决于我们能否使之真正成为
学生的自觉选择，而非基于外部压力的被动服从.因
此，我们在教学中也就应当特别重视比较与反思的
工作,这也就是指,教学中我们不仅不应禁止学生用
算术方法求解问题，还应积极鼓励他们用多种不同
的
解决
）特
）更
有意让学生有更多时间进行比较和体会，包括认真的反
思，从而就不仅可以顺利地实现相关的过渡或优化，
也可通过这一过程很好地体会到养成长时间思考的
习惯和能力、特别是“总结、反思与再认识”的重
要性$最后）我们
可通过
程的教学帮助学数学发展的
形式和
径）后
指）相关内容的学习有
定的
间
）
在学
握了
程的相关
后）我们
可引导他们对将来的学习做出“预测”，也即研究对象
“由
多
”“由
高
”“由
程 式”等发展的合理性,包括这样一个重要的认识:数学认
的发展主要表现为“
多为
）
复
为简
”）我
们并应善于通过类比联想、通过化归去实现上述的
目标.（3）尽管上述分析集中于“式的运算”与“方程”
的教学，我们显然也可从同一角度对初一数学的其
他内容做出分析,包括它们各自又有什么特殊之处.例如，除去“数学结构”的丰富性和层次性以
外，负数的引入显然也有助于我们更好地认识数学
系统的开放性和发展性,特别是,现实需要并非促进
数学发展的唯一因素,在很大程度上也是由数学的①也正因此,对于相关内容的教学我们就不应认为只是涉及到
了一些具体技能、特别是有很多学生早已通过各种渠道进行了学
习就掉以轻心，即如教学中只是一带而过，而没有注意分析学生
是否已经达到了真正的理解，更未能认真地思考如何能够通过自
己的教学使学生有新的提高.例如，通过“乘法公式”的学习我们
即可对学生是否已经达到了更高的抽象层次做出必要的检验;另
外，教学中我们显然也应注意避免这样一种倾向，即仅仅从纯形
式的角度去理解相应的“变化”，如“计算”与“因式分解”,但却未
能很好地指明我们究竟为什么要做出这样的变化，包括我们又如
何能够通过相关内容的教学提升学生的思维品质.
•
4
•中学数学月刊2021年第5期内在因素决定的,或者说，就是表现出了很强的相对
独立性.因为，这正是这方面的一个基本事实:“负数
不是测量出来的.凡是能够量出来的都是正数.”进
而,由以下论述我们即可更好地认识教学中突出这
样一点的重要性:“负数是由具体数学向形式数学的
第一次转折.要完全掌握这种转折中出现的问题，需
要有高度的抽象能力.”（克莱因语）“我认为超越直
观而运用推理方法的首先是负数.”（弗赖登塔尔语）
另外，“幕的运算”的学习显然也为我们更好理
解“化多为少，化复杂为简单”这样一个思想提供了
重要的契机，因为，由高级运算（乘方、乘除）向较低
层次运算（乘、加减）的转变正是“幕的运算”的明显
特点，从而，我们也就可以以此为背景做出进一步的
思考，即我们能否借助“幕的运算”实现运算的简
化——如众所知，从历史的角度看，正是后一方面
思考直接导致了“对数计算法”的创建，尽管后者的
重要性由于计算机的发明已不复存在，但仍可被看
成通过适当变化解决问题的又一范例.再则，就几何内容的教学而言，我们则应突出这
样一个思想:“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑
的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾.”丄
我们更应通过自己的教学帮助学生很好理解采取这
一做法的优越性，也即我们应当按照“由简单到复
杂”“由一维到高维”这样一个顺序、而不是日常的
认识顺序去从事相关的研究，包括逐步形成这样一
个更加重要的认识:数学学习的主要功能就是有助
于人们思维方式与行为方式的改进.还应强调的是，正如波利亚的上述引言所已表
明的，我们不应将“逻辑思维”“数学思维”与“常识
（和有益的思维习惯）”绝对地对立起来，而应清楚
地看到它们之间的同一性；当然，我们在此所应追求
的不是“常识”的简单回归，而是其在更高层面的
重构.①（4）通过上述途径我们显然也可帮助学生很好
由“
数学思
”
“高
数学思
”
的过渡，而不至于因为中小学数学教学在这方面有不同
要求而出现一时无法适应中学数学学习的情况.在此还可特别提及笔者针对小学数学教学提出
的这样两个“大道理”（）小学关于“数的认识与运
算”的教学不仅应当突出“比较”这一核心概念，从
而帮助学生很好掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等
概念，也应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整
体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、
开放性与统一性等,并能真正做好“化多为少”“化复
杂为简单”，包括更好认识数学与现实世界之间的关
系.2）小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心
概念，很好发挥直观认知的作用，也应努力实现对于
“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应对图形
的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重
视.显然，如果小学数学能够按照这样的思想去进行
教学，传统上中小学数学教学之间的巨大间距就将
不复存在.显然，基于同样的理由，中学（特殊地，初
中）数学教师也应认真地去思考什么是中学（初中）
数学教学的“大
”，
而为学
来的数学学习
做好必要的准备.（5）我们还可从同一角度对其他一些密切相关
的问题做出自己的分析，如教学中为什么应给学生
更多的表述机会,包括积极提倡“合作学习”这样一
种学习方式.因为，这些都十分有益于学生的深入思
考,如表述前主体显然必须对自己的想法做出梳理、
评价与改进，仔细倾听别人的想法也十分有助于学
生通过比较、反思与再认识对自己的已有想法做出
改进，等等.当然，教师也应在这些方面给学生必要
的指导，而不只是停留于“大声地说、仔细地听”这
的
性要再者，就当前而言,这应当说又是特别重要的一
个认识:数学教育的主要任务应是帮助学生学会思
维、乐于思维，而不是学会解题,我们更不应唯一集中
于如何能够通过大量练习、机械记忆和简单模仿使
学生在各类考试中取得较好成绩.毋宁说，即使在这
面我们
通过更高
面的
析
做
“而精”，包括通过“习题教学”的改进更有效地促进学
生思维的发展，从而自然也就能够取得更好的成绩.最后，尽管我们在此是以初一数学教学作为直
接对象
行
析的）
相关结论
有超出这范围的普遍意义，后者即是指，无论就小学、初中或
高中的数学教学,或是课堂教学和习题教学而言，我
们都应以“促进学生思维的发展”作为主要的指导
思想）
“
教学”
为
数学教学的主要笔
在这
面有这
个
:
有在做出持续努力，也即很好地落实不同阶段数学教学
的同一性与连续性,我们才能对于“努力提升学生的
核心
”
这
教
的
性
做出
己
的
有
贡献,并切实防止与纠正因深深陷入“应试教育”而
无法自拔这样一个巨大的危险.愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！（下转第14页）①在笔者看来，我们也可从后一角度去理解弗赖登塔尔的这样
一个论述:“数学的本质是人们的常识4
\'\'R.
•
14
•中学数学月刊2021年第5期绍其引入的必要性来帮助学生自然地内化相关
伴进行补充，还可以通过数学写作的方式与别人交
流自己在学习中的收获，或者通过为学生提供表达
知识.3.2
引导学生积极表达的逻辑框架,让学生的表达形式更加规范，并在此过
程中提高表达的能力.数学能力的培养离不开数学思想的交流，观点
与观点的碰撞交流往往能够迸发出对数学内容更深 数学交流的目的是为了更好地理解数学，而理
层次的理解,而学生是否愿意交流则显得很关键.课
堂的数学交流一般是由教师发起并进行引导，教师
在数学交流过程中的作用至关重要，在引导的过程
中，能否激发学生的表达兴趣与欲望对交流的质量
解数学的目的又是为了更好地交流，数学理解和数
学交流之间是互为因果的关系.教师在教学过程中
了可
通过
高学
的表达
)
可以通过为学生提供规范的表达示范一一教师本身
有重要的影响.就是数学表达很好的榜样，引导学生关注数学的多
在交流过程中，教师可以通过将最终的问题分
重表征以增加表达方式的选择、加强数学阅读指导
拆为几个难度逐级递增的小问题来培养学生的成就
感、激发学生的表达欲望.当学生遇到表达困难时，
以丰富和完善数学语言系统、关注学生语言表达过
程中的缺陷以及时完善语言表达等方式，对初中生
的
与表达
行参考文献-1.和学新.论数学教学的表达策略［J..数学教育学报，
可以及时对所提问题进行解释或者补充描述，鼓励
学生说出哪怕部分观点和想法，也可以在提出问题
以后给予学生足够的交流和思考的时间.在交流表
达的过程中，鼓励学生及时地对同伴的交流内容进
行补充与反馈，培养学生的自我效能和思辨意识.2006(4)(94-96-2.王薇.数学交流表达能力目标：中美两国的比较及
3.3
丰富交流表达方式数学交流与表达的形式比较多样，既可以是生
生之间的对话，也可以是师生之间的讨论，甚至可以
启示［J..外国中小学教育,2016(11):59-64.-3.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准
(2011年版)-M..北京:北京师范大学出版
社
2012是与数学书面形式语言的交流.信息传递的方向可
以是阐述自我观点的输出，也可以是对对方观点聆
听的输入.表达的方式既可以是口头表达，也可以是
书面表达，以上种种丰富的表达形式为教师的教学
-4.邓清,夏小刚.数学思维视域下“教表达”的再认识
与思考数学教育学报,2019,28(5)
：47-50.-5.夏鹏翔，部舒竹.日本小学数学教育改革新动向——
提供了不同的选择.教师可以让学生用自己喜欢的方式进行数学交
培养“表达能力比较教育研究，2011,33(9)：
86-90流.比如将思维过程用语言、算式、图表等记录下来
进行展示，或者在教学过程中通过小组合作的形式，
选派小组代表进行数学观点的表述和交流，然后同(上接第4页)参考文献-1.章勤琼.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教
-6.史宁中，林玉慈,陶剑等.关于高中数学教育中的数
学核心素养——史宁中教授访谈之七课程•教
材•教法,2017,37(4):8-14.［7.戴再平.数学习题理论［M..上海:上海教育出版社，
1991:96-97.-.郑毓信.中学数学解题教学之我见-..中学数学月
刊
202010-11\"4学——默尔本大学教授麦克斯•斯蒂芬斯访谈
录［J..小学教学,2016(11).-2.刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养(理论普及
读本)［M..北京:教育科学出版社,2018(6-37.-9.郑毓信.“数学深度教学”十讲-..小学数学教师,
2019(7-8)〜2020(5).-0.郑毓信.高观点指导下的小学数学教学(14
)［M..
-3.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J..数学教
育学报,2016(3).福建教育,2020(11
)〜2021(1-3
).-11.郑毓信.初中数学教学之忧思与建言［M..数学教
-4.史宁中.人是如何认识和表达空间的［J..小学教学，
2019(3).-5.波利亚.数学的发现(第二卷)［M..内蒙古：内蒙古
学,2020(12
).-12.弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M..上海:上海
教育出版社,1995：45.-13.唐瑞芬.弗赖登塔尔在中国-..数学教学,2003(5
),人民出版社,1981(82.-6.郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J..数学教
学
2019(5)
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