2024年3月10日发(作者：2008江苏数学试卷)
中考数学专题复习3：探究型试题
探究性问题涉及的根底知识非常广泛,题目没有固定的形式,因此没有固定的解题方法.
它既能充分地考查学生的根底知识掌握的熟悉程度,又能较好的考查学生的观察、分析、比
拟、概括的水平,发散思维水平等,因此复习中既要重视根底知识的复习,又要增强变式练习
和数学思想方法的研究,切实提升分析问题、解决问题的水平.
例1〔宜昌课改〕如图1,△ABC的高AE=5,BC=
40
,∠ABC＝45°,F是AE上的点,G
3
是点E关于F的对称点,过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I,连接IF并延长
交BC于J,连接HF并延长交BC于K．
〔1〕请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证实；
〔2〕当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时,求线段AF长的取
值范围．
〔图2供思考用〕
A
B
A
G
I
H
F
B
EK
JCBE
C
图1图2
解：(1)∵点G与点E关于点F对称,
∴GF=FE
∵HI∥BC,
∴∠GIF=∠EJF,
又∵∠GFI=∠EFJ,
∴△GFI≌△EFJ,
∴GI=JE
同理可得HG=EK ,
∴HI=JK,
∴四边形HIKJ是平行四边形
(注：说明四边形HIJK是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2
分)
A
B
〔2〕当F是AE的中点时,A、G重合,所以AF=2.5
G
I
H
F
如图1,∵AE过平行四边形HIJK的中央F,
∴HG=EK, GI=JE.∴HG/BE=GI/EC.
B
EK
JC
∵CE＞BE,∴GI＞ HG, ∴CK＞BJ.
∴当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动, 图1
如图2,当点F的位置使得B、J重合时,这时点K仍为CE上的某一点〔不与C、E重合〕,
而且点H、I也分别在AB、AC上
〔这里为独立评分点,以上过程只要表达大体清楚,说理较为明确即可评2分,不说明
者不评分,知道要说理但局部不正确者评1分〕
设EF＝x,∵∠AHG＝∠ABC＝45°,AE＝5,
∴BE＝5＝GI,AG＝HG＝5-2x ,CE＝
40
-5
3
A
G
F
B
E
K
C
I
∵△AGI∽△AEC,
∴AG∶AE＝GI∶CE.
∴(5-2x)∶5＝5∶(
40
-5)
3
H
∴AF＝5-x＝4
∴
5
＜AF≤4 图2
2
说明:此题考查知识较多,主要考查了全等三角形、平行四边形、相似形的判定及应用.
练习一
1、(2022年盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时,小亮首先考虑了一种特殊情况〔圆
心在圆周角的一边上〕如图(1)所示：
A
A
CC
A
C
O
O
O
B
B
B
(1)
(2)
(3)
∵∠AOC是⊿ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
又∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO
即∠ABC=
1
∠AOC
2
如果∠ABC的两边都不经过圆心,如图(2)、〔3〕,那么结论会怎样?请你说明理由.
2、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮,准备将它设计并制成一个开口的水槽,使
．．
水槽能通过的水的流量最大．
初三〔1〕班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下,水槽的横截面
面积越大,那么通过水槽的水的流量越大．为此,他们对水槽的横截面进行了如下探索：
⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽〔如图1〕．
假设∠ACB=90°,设AC=x厘米,该水槽的横截面面积为y厘米
2
,请你写出y关于x的
函数关系式〔不必写出x的取值范围〕,并求出当x取何值时,y的值最大,最大值又是多少？
B
A
〔图1〕
B
A
C
C
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽〔如图2〕．
假设∠ABC=120°,请你求出该水槽的横截面面积的最大值,并与方案①中的y的最大
值比拟大小．
⑵假设你是该兴趣小组中的成员,请你再提供两种方案,使你所设计的水槽的横截面面
积更大．画出你设计的草图,标上必要的数据〔不要求写出解答过程〕．
3〔绵阳〕如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S
1
、
S
2
、S
3
表示,那么不难证实S
1
=S
2
+S
3
.
(1) 如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S
1
、S
2
、
S
3
表示,那么S
1
、S
2
、S
3
之间有什么关系？(不必证实)
(2) 如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S
1
、
S
2
、S
3
表示,请你确定S
1
、S
2
、S
3
之间的关系并加以证实；
(3) 假设分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S
1
、S
2
、
S
3
表示,为使S
1
、S
2
、S
3
之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件？证实你
的结论；
(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论 .
4.〔江苏〕取一张矩形的纸片进行折叠,具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图〔1〕；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为
B\'
,得Rt△A
B\'
E,
如图〔2〕；
第三步：沿EB`线折叠得折痕EF,如图〔3〕.
利用展开图〔4〕探究：
〔1〕△AEF是什么三角形？
〔2〕对于任一矩形,根据上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.
5、如图1,操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上〔CG＞
BC〕,取线段AE的中点M.
探究：线段MD、MF的关系,并加以证实.
说明：〔1〕如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种
思路写出来〔要求至少写3步〕；〔2〕在你经历说明〔1〕的过程之后,可以从以下①、②、
③中选取一个补充或更换条件,完成你的证实.
注意：选取①完成证实得10分；选取②完成证实得7分；选取③完成证实得5分.
① DM的延长线交CE于点N,且AD＝NE；
② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°〔如图2〕,
其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD.
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后〔如图3〕,其他条件不变.探究：线段MD、
MF的关系,并加以证实.
A D
F
F
E
M
A
B
C
M
D
E
B
C G
G
〔2〕
〔3〕
例2〔连云港〕如图,将一块直角三角形纸板的直角顶点放在
C(1,)
处,两直角边分别
与
x,y
轴平行,纸板的另两个顶点
A,B
恰好是直线
ykx
点．
〔1〕求
m
和
k
的值；
1
2
9m
与双曲线
y(m0)
的交
2x
m
〔2〕设双曲线
y(m0)
在
A,B
之间的局部
x
为
L
,让一把三角尺的直角顶点
P
在
L
上
滑动,两直角边始终与坐标轴平行,且与线段
AB
交于
M,N
两点,请探究是否存在点
P
使得
y
MN
1
AB
,写出你的探究过程和结论．
2
O
A
C
M
P
N
B
知识点：
m
解：〔1〕∵
A,B
在双曲线
y(m0)
x
上,
AC
∥
y
轴,
BC
∥
x
轴,
1
2
x
F
∴A,B的坐标分别
(1,
m)
,
(2m,)
．
9
mk,
9
2
又点A,B在直线
ykx
上,∴
19
2
2mk.
2
2
1
k4,
k,
1
或 解得
2
m.
2
m4.
11
当
k4
且
m
时,点A,B的坐标都是
(1,
)
,不合题意,应舍去；
22
11
当
k
且
m4
时,点A,B的坐标分别为
(1,4)
,
(8,)
,符合题意．
22
1
∴
k
且
m4
.
2
1
〔2〕假设存在点
P
使得
MNAB
．
2
∵
AC
∥
y
轴,
MP
∥
y
轴,∴
AC
∥
MP
,
∴
PMNCAB
,∴Rt
ACB
∽Rt
MPN
,∴
MPMN1
,
ACAB2
419
x)
,
x22
19417
∴
MPx
.又
AC4
,
22x22
1947
∴
x
,即
2x
2
11x160
〔※〕
22x4
设点P坐标为
P(x,)
〔1＜x＜8＝,那么M点坐标为
M(x,
∵
(11)
2
421670
．∴方程〔※〕无实数根．
所以不存在点
P
使得
MN
练习二
1、〔包头〕一次函数y
1
=x,二次函数y
2
=
1
x
2
+
1
.
22
1
AB
．
2
(1)根据表中给出的x的值,填写表中空白处的值；(2分)
x
y
1
=x
y
2
=
1
x
2
+
1
22
―3
―3
―2
―2
―1
―1
1
0
0
1
2
1
1
1
2
2
3
3
(2)观察上述表格中的数据,对于x的同一个值,判断y
l
和y
2
的大小关系.并证实：在实数
．．．．
范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y
1
和y
2
的大小关系仍然成立；
．．．．
(3)假设把y
1
=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任
意非零实数),请进一步探究：当k满足什么条件时,(2)中
的结论仍然成立；当k满足什么条件时,(2)中的结论不能
对任意的实数x都成立,并确定使(2)中的结论不成立的x
的范围.
2、〔北京丰台〕在直角坐标系中,⊙
O
1
经过坐标原点O,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交
于点A、B.
〔1〕如图,过点A作⊙
O
1
的切线与y轴交于点C,点O到直线AB的距离为
123
，sinABC
,求直线AC的解析式；
55
〔2〕假设⊙
O
1
经过点M〔2,2〕,设
BOA
的内切圆的直径为d,试判断d+AB的值是
否会发生变化,如果不变,求出其值,如果变化,求其变化的范围.
y
B
O
1
G
O A x
C
3、〔2022年内江〕教师提出：如图A〔1,0〕,AB＝OA,过点A、B作ｘ轴的垂线交二次函
数
yx
的图象于C、D两点,直线OC交BD于点M,直线CD交ｙ轴于点H,记点C、D
的横坐标分别为
x
C
,x
D
,点H的纵坐标为
y
H
.
同学讨论发现：①
S
CMD
2
:S
梯形ABMC
＝
2 ：3 ②
x
C
x
D
-
y
H
⑴请你验证①②结论成立；
⑵请你研究：如将上述条件“A(1,0)〞改为“A
t,0
t0
〞,其他条件不娈,结论①是
否仍成立？
⑶进一步研究：在⑵的条件下,又将条件“
yx
〞改为“
yax
a0
,其他条件
22
不娈,那么
x
C
,x
D
和
y
H
有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)
4、〔2022深圳南山区〕．如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的面积为15,边OA比OC
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