高等数学下练习题题目集:第8章 无穷级数 §8—1 数项无穷级数

2024年3月30日发(作者：数学试卷编辑软件哪个好用点)

第8章 无穷级数

§8—1 数项无穷级数

A类

1．写出下列级数的一般项：

（1）

1+

111

+++\"

357

（2）

23456

−+−+−\"

12345

xxxxx

2

（3）

+\"

+++

22⋅42⋅4⋅62⋅4⋅6⋅8

2．若

∑

a

n=1

∞

n

收敛，且

S

n

=a

1

+a

2

+\"+a

n

，试求

lim

(

S

n+1

+S

n−1

)

−2S

n

。

n→∞

3．按定义判断下列级数的敛散性。若收敛，求它的和。

1

（1）

∑

；

n

=

1

(3n−2)(3n+1)

（3）

∞

（2）

∑

n

=

1

∞

1

n+1+n

；

∑

(

−

1)

n

=

1

∞

n

−

1

⎛

9

⎞

⎜⎟

；

⎝

10

⎠

n

（4）

n

；

∑

n

=

1

(n+1)!

∞

4．利用基本性质判别下列级数的敛散性。

1111

（1）

++++\"

；

36912

（3）

⎜

（4）

88

2

8

3

（2）

−+

2

−

3

+\"

；

9

99

1

⎞

1

⎞

⎛

11

⎞⎛

1

⎛

1

+

⎟

+

⎜

2

+

2

⎟

+

\"

+

⎜

n

+

n

⎟

+\"

；

3

⎠

3

⎠

⎝

23

⎠⎝

2

⎝

2

11111

++

3

+

4

+\"+

n

+\"

3

3333

5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性：

2

+

(

−

1)

n

（1）

∑

n

2

n

=

1

∞

（2）

1

∑

n

n

=

1

2−1

∞

∞

（3）

∑

n

+1

n

=

1

n

2

+1

（5）

∑

∞

1

n

=

1

n

n

n

6．用比值法判别下列级数的敛散性：

∞

（1）

∑

n

+

2

n

n

=

1

2

∞

（3）

∑

n

n

=

1

2

n

−1

∞

（4）

∑

1

n

=

1

nn

+1

∞

（6）

∑

1

（

a>0

）

n

=

1

1+

a

n

（2）

∑

∞

n

!

n

=

1

10

n

∞

（4）

∑

n

tan

π

n

=

1

2

n

+

1

3

n

（5）

∑

n

n

=1

n2

∞

（6）

∑

(2n−1)!!

n

=

1

∞

n!

7．若正项级数

∑

u

n

=

1

∞

n

收敛，证明

∑

u

n

=

1

∞

2

n

也收敛。试举例说明其逆不成立。

8．用根值法判别下列级数的敛散性：

⎛

n

⎞

（1）

∑

⎜⎟

n

=

1

⎝

2

n

−

1

⎠

∞

n

（2）

n

2

π

cos

∑

n

3

n

n

=

1

2

∞

n

4

（3）

∑

n

n

=1

4

∞

1

⎛

1

⎞

（4）

∑

100

⎜

2

+

⎟

n

⎠⎝

n

=

1

n

∞

n

9．用适当方法判别下列级数的敛散性：

n+1

（1）

∑

n

=

1

n(n+2)

（3）

∞

2

n

n!

（2）

∑

n

n

=1

n

∞

∑

2sin

n

n

=1

∞

π

3

n

（4）

1

（

a,b>0

）

∑

na+b

n

=

1

∞

10．讨论下列级数的敛散性，若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛。

（1）

∑

(−1)

n

=

1

∞

n

−

1

1

n

2

−n

（2）

∑

(

−

1)

n

−

1

n

=

1

∞

1

n2

n

（3）

∑

(

−

1)

∞

n

−

1

1

(−1)

n

−

1

（4）

∑

∞

n

=

1

n

n

n

−

1

（5）

∑

∞

(

−

1)

n

=

1

π

n

sin

π

n

1．判断下列级数的收敛性：

（1）

sin

π

2

π

6

+sin

n

π

6

+\"+sin

6

+\"

n

=

1

ln(1+n)

B类

（2）

111111

++++\"+

n

++\"

；

21042010

n

2

（3）

0.001+

0.001+

3

0.001+\"+

n

0.001+\"

2．若级数满足条件：（1）

lim

u

n

=0

；（2）

n

→∞

∑

(

u

n

=

1

∞

2

n

−

1

+

u

2

n

)

收敛，证明：

∑

u

n

收敛。

n

=1

∞

3．若级数

∑

a

n

=1

∞

n

，

∑

b

n

=1

∞

n

收敛，且

a

n

≤c

n

≤b

n

（

n=1,2,\"

），证明：级数

∑

c

n

=1

∞

n

收敛。

4．用适当方法判别下列级数的敛散性：

(n!)

2

（1）

∑

2

n

=1

2n

∞

（2）

∑

n

=1

∞

ncos

2

2

n

n

π

3

⎛

b

（3）

∑

⎜

⎜

n

=

1

⎝

a

n

∞

⎞

⎟

a

n

=a

⎟

，其中

a

n

,a,b

均为正数，且

lim

n→∞

⎠

n

（4）

x

dx

∑

2

∫

0

1+x

n

=

1

1

n

∞

5．已知

lim

nu

n

存在，

n→∞

∑

n

(

u

n

=

1

∞

n

−u

n

−

1

)

收敛，证明：

∑

u

n

收敛。

n

=

1

∞

6．若级数

7．若

limnu

n

存在，证明

n

→∞

2

∑

u

n

=

1

∞

2

n

，

∑

v

n

=

1

∞

2

n

都收敛，证明：级数

∑

uv

n

=

1

∞

nn

和

∑

(

u

n

=

1

∞

n

+v

n

)

2

都收敛。

∑

u

n

=

1

∞

n

绝对收敛。