2024年3月31日发(作者：数学试卷袋)
广东省惠州市2024届高三第二次调研考试数学试题及参考答案
2023.10
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四
个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1.已知集合
Ax1x3
，
Bxyln
2x
,则
AB
(
A.[1,2]B.(1,2)C.(1,3)D.[1,3]
)
D.
5
)
D.
)
2.复数
z
满足
iz2i
,其中
i
为虚数单位，则
z
(
A.1B.
3
C.2
3.已知向量
a
3,1
，
b
m,2
.若
a∥b
,则
m
(
A.6
B.-6C.
3
2
2
3
）
3
1
tan15
1
,则实数a，b，c的大小关系是（
aln
c
b
4.已知，，
2
2
1
tan15
2
A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b
5.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29,30,38,
25,37,40,42,32，那么这组数据的第75百分位数为（
A.37.5
B.38
C.39
）
D.40
6.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封
闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为
hmln
ta
a0
,若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%,采摘后3天，金针菇失
去的新鲜度为80%,那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜
度(已知√2≈1.414,结果保留一位小数)(
A.4.0天B.4.3天
)
C.4.7天D.5.1天
x
2
y
2
7.已知F
1
，F
2
分别是椭圆C：
2
2
1
a0,b0
的左、右焦点，点P在椭圆上，且在
ab
第一象限，过F
2
互作∠F
1
PF
2
的外角平分线的垂线，垂足为A。O为坐标原点，若
OA
则该椭圆的离心率为(
A.
)
B.
3b
,
22
3
6
3
C.
3
3
D.
2
3
1
8.已知函数
f
x
e
x
1
1
x
1,
x
0
，
g
x
2
，若关于x的方程
g
f
x
m0
2
x
1
ln
x
,
x
0
)
C.
有四个不同的解，则实数m的取值集合为(
A.
0，
ln2
2
B.
ln2
,1
2
ln2
2
D.(0,1)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错
的得0分。
9.已知数列
a
n
的前n项和为
S
n
11n
n
,则下列说法正确的是(
2
)
A.
a
n
是递增数列B.
a
2
8
D.满足
S
n
0
的最大的正整数n为10
C.数列
S
n
的最大项为
S
5
和
S
6
10.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O
1
O
₂
,在轴截面ABCD中，
AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,则(
A.该圆台的高为1cm
B.该圆台轴截面面积为
33
cm²
C.该圆台的侧面积为6πcm²
D.该圆台的体积为
)
73
3
cm
3
11.某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一
处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第k站参观甲地的景点”为事件A
k
,
k=1,2,..,7,则(
A.
P
A
6
)
B.
PA
2
A
1
3
7
2
7
1
3
12
49
C.
P
A
1
A
2
D.
PA
2
A
3
12.已知函数
f
x
sin
x
0
在
，
上单调，
36
）
f
6
A.
4
f
3
f
，则
的可能取值为（
3
B.
12
7
9
5
C.
6
7
D.
3
5
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2
3
13.在
x
的展开式中，
x
的系数是
x
2
5
,
14.已知抛物线C:
y4x
的焦点为F,准线为
l
,与x轴平行的直线与
l
和C分别交于A,B两点，
若|AF|=|BF|,则|AB|=
15.已知点A(2,-1,3),若B(1,0,0),C(1,2,2)两点在直线
l
上，则点A到直线
l
的距离
为
16.已知正四面体ABCD的棱长为2,P为AC的中点，E为AB中点，M是线段DP上的
动点，N是平面ECD内的动点，则|AM|+|MN|的最小值是
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
17.(10分)已知
a
n
为等差数列，
b
n
是公比为正数的等比数列，
a
1
b
1
2
，
a
2
2
b
1
1
，
b
3
2a
2
2
.
(1)求数列
a
n
和
b
n
的通项公式；
(2)设数列
c
n
满足
c
n
1
,记
c
n
的前
n
项和为
S
n
,求
S
2023
.
a
n
log
2
b
n
18.(12分)如图，已知平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，所有棱长均为2,底面ABCD是正方形，侧
面ADD
1
A
1
是矩形，点P为的D
1
C
1
中点，且PD=PC.
(1)求证：DD
1
⊥平面ABCD;
(2)求平面CPB与平面DPB夹角的余弦值，
19.(12分)已知函数
f
x
axbx1
a,bR
在
x1
处取得极值0.
32
(1)求a,b;
(2)若过点(1,m)存在三条直线与曲线
yf
x
相切，求实数m的取值范围.
3
20.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
a
sin
(1)求B;
A
C
b
sin
A
2
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求△ABC面积的取值范围.
x
2
y
2
2
21.(12分)已知双曲线C:
2
2
1
a0,b0
的一个焦点与抛物线
y4x
的焦点重
ab
合，且双曲线的离心率为
5
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若有两个半径相同的圆C
1
，C
2
,它们的圆心都在x轴上方且分别在C的两渐近线上，过双
曲线的右焦点且斜率为-1的直线l与圆C
1
，C
2
都相切，求两圆C
1
，C
2
圆心连线斜率的范围.
22.(12分)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由
2k1
kN
个相
同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(O 统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行.记设备正常运行的概 率为P k (例如：P 2 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；P 3 表示控制系统由5 个元件组成时设备正常运行的概率). (1)若 p P 2 ； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为4元，设备升级后，在正 常运行的状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端 产品的概率为 元). (i)请用 p k 表示E（Y） (i)设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E(Y). 2 ,当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求 3 1 ,每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为Y(单位： 4 4 参考答案 一、单项选择题 1.A解析：∵ Bxyln 2x ，∴ Bxx2 ，则 AB 1，2 . 解析：由题可得： z 2.D 3.B 2 i 2 i i 1 2 i 2 2 ，∴ z125 . 1 2i i 1 i 2 解析： 32m0 ，解得 m6 3 1 1 4.B解析：∵ aln ln2 0 ， b 2 2 c 5.C 8 ， 6 ，∴ 0c1 ，∴ bca . 6 12tan15 1 tan30 2 2 1 tan15 2 38 40 39 . 2 解析：首先将原始数据从小到大排序为：25,29,30,32,37,38,40,42.∵ 875%6 ， ∴这组数据的第75百分位数为： 6.C解析：由已知 m ln 1 a 0.4 ln 3 a ，两式相除得 2 ， ln 1 a m ln 3 a 0.8 2 ∴ ln 3a 2ln 1a ，则 1a 3a ，∵ a0 ，故解得 a1 . 设 t 天后开始失去全部新鲜度，则 mln t1 1 ，又 mln 11 0.4 ，∴ 则 2ln t1 5ln2ln32 ，∴ t1 32 ， 2 ln t 1 1 ， ln20.4 解得 t1 7.B 324241.4145.656 ，∴ t4.6564.7 . 解析：如图所示：延长 F 2 A ，交 F 1 P 的延长线于点 Q ， ∵ PA 是 F 1 PF 2 的外角平分线， ∴ AQAF 2 ， PQPF 2 ， 又 O 是 F 1 F 2 的中点，∴ QF 1 ∥AO ，且 QF 1 2OA23b . 又 QF 1 PF 1 PQPF 1 PF 2 2a ，∴ 2a23b ， ∴ a3b3ac 22 22 c ，∴离心率为 a 6 . 3 5 8.A解析：设 tf x ，∵ f x e x x 1 为增函数，∴当 x0 时， tf x 为减函数， 2 111 0 ∴ t min f 0 e ，即 t . 222 11 当 x0 时， g x x1 lnx ，则 g x ln x x 1 ln x 1 ， xx 且当 x0 时， f x e 且 g x 在 0， 上单调递增.令 g x 0 ，解得 x1 . ∴当 x 0,1 时， g x 0 ， g x 为减函数； 当 x 1, 时， g x 0 ， g x 为增函数， 又 g 11 x ef x ，∴ tf x 为偶函数， 22 1 2 11ln2 ln . 222 作出 x0 时 g x 的图象，如图所示： ∴当 m 0, ln2 1 时， yg t ,t 的图象与 ym 图象有2个交点， 2 2 且设为 t 1 ,t 2 ，作出 tf x 图象，如图所示：此时 yt 1 与 yt 2 分别与 yf x 有2个交点， 即 g f x m0 有四个不同的解，满足题意. 综上，实数 m 的取值范围为 0, 二、多项选择题 ln2 . 2 11 121 解析：∵ S n 11 nn n ，∴数列 S n 的最大项为 S 5 和 S 6 ， 2 4 2 2 故C正确； ∵ S n 11n n ，∴ a 2 S 2 S 1 18108 ，故B正确； 当 n1 时， a 1 10 ，当 n2 时，由 S n 11n n ，得 S n 1 11 n 1 n 1 ， 2 2 2 两式相减得： a n 2n12 ，又 a 1 10 ，适合上式，∴ a n 2n12 ， ∵ a n 1 a n 2 ，∴ a n 是递减数列，故A错误； 6 由 S n 11nn0 得： 0n11 ，∴满足 S n 0 的最大的正整数 n 为10，故D正确. 解析：如图作 BECD 交 CD 于 E ， 2 则 CE CD AB 1 ， BE 2 2 1 3 ， 2 1 2 4 3 33 cm 2 ，B正确； 2 2 则圆台的高为 3cm ，故A错误； 圆台的轴截面面积为 圆台的侧面积为 12 26 cm ，C正确； 圆台的体积为 173 3 4 4 cm 3 ，D正确. 33 解析：由题意可得 P A 6 16 C 3 A 6 7 A 7 3 ,A正确； 7 1 165 C 3 A 6 3 A 3 2 A 5 P A 2 A 1 7 1 1 P A 1 PAA ，， PAA ，B正确； 21 21 77 3 3 77 P A 1 A 7 A 7 7 3315 由于 P A 1 A 2 P A 1 P A 2 P A 1 A 2 ,C错误； 7777 PA 2 A 3 115 C 3 C 4 A 5 7 A 7 122 ,D错误. 427 ， 上单调，可得 36 解析：设 f x 的最小正周期为 T ，则由函数 f x 在 T 2 ，即 T .∵ T ，∴ 0 2 . 26 3 由 f x 在 ， 上单调，且 f f ， 36 6 3 得 f x 的一个零点为 36 ，即 ，0 为 f x 的一个对称中心. 212 12 4 4 63 3 ，∴有以下三种情况：∵ f f ， 24 6 3 7
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