巧用数学归纳法解答数列问题

2024年4月4日发(作者：2016全国数学试卷下载)

巧用数学归纳法解答数列问题

在解答与正整数

n(nN*)

有关的命题时，数学归纳法是一种常用的方法.下面举例说

证明与数列明如何用数学归纳法探索数列的通项公式、探索与数列有关的参数的取值范围、

有关的不等式.

一、巧用数学归纳法探索数列的通项公式

例1设正整数数列

a

n

满足：

a

2

1

1

a

n

4

，且对于任何

nN

，有

*

1

2

1

a

n1

a

n

1

n

a

n

1

1

2

．(Ⅰ)求

a

1

，

a

3

；(Ⅱ)求数列

a

n

的通项

a

n

．

n1

2

1

a

2

1

a

n

2

1

解：(Ⅰ)由已知不等式得：

n(n1)

11

a

2

1

a

n

1

a

1

1

a

n1

2

1

4

1

a

n

2

a

1

．①

当

n1

时，由①得：

2

2

3

a

1

8

7

a

1

2

1

．

2

，即

2

2

4

2

1

a

1

，

解得

．∵

a

1

为正整数，∴

a

1

当

n2

时，由①得：

2

a

3

1

a

3

9

．

6

1

4

1

a

3

∴

a

1

1

4

，解得

8a

3

10

．

∵

a

3

为正整数，∴

(Ⅱ)方法一：由

a

1

1

当

1

，

a

3

9

．

n

．

2

1

，

a

2

4

，

a

3

2

9

，猜想：

a

n

下面用数学归纳法证明．

n1

，

2

时，由（1）知

a

n

k(k

1

a

k

1)

2

1

n

均成立；

k

，则

n

1

a

k1

2

2

2

假设

n

由①得

2

2)

成立，则

a

k

k(k1)

k1

k1

k

1

k

a

k

2

k

1

k

2

1

时，

k(k1)

k

2

3

2

k1

a

k

k(k

1

2

k1)

k1

(k

∵

k

2

1

(k1)

k(k

1

k1

2)0

，∴

k1

k

2

k2

时，

(k

2

1)(k1)

，

．

01

a

k1

k1

0

，

1

．

k11

，∴

又

a

k

故

a

k

1

1

1

k1

*2

N

，∴

(k1)

2

(k1)

．

n

成立．

n

．

2

2

*

2

(k1)

，即当

nk1

时，

a

n

N

，

a

n

综上，由1，2知，对任意

n

评析：①本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；②运用数学归

纳法的关键是“由当

nk

时成立，如何过渡与转换为当

二、巧用数学归纳法探索数列中参数的取值范围

nk1

时也成立.”