2024年4月13日发(作者：2021常熟中考数学试卷)

高等数学(同济版](下册)期末考

试题和答案解析四套(共19页)

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高等数学（下册）期末考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、

z

=

log

a

(x

2

y

2

)(a0)

的定义域为D= 。

2、二重积分

|x||y|1



ln(x

2

y

2

)dxdy

的符号为 。

3、由曲线

ylnx

及直线

xye1

，

y1

所围图形的面积用二重积分表示为 ，其

值为 。

x

(t)

4、设曲线

L

的参数方程表示为

y

(t)

(

x

),

则弧长元素

ds

。

5、设曲面∑为

x

2

y

2

9

介于

z0

及

z3

间的部分的外侧，则

（x



2

y

2

1)ds

。

6、微分方程

dyyy

tan

的通解为 。

dxxx

7、方程

y

(4)

4y0

的通解为 。

8、级数

1

的和为 。

n1

n(n1)

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数

zf(x,y)

在

(x

0

,y

0

)

处可微的充分条件是（ ）

（A）

f(x,y)

在

(x

0

,y

0

)

处连续；

（B）

f

x

(x,y)

，

f

y

(x,y)

在

(x

0

,y

0

)

的某邻域内存在；

（C）

zf

x

(x

0

,y

0

)xf

y

(x

0

,y

0

)y

当

(x)

2

(y)

2

0

时，是无穷小；

（D）

lim

zf

x

(x

0

,y

0

)xf

y

(x

0

,y

0

)y

(x)(y)

22

x0

0

。

y0

xy

2

u

2

u

2、设

uyf()xf(),

其中

f

具有二阶连续导数，则

x

2

y

2

等于（ ）

yx

xy

（A）

xy

； （B）

x

； (C)

y

； (D)0 。

3、设

：

x

2

y

2

z

2

1,z0,

则三重积分

I



zdV

等于（ ）

2

0

0

（A）4

2

d

2

d

rsin

cos

dr

；（B）

2

d

d

r

2

sin

dr

；

0000

1

3

1

（C）

2

0

2

0

d

d

rsin

cos

dr

；（D）

0

1

3

2

0

d

d

r

3

sin

cos

dr

。

00

1

4、球面

x

2

y

2

z

2

4a

2

与柱面

x

2

y

2

2ax

所围成的立体体积V=（ ）

（A）

4

2

d

0

2acos

0

4ardr

； （B）

4

2

d

0

22

2acos

0

r4a

2

r

2

dr

；

（C）

8

d

2

0

2acos

0

r4ardr

； （D）

22

2

2

d

2acos

0

r4a

2

r

2

dr

。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线

L

所围成，

L

取正向，函数

P(x,y),Q(x,y)

在D上具有一阶连

续偏导数，则

PdxQdy(

L

)

（A）



(

D

PQQP

)dxdy

； （B）



()dxdy

；

yxyx

D

PQQP

)dxdy

； （D）



()dxdy

。

xyxy

D

（C）



(

D

6、下列说法中错误的是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

方程

xy



2y



x

2

y0

是三阶微分方程；

方程

y

dydy

xysinx

是一阶微分方程；

dxdx

方程

(x

2

2xy

3

)dx(y

2

3x

2

y

2

)dy0

是全微分方程；

方程

dy12y

x

是伯努利方程。

dx2x

7、已知曲线

yy(x)

经过原点，且在原点处的切线与直线

2xy60

平行，而

y(x)

满足微分

方程

y



2y

5y0

，则曲线的方程为

y

（ ）

（A）

e

x

sin2x

； （B）

e

x

(sin2xcos2x)

；

（C）

e

x

(cos2xsin2x)

； （D）

e

x

sin2x

。

8、设

limnu

n

0

, 则

u

n

（ ）

n

n1

3

（A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设

f,g

均为连续可微函数。

uf(x,xy),vg(xxy)

，

求

uu

,

。

xy

xt

xt

2、（8分）设

u(x,t)

1、计算

I

f(z)dz

，求

uu

,

。

xt

四、求解下列问题（共计15分）。

2

0

dx

e

y

dy

。（7分）

x

2

2

2、计算

I



(x

2

y

2

)dV

，其中

是由

x

2

y

2

2z,z1及z2

所围成的空间闭区域（8分）

五、（13分）计算

I

L

xdyydx

，其中

L

是

xoy

面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点

22

xy

O(0,0)

的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意

x,y,f(x)

满足方程

f(xy)

f(x)f(y)

，且

f

(0)

存在，求

f(x)

。

1f(x)f(y)

(x2)

2n1

七、（8分）求级数

(1)

的收敛区间。

2n1

n1

n

高等数学（下册）期末考试试卷（二）

1、设

2sin(x2y3z)x2y3z

，则

zz



。

xy

2、

lim

y0

39xy

。

x0

xy

22x

x0

3、设

I

dx

f(x,y)dy

，交换积分次序后，

I

。

4、设

f(u)

为可微函数，且

f(0)0,

则

lim

t0

1

t

3

x

2

y

2

t

2



f(x

2

y

2

)d

。

5、设

L

为取正向的圆周

x

2

y

2

4

，则曲线积分

L

y(ye

x

1)dx(2ye

x

x)dy

。

4

6、设

A(x

2

yz)

i(y

2

xz)

j(z

2

xy)k

，则

divA

。

7、通解为

yc

xx

1

ec

2

e

2

的微分方程是 。

8、设

f(x)

1,

x0

1,0x

，则它的Fourier展开式中的

a

n

。

二、选择题（每小题2分，共计16分）。

xy

2

1、设函数

f(x,y)

x

2

y

4

,x

2

y

2

0

,则在点（0，0）处（ ）

0,x

2

y

2

0

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在；

（C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。

2、设

u(x,y)

在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

2

u

2

u

2

xy

0

及

u

x

2

y

2

0

，

则（ ）

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；

（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；

（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。

3、设平面区域D：

(x2)

2

(y1)

2

1

，若

I

1



(xy)

2

d

，

I

3

2



(xy)d

DD

则有（ ）

（A）

I

1

I

2

； （B）

I

1

I

2

； （C）

I

1

I

2

； （D）不能比较。

4、设

是由曲面

zxy,yx,x1

及

z0

所围成的空间区域，则



xy

2

z

3

dxdydz

=（

（A）

11

361

； （B）

362

； （C）

1

363

； （D）

1

364

。

5、设

f(x,y)

在曲线弧

L

上有定义且连续，

L

的参数方程为

x

(t)

(

t

)

，其中

y

(t)

(t),

(t)

在

[

,

]

上具有一阶连续导数，且

2

(t)

2

(t)0

， 则曲线积分

L

f(x,y)ds

（ ）

(A)

f(

(t),

(t))dt

； (B)

f(

(t),

(t))

2

(t)

2

(t)dt

；

(C)

f(

(t),

(t))

2

(t)

2

(t)dt

； (D)

f(

(t),

(t))dt

。

6、设

是取外侧的单位球面

x

2

y

2

z

2

1

， 则曲面积分

5

）



xdydzydzdxzdxdy

=（ ）

(A) 0 ； (B)

2

； (C)

； (D)

4

。

7、下列方程中，设

y

1

,y

2

是它的解，可以推知

y

1

y

2

也是它的解的方程是（ ）

(A)

y

p(x)yq(x)0

； (B)

y



p(x)y

q(x)y0

；

(C)

y



p(x)y

q(x)yf(x)

； (D)

y



p(x)y

q(x)0

。

8、设级数

a

n

为一交错级数，则（ ）

n1

(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若

a

n

0(n0)

，则必收敛。

三、求解下列问题（共计15分）

1、（8分）求函数

uln(xy

2

z

2

)

在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）

的方向的方向导数。

2、（7分）求函数

f(x,y)x

2

y(4xy)

在由直线

xy6,y0,x0

所围成的闭区域D上

的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）计算

I



dv

，其中

是由

x0,y0,z0

及

xyz1

所围成

3

(1xyz)

的立体域。

2、（8分）设

f(x)

为连续函数，定义

F(t)



[z

2

f(x

2

y

2

)]dv

，

其中

(x,y,z)|0zh,x

2

y

2

t

2

，求

五、求解下列问题（15分）



dF

。

dt

1、（8分）求

I

(e

x

sinymy)dx(e

x

cosym)dy

，其中

L

是从A（a，0）经

L

yaxx

2

到O（0，0）的弧。

2、（7分）计算

I



x

2

dydzy

2

dzdxz

2

dxdy

，其中

是

x

2

y

2

z

2

(0za)

的外侧。

六、（15分）设函数

(x)

具有连续的二阶导数，并使曲线积分

L

[3

(x)2

(x)xe

2x

]ydx

(x)dy

与路径无关，求函数

(x)

。

6

高等数学（下册）期末考试试卷（三）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

yz

2

u

。 1、设

u

e

t

dt

， 则

xz

z

2、函数

f(x,y)xysin(x2y)

在点（0，0）处沿

l(1,2)

的方向导数

f

l

(0,0)

= 。

3、设

为曲面

z1x

2

y

2

,z0

所围成的立体，如果将三重积分

I



f(x,y,z)dv

化为先

对

z

再对

y

最后对

x

三次积分，则I= 。

4、设

f(x,y)

为连续函数，则

I

lim

t0

1

t

2



D

f(x,y)d

，其中

D:x

2

y

2

t

2

。

5、

(x

2

y

2

)ds

，其中

L:x

2

y

2

a

2

。

L

6、设

是一空间有界区域，其边界曲面



是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数

P(x,y,z)

，

Q(x,y,z)

，

R(x,y,z)

在

上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之

间有关系式： ， 该关系式称为 公式。

7、微分方程

y



6y

9yx

2

6x9

的特解可设为

y

*

。

(1)

n1

8、若级数

发散，则

p

。

p

n

n1

二、选择题（每小题2分，共计16分）

f(xa,b)f(ax,b)

1、设

f

x

(a,b)

存在，则

lim

=（ ）

x0

x

1

（A）

f

x

(a,b)

；（B）0；（C）2

f

x

(a,b)

；（D）

f

x

(a,b)

。

2

2、设

zx

y

，结论正确的是（ ）

2

2

z

2

z

2

z

2

z

（A）

0

； （B）

0

；

xyyxxyyx

2

z

2

z

2

z

2

z

（C）

0

； （D）

0

。

xyyxxyyx

3、若

f(x,y)

为关于

x

的奇函数，积分域D关于

y

轴对称，对称部分记为

D

1

,D

2

，

f(x,y)

在D上

连续，则



f(x,y)d

（ ）

D

7

（A）0；（B）2



f(x,y)d

；（C）4



f(x,y)d

； (D)2



f(x,y)d

。

D

1

D

1

D

2

4、设

：

x

2

y

2

z

2

R

2

，则



(x

2

y

2

)dxdydz

=（ ）

84816

（A）

R

5

； （B）

R

5

； （C）

R

5

； （D）

R

5

。

331515

5、设在

xoy

面内有一分布着质量的曲线

L

，在点

(x,y)

处的线密度为

(x,y)

，则曲线弧

Ｌ

的重心

的

x

坐标

x

为（ ）

（Ａ）

x

=

1

M

L

x

(x,y)ds

； （B）

x

=

1

M

1

M

L

L

x

(x,y)dx

；

（C）

x

=

x

(x,y)ds

； （D）

x

=

L

xds

, 其中M为曲线弧

Ｌ

的质量。

６、设

为柱面

x

2

y

2

1

和

x0,y0,z1

在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分

22

yzdxdyxzdydzxydxdz

＝（ ）



（A）0； （B）

4

； （C）

5

； （D）。

24

4

７、方程

y



2y

f(x)

的特解可设为（ ）

（A）

A

，若

f(x)1

； （B）

Ae

x

，若

f(x)e

x

；

（C）

Ax

4

Bx

3

Cx

2

DxE

，若

f(x)x

2

2x

；

（D）

x(Asin5xBcos5x)

，若

f(x)sin5x

。

1,

８、设

f(x)

1

（A）

x0

，则它的Fourier展开式中的

a

n

等于（ ）

0x

4

2

[1(1)

n

]

； （B）0； （C）

1

； （D）。

n

n

n

三、（１２分）设

yf(x,t),

连续偏导数，求

dy

t

为由方程

F(x,y,t)0

确定的

x,y

的函数，其中

f,F

具有一阶

dx

。

四、（８分）在椭圆

x

2

4y

2

4

上求一点，使其到直线

2x3y60

的距离最短。

五、（８分）求圆柱面

x

2

y

2

2y

被锥面

zx

2

y

2

和平面

z0

割下部分的面积Ａ。

六、（１２分）计算

I



xyzdxdy

，其中

为球面

x

2

y

2

z

2

1

的

x0,y0

部分

的外侧。

8

七、（10分）设

df(cosx)

1sin

2

x

，求

f(x)

。

d(cosx)

八、（10分）将函数

f(x)ln(1xx

2

x

3

)

展开成

x

的幂级数。

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案

一、1、当

0a1

时，

0x

2

y

2

1

；当

a1

时，

x

2

y

2

1

；

2、负号； 3、



d

dy

D

0

1e1y

e

y

dx;

3

； 4、

2

(t)

2

(t)dt

；

2

5、180

； 6、

sin

y

Cx

；

x

2x

7、

yC

1

cos2xC

2

sin2xC

3

eC

4

e

2x

； 8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；

三、1、

2、

u

u

f

1

yf

2

；

xg

(xxy)

；

x

y

uu

f(xt)f(xt)

；

f(xt)f(xt)

；

xt

222y2

2

1

y

2

y

2

四、1、

dx

edy

dy

edx

ye

y

dy(1e

4

)

；

0x000

2

2、

I

柱面坐标

2

0

d

2

0

dr

rdz

1

2

3

2

0

d

dr

1

2

r

3

dz

2

2

r

22

14

；

3

yx

五、令

P

2

,Q

xy

2

x

2

y

2

Py

2

x

2

Q

则，

(x,y)(0,0)

；

2

y

(xy

2

)

2

x

PQ

,

在D内连续。所以由Green公式得：

yx

于是①当

L

所围成的区域D中不含O（0，0）时，

I=0；②当

L

所围成的区域D中含O（0，0）时，

PQ

,

在D内除O（0，0）外都连续，此时作

yx

曲线

l

为

x

2

y

2

2

(0

1)

，逆时针方向，并假设

D

*

为

L

及

l

所围成区域，则

I

L

llL

l

Green公式



(

l

D

*

QP

)dxdy

2

xy

x

2

y

2

2

9

六、由所给条件易得：

f(0)

2f(0)

f(0)0

2

1f(0)

f(x)f(x)

f(x)

1f(x)f(x)

f(xx)f(x)

又

f

(x)lim

=

lim

x0

x0

x

x

1f

2

(x)f(x)f(0)

lim

f

(0)[1f

2

(x)]

x0

1f(x)f(x)x

即

f

(x)

f

(0)

2

1f(x)

arctanf(x)f

(0)xc

即

f(x)tan[f

(0)xc]

又

f(0)0

即

ck

,kZ

f(x)tan(f

(0)x)

t

2n1

七、令

x2t

，考虑级数

(1)

2n1

n1

n

t

2n3

3

t

2

lim

2n

n

t

2n1

2n1

当

t

2

1

即

t1

时，亦即

1x3

时所给级数绝对收敛；

当

t1

即

x3

或

x1

时，原级数发散；

当

t1

即

x1

时，级数

(1)

n1

n1

1

收敛；

2n1

当

t1

即

x3

时，级数

(1)

n

n1

1

收敛；

2n1

级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案

10


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