2024年1月15日发(作者：海南近几年中考数学试卷)
苏教版小学数学五年级上册第一单元《认识负数》教材分析
日常生活中，经常出现含义刚好相反的两种数量。如，向左边运动的路程与向右边运动的路程，温度的上升与下降，企业的盈利与亏损，人数的增加与减少……怎样区分两种含义相反的数量？人们往往用正数表示一种数量，用负数表示含义相反的另一种数量。小学生经常会接触到像上述那些具有相反含义的数量，他们能够接受用正、负数区分具有相反含义数量的方法。也就是说，学生具备初步认识负数的需要与条件。
本单元只涉及负整数，不给负数下定义，不进行有关负数的计算。教学目标是：在熟悉的生活情境中初步了解负数的含义，会用负数表示日常生活中的一些数量。全单元编排四道例题，具体内容的安排如下表：
例1用负数表示低于零度的温度例
2用负数表示低于海平面的海拔高度
负数的初步含义
例3用负数表示亏损的金额
例4用正数和负数表示相反方向运动的路程
在数轴上表示并认识负数
从表格里可以看出，全单元的教学内容分两部分编排。第一部分是例1和例2，联系低于零度的温度和低于海平面的高度教学负数的知识，包括负数的具体含义，表示负数的符号以及负数的读写方法等内容。学生在这两道例题中，初步接触负数，初步体会负数的含义，了解有关负数的一些基础知识。第二部分是例3和例4，教学负数的一些实际应用，用正数与负数区分日常生活中具有相反含义的数量。学生在这两道例题中，进一步感受负数的含义。练习一配合四道例题的教学，既有分别与各道例题配套的练习题，也有综合应用四道例题教学内容的练习题。
（一） 联系温度和海拔高度的表示方法，初步教学负数的知识
本单元教学负数知识的重点是它的含义，认识负数应初步建立负数的概念。例1选择学生经常接触的气温，例2选择具有形象特征的海拔高度为素材，逐步教学负数的知识。学生联系已有的生活经验能自主体会负数的含义，初步形成负数的概念。
1. 用负数表示低于零度的温度，引导学生首先感知负数。
例1精心选择我国的三个城市同一天的最低温度，设计了“创设问题情境——讲解负数知识”的教学线索，让学生意义接受负数。教材编写了三个教学环节，先是营造一种需要，使用不同的数区分零上温度和零下温度；然后讲解负数的知识，包括表示正数与负数的符号，正数和负数的读写方法等；最后通过“练一练”让学生写出一些正数和负数，巩固例1所教
学的知识。
教材用图画呈现三个最低气温，营造教学负数的氛围。某一天，南京的最低气温是0度，三亚的最低气温是零上20度，哈尔滨的最低气温是零下20度。这是三个很典型的温度，都在温度计上表示出来，一个刚好0度，一个在零度以上，一个在零度以下，而且三亚和哈尔滨的最低气温是两个不同意义的20度。怎样用数学方法分别表示零上温度和零下温度？怎样让人一目了然地区分两个不同的20度，而不致于混淆？这就是首次教学负数的氛围。为了营造这种浓厚氛围，教材问学生“从图中能知道些什么？”引导他们看着温度计说说三个城市的最低气温，通过“比零度高”“比零度低”这些描述，突出三亚和哈尔滨的气温是两个不同的20度，感到应该使用不同的方法来表示并区分这两个温度，从而产生学习负数的动机。
在上面的教学环节里，要指导学生看温度计上表示的温度。先在温度计上找到摄氏温度℃和华氏温度℉，告诉他们我国一般使用摄氏温度℃。再找到摄氏温度的零度刻度线，指出表示南京气温的温度计的水银柱顶端正好在零度刻度线上，这个温度就是0℃。然后识别零上温度和零下温度，指出在零度刻度线以上的温度是零上温度，在零度刻度线以下的温度是零下温度。零上温度要从零度刻度线往上看，一般每小格表示2度，每大格表示10度；零下温度要从零度刻度线往下看，一般也是每小格表示2度，每大格表示10度。最后读出三亚和哈尔滨的温度，它们的温度计的水银柱顶端分别在零上20度和零下20度刻度线上，分别是零上20℃和零下20℃。练习一第4题在温度计上画水银柱表示某市去年各季度的平均气温-10℃、15℃、20℃、-5℃，帮助学生进一步体会温度计是怎样表示气温的，学会看温度计所表示的温度。
教材把正数与负数结合起来讲解，有利于突出负数的含义和表示方法。先指出零上20℃可以记作+20℃，“+20”读作正二十；再指出零下20℃可以记作-20℃，“-20”读作负二十。让学生清楚地看到零上20℃和零下20℃分别使用了不同的符号“+”与“-”表示。“玉米”卡通的提问“+20℃和-20℃表示的含义相同吗？”引导学生关注这两个不同的数量，对不同数量作出不同的解释，体会符号“+”与“-”写在20的前面，区别了两种含义相反的温度。
练习一第1题配合例1的教学。读出水沸腾时的温度100℃、水结冰时的温度0℃、南极的最低气温-89.2℃，指出其中的正数与负数。通过识别正数和负数，继续体会负数的含义，消化例题里习得的知识。
2. 用正数或负数表示海拔高度，丰富对负数的感性认识。
例2用正数表示珠穆朗玛峰的海拔高度，用负数表示吐鲁番盆地的海拔高度。虽然学生缺乏海拔高度的知识，但“比海平面高”“比海平面低”的形象描述，有利于他们体会这是两个具有相反含义的数量，需要用不同的数分别表示它们。教材利用示意图形象表示珠穆朗玛
峰“比海平面高8844.4米”，吐鲁番盆地“比海平面低155米”。用一条红颜色线凸现海平面，什么是比海平面高、什么是比海平面低，就显而易见了。教材指出：海平面的平均海拔高度为0米，比海平面高8844.4米称为海拔8844.4米，可以记作+8844.4米；比海平面低155米称为海拔负155米，可以记作-155米。在用数表达海拔高度的过程中，又一次联系实际突出正数与负数的不同含义，学生对负数的感性认识就更加丰富了。
这道例题只表示出+8844.4、-155，没有讲它们的读法。这是考虑到例1里已经教学了正数与负数的读法，这里把读数机会留给学生，他们读出这两个数应该没有困难。
练习一第2题配合例2的教学，分别用正数和负数表示高于海平面3260米和低于海平面422米。这道题与例2十分接近，写数不会有困难。通过写数能再一次体验负数与正数是含义相反的数。
3. 初步揭示正数与负数的概念。
在例1和例2中，陆续出现了+20、-20、+8844.4、-155等数。如果把这些数分成两类，可以把+20、+8844.4分在同一类，把-20、-155分在另一类。教材指出：像+20、+8844.4这样的数都是正数；像-20、-155这样的数都是负数。用列举的方式，初步揭示了正数和负数的概念。学生在这里再认表示正数的符号，以及表示负数的符号，根据符号区别正数与负数。回忆例题，重温这些正数和负数的实际含义，初步的负数概念就产生了。
“0既不是正数，也不是负数”是十分重要的概念，教材突出讲述了这一点。可以联系0℃既不是零上温度、也不是零下温度，海拔高度0米既不在海平面之上、也不在海平面之下，体会0是正数和负数的分界点，它不是正数，也不是负数。配合例1和例2的“练一练”在给出的七个整数中有正数，有负数，还有0，识别哪些是正数、哪些是负数，能够加强对负数表示形式的直观感受，同时也再一次突出0既不是正数，也不是负数。
教学要注意的是，教材没有给出关于正数和负数的定义，只是通过列举实例让学生知道怎样的数是正数，怎样的数是负数。学生不仅要在形式上识别正数与负数，更要联系零上温度、比海平面高的高度都可以写成正数，零下温度、低于海平面的高度都可以写成负数，支持正数与负数概念的建立。
教材还指出：正数前面的“+”也可以省略不写。因此+20、+8844.4，也可以写成20、8844.4，这就把正数与以前教学的数联系上了。由此联想，-20、-155前面的“-”不能省略，如果把-20写成20、-155写成155，其含义就完全变了。于是进一步明白，1、2、3……都是正数，-1、-2、-3……都是负数，负数表示的意思和正数刚好相反。
练习一第3题要求写出5个正数和5个负数，帮助学生既从外在形式上，又从内在含义上，体会正数与负数的区别。
（二） 在盈与亏、收与支、升与降、增与减以及朝两个相反方向行走的路程等现实情境中，应用正数与负数，进一步理解负数的意义
本单元教学内容的第二部分例3和例4，以生活中常见的具有相反含义的数量为素材，引导学生尝试着应用负数，加强对负数意义的体验。
1. 两道例题的教学，设计了不同的方法。
例3呈现了一张反映新光服装店去年上半年每个月盈亏情况的统计表，在盈亏金额栏目里有正数，也有负数。教学任务是了解正数与负数在这道例题情境中的具体含义，看着统计表里的数据，逐一分析去年一到六月每个月的营业是盈利的还是亏损的，具体的钱数是多少。还可以分析这半年盈亏的整体情况，包括有几个月是盈利的，有几个月是亏损的……这道例题的教学方法是，先告诉学生“通常情况下，盈利用正数表示，亏损用负数表示”这个规则，再由学生依据规则对统计表里的每个数据作出具体解释，并对这半年的盈亏情况进行整理评价。从而体会正数和负数可以分别表示盈利和亏损两种具有相反意义的数量。“白菜”卡通问学生“从表中你能知道些什么？”引导他们体会统计表里数据的具体含义，交流对各个数据信息的理解。
例4为文字叙述的情境配了一幅示意图，图画表示小华以学校为起点向东行走2千米到达邮局，小林以学校为起点向西行走2千米到达公园。这道例题的教学任务是知道相背运动中，如果一个方向行走的路程用正数表示，那么另一个方向行走的路程可以用负数表示，再一次体验负数的意义。前面几道例题里，用正数表示零上温度、高于海平面的高度、盈利金额，用负数表示零下温度、低于海平面的高度、亏损金额，这些已经是人们共同约定了的，在通常情况下大家都会遵循这些规则。而例4中朝哪个方向行走的路程记作正数，朝哪个方向行走的路程记作负数，一般没有共同约定，是个人在解决问题时临时确定的。所以，例题提出“如果”向东行走2千米记作+2千米，让学生体会向东与向西是两个正好相反的方向，向西行走的路程应该用负数表示，即向西行走2千米可以记作-2千米。当然，“如果”向西行走2千米记作+2千米，那么向东行走2千米则应记作-2千米。
2. 两个例题的延伸，提出了不同的认知要求。
例3的“试一试”给出了新光服装厂去年下半年每个月营业的盈利或亏损金额，让学生在盈或亏的情境中应用负数的知识，加强“盈利通常记作正数，亏损通常记作负数”的印象。与例3相比，“试一试”在认知水平上没有提出更高的要求，只是变换了思维的方向。例题是根据“规则”体会统计表里各个正数或负数的具体含义，“试一试”是应用“规则”把盈利或亏损的具体数据用正数或负数表示到统计表里。学生完成“试一试”一般不会有困难。
例4在设定向东行走2千米记作+2千米，向西行走2千米记作-2千米以后，要在数轴（小
学数学称为“直线”）上用点表示出邮局和公园的位置。在数轴上表示正数和负数，能清楚地表现出非零自然数都是正数，正数比0大；负数是与正数意义相反的数，负数比0小；0是正数与负数的分界，它既不是正数，也不是负数。这些知识曾经在例2里已经初步得出，现在呈现在数轴上面，能更加直观形象地表达出正数、负数以及0的相互关系，蕴含了关于整数的知识结构。教材呈现出一条比较完整的数轴，它是一条标有箭头（方向）的直线，上面有表示“0”的点（原点），以及表示1、2、3等正数和表示-1、-2、-3等负数的点。教学应该仔细规划出现完整数轴的步骤，帮助学生理解数轴上已有的数的位置及其意义，初步注意到数轴上正数与负数的排列顺序。下面提供的教学设计仅供参考。
首先给出一条箭头向右的直线，在直线上有许多间距相等的点，其中一个点的下面标注数“0”。接着联系例4中向东行走的千米数记作正数的约定，在数轴的“0”点的右边下方依次写出1、2、3、4，表示如果从“0”点出发向东行走1千米、2千米、3千米、4千米所到达的位置，并告诉学生，数轴上的正数一般不写“+”。然后突出例4中向西行走的千米数用负数表示的约定，在数轴的“0”点的左边下方依次写出-1、-2、-3、-4，表示如果从0点出发，向西行走1千米、2千米、3千米、4千米所到达的位置，强调负数的“-”不能漏写。上述的教学设计，给抽象的数以形象的表达，有助于学生体会数轴上的点与数之间的对应关系，再次体验负数的意义。
引导学生看着数轴上的数，体会数的排列顺序，可以分两步进行。先仔细观察数轴上“0”的右边和左边分别是什么样的数，明白“0”以及它右边的数是以前就认识的数，“0”左边的数是本单元教学的负数。联系“正数都大于0”体会“负数都小于0”，感受数轴上的数分布的合理性。再仔细观察正数1、2、3、4等，在数轴上的排列方向是从左到右；负数-1、-2、-3、-4等，在数轴上的排列方向是从右到左，发现正数的排列方向和负数的排列方向相反，正数和负数以“0”为分界。还可以回忆温度计上的刻度和海拔高度的含义，体会数轴上正数与负数的排列方向的合理性。练习一第7题是在数轴上填数的习题，帮助学生把握数轴上正数的排列方向和负数的排列方向。
3. 带着例题里习得的知识与经验，在练习中继续体会正数与负数所表示的一些具体对象，加强负数概念。
练习一选择了丰富而宽广的题材，实际应用负数的知识，加强对负数意义的体验。如，第5题里升降机上升的高度与下降的高度分别用正数和负数表示；粮库运进粮食的数量和运出粮食的数量分别用正数和负数表示；科学知识竞赛抢答题的得分与扣分分别用正数和负数表示。第6题日常生活中，钱的收入与支出分别用正数和负数表示。第8题公共汽车乘客上车人数和下车人数，分别用正数和负数表示。这些练习题在编写上的共同点是：通过一个或
几个已知的数据显示用正数、负数表示的规则，要求学生看懂规则并按照规则，把同一情境里的其他数分别记作正数或负数。这些练习题应该让学生独立完成，一是让他们自己读题，独立理解问题情境；二是让他们自己寻找和理解记作正数与负数的规则，独立照着规则表示其他的数；三是让他们交流写出的数，并说说写数时的思考。
第二单元《多边形的面积》教材分析
本单元主要教学平行四边形、三角形和梯形的面积计算，结合这些图形的面积计算，还有求组合图形和不规则图形的面积，以及面积单位公顷与平方千米等内容。都是在理解了面积的意义，建立了常用面积单位的概念，掌握了长方形和正方形面积计算公式，认识了平行四边形、三角形和梯形的基础上编排的。教学常见的多边形的面积，既是今后继续学习数学的需要，也是解决实际问题的需要。通过本单元的教学，学生将进一步理解面积的意义，获得计算常见图形面积的基础知识和基本技能，初步体会并应用转化策略解决问题，大力发展数学思考。全单元编排11道例题，内容的具体安排见下表：
例1平面图形的等积变换
例2、例3把平行四边形转化成等积的长方形
平行四边形的面积计算
例4、例5用三角形拼成平行四边形
三角形的面积计算
例6、例7用梯形拼出平行四边形
梯形的面积计算
例8、例9面积单位“公顷”和“平方千米”
例10组合图形的面积计算
例11不规则图形的面积估计
单元整理与练习
从表格里可以看到，全单元的新授内容大致分成三段：第一段是例1，教学转化思想与图形转化的方法，这是十分重要的数学思想和解决问题策略，为充分利用已有知识经验，探索新的数学知识打下非常重要的思想基础。第二段是例2~例7，依次教学平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。每个图形的面积计算都通过两道例题教学，前一道例题着重于图形转化，把新图形转化成已能计算面积的图形，使新旧知识有机联系起来；后一道例题通过
推理得出新图形的面积算法。第三段求大块土地的面积和求较复杂图形的面积。计量大块土地的面积如果仍然用平方米作单位，涉及的数相当大，不便于表达、交流，需要更大的面积单位——公顷或平方千米来计量。较复杂图形指的是由两个或三个基本图形组成的组合图形，以及有曲边线的不规则图形，这些图形的面积计算比较复杂，方法也比较多样。
全单元编排三个练习，有助于学生扎扎实实地掌握本单元教学的基础知识，形成必要的基本技能，尽量避免过分的重复训练，适当减轻学习负担。
（一） 加强“转化”思想的教学，动手操作，通过图形的等积变形，探索常见平面图形的面积计算方法，经历推导面积公式的过程，提升面积计算的教学品位
平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式都不复杂。记住这些公式，按公式列算式计算有关图形的面积，都不困难。教材希望加强这些公式的教学过程，让学生通过独立思考和自主探索，主动得出这些面积计算公式，理解各个公式的具体含义。因为这些平面图形的面积计算的教育价值，不只是知道几个公式和进行求积计算，更在于通过这些内容的教学，发展学生的形象思维和空间观念，培养推理能力和创新精神，增强参与数学学习活动的热情和信心。教材编写，注意了引导方向、提供条件、开展操作、组织思考、安排交流等各个环节的活动设计，支持学生探索新知识并获得成功。
1. 创设把简单图形等积变形的情境，着力教学转化思想以及转化图形的基本方法。
小学数学教学基本图形的面积计算是从长方形开始的，然后通过平行四边形转化成长方形，三角形和梯形分别转化成平行四边形，陆续得出各个图形的面积计算公式。可见，“转化”是教学基本图形面积计算的重要思想和方法。学生习得转化思想，不仅能主动学习本单元的新知识，而且对以后的数学学习会有长远的积极影响。
关于图形的转化思想与方法，先编排例1，着力把一种图形等积转化成另一种图形，感受在面积不变的前提下，图形能从一种形状变成另一种形状。再在例2、例4、例6等教学平行四边形、三角形和梯形的面积计算时，让学生开展转化图形的活动，既运用转化策略解决新图形的面积计算问题，又深入体会转化的意义与价值，逐渐形成自己的转化思想。
例1在方格纸上给出两组图形，每组都有两个。右边的图形是长方形或正方形，左边的图形稍复杂些。要学生判断同组的两个图形面积是否相等，并交流想法。把图形放在方格纸上，有两点原因：一是可以通过数方格，分别得出同组的两个图形的面积各是多少，从而发现两个图形的面积相等。二是容易诱发把稍复杂图形通过“分割—平移—补拼”等操作转化成长方形或正方形的思路，发现转化得到的长方形或正方形与右边的长方形或正方形完全相同，从而判断同组的两个图形面积相等。
教学例1，要把力量放在图形的转化上面，这是本单元探索平行四边形、三角形、梯形
面积计算方法的上位观念。应该让学生体会稍复杂的图形可以等积变换成较简单的图形，这样的转化是解决问题的策略；体会稍复杂图形向简单图形转化，常用的方法是把稍复杂图形分割成两部分，平移其中的一部分，与另一部分补拼成长方形或正方形。
2. 把平行四边形转化成长方形，把三角形和梯形转化成平行四边形，把新知识转化到已有的知识上面。
教学平行四边形、三角形、梯形的面积计算，各编排两道例题。其中，前一道例题是图形的转化，其目的在于“化新为旧”，沟通新旧知识之间的联系，后一道例题把转化前后的两个图形相比较，找到它们的相同点，推导出新的面积计算公式。
例2把平行四边形转化成长方形。在方格纸上很容易看出，只要把平行四边形左边凸出部分往右边平移，就能使平行四边形变成长方形。学生受方格纸的影响，会沿着竖线把平行四边形分成两块，并把左边那块向右边平移，与右边那块拼成长方形。教学这道例题，应该让学生依次思考如下问题：沿着平行四边形的什么把平行四边形分成两块？为什么要沿着平行四边形的高分割平行四边形？沿着平行四边形的高能够把平行四边形分成两个怎样的图形？正如“辣椒”卡通那样，沿着高把平行四边形分成一个直角三角形与一个直角梯形。又如“蘑菇”卡通那样，沿着高把平行四边形分成两个直角梯形。上述两种转化似乎不同，其实是一致的，都沿着平行四边形的高分割图形，目的是使转化后的图形有四个直角，即成为长方形。
例4在方格纸上给出三个平行四边形，沿着各个平行四边形的一条对角线，把每个平行四边形都分成两个三角形，并把其中一个三角形涂了颜色。学生已经知道，每个平行四边形分成的两个三角形大小相等。在图形直观下，他们能够理解涂色三角形的面积是它所在平行四边形面积的一半，这是探索三角形面积计算公式十分重要的上位认识。例题要求说出各个平行四边形里的涂色三角形的面积是多少，根据每个方格表示1平方厘米，先看出平行四边形的底和高的长度，算出各个平行四边形的面积，再把平行四边形面积除以2，得到三角形的面积。通过这些活动要体会两点：一是平行四边形能够分成两个完全相同的三角形，每个三角形的面积是它所在平行四边形面积的一半。二是求三角形面积可以先得出它所在的平行四边形的面积，再除以2。这些体会应该是例题的教学重点。
例6求方格纸上的梯形的面积。如果采用数方格的办法，能够得出梯形的面积，但出现若干个小于半格和大于半格的情况，准确得出梯形面积比较麻烦。如果把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，在方格纸上能够看出平行四边形的底和高各是多少厘米，也能看出三角形的底和高各是多少厘米。分别算出平行四边形和三角形的面积，相加就能得到梯形的面积。但是，这种方法的解题步骤较多。如果像三角形那样，用两个完全相同的梯形，拼成一
个平行四边形，那么梯形的面积等于拼成的平行四边形的面积的一半。算出拼成的平行四边形面积并不难，得出梯形的面积也就不难。
可见，教材通过例2、例4、例6等题，引导学生应用图形转化策略，把暂时没有面积计算公式的图形转化成已有面积计算公式的图形，诱发新知识向旧知识转化的思路，形成从长方形面积公式推出平行四边形面积公式，从平行四边形面积公式推出三角形和梯形面积公式的认知线索，为学生主动探索新知识打下了扎实的思想基础。
3. 提供操作活动的物质条件与方法指导，鼓励学生动手实践，积极开展形象思维，形成求平行四边形、三角形、梯形面积的思路。
学习平面图形面积计算公式的过程，是运用数学思想方法，将具体问题数学化的过程，也是“再创造”数学知识的过程，图形直观和图形变换是重要手段。教材大力改变那种片面重视结论、忽视过程，单纯由教师演示、讲解，学生用眼不动手、用耳不动口的现象，鼓励学生动手操作，在实践中创新知识。
教科书后面的附页里有许多平行四边形、三角形和梯形，为学生开展操作活动提供需要的图形。教材还就怎样操作给出了具体指导。例3的安排是：从附页中选一个平行四边形剪下来→把它转化成长方形→求出长方形和平行四边形的面积→把数据填入教材的表格里。平行四边形转化成长方形在例2里已经进行过，学生能够独立操作。求长方形面积是旧知识，学生能够在方格纸上看出长方形的长和宽各是多少厘米，并算出长方形的面积，而算出长方形面积也就得到了平行四边形的面积。学生在这次操作活动中，经历了直观的图形转化以及等积推理的过程，体会了一种图形的面积可以借助另一种图形的面积公式算出来。
例5的安排是：剪下附页里的三角形→用两个同样的三角形拼成一个平行四边形→算出平行四边形的面积→求出一个三角形的面积→把数据填入表格。其中有两个要点：一是两个完全相同的三角形才能拼成平行四边形，二是三角形面积是它所在平行四边形面积的一半。为了让学生获得这些认识，附页里设计了许多个三角形，有些相同，有些不同，都可以剪下来。学生可以拼拼、试试，看哪两个三角形能拼成平行四边形；也可以想想、选选，直接剪下两个能拼成平行四边形的三角形。拼成平行四边形以后，就能算出它的面积，再除以2，就能得到一个三角形的面积。这些操作和计算，让学生体验了三角形面积和平行四边形面积的关系，也形成了计算三角形面积的策略——把相关的平行四边形面积除以2。
例7的操作安排和例5十分相似，选择两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，先求出平行四边形的面积，再除以2，得到一个梯形的面积，体验梯形面积和平行四边形面积的关系，形成计算梯形面积的策略——求相关的平行四边形面积的一半。
4. 在个体操作的基础上安排合作学习。
例3、例5、例7这三道研究图形面积计算公式的例题里，每个学生都只进行一次图形的割补或移拼活动。同一小组的学生，会从附页里选择不同的平行四边形、三角形和梯形进行操作，因此具有相互交流的需要与可能。通过交流，知道任何一个平行四边形都可以转化成长方形，只要是完全相同的两个三角形或两个梯形，都可以拼成一个平行四边形。这样，对图形变换的认识不再是个案的感知，而是较多实例的体会，是对图形之间本质联系的体验。这对形成图形的面积计算公式十分重要，因为一个公式表达了一类图形的面积计算方法，需要在同一类的多个图形的面积探索活动中总结出来。这也体现了数学学习的严谨性与数学结论的确定性，是应该培养的数学素养。
每道例题都设计了一张表格，交流以后学生在自己的教科书里填写。每张表格都有三行空格，其中一行填自己操作图形得到的数据，另两行填交流时听到的其他同学操作图形的数据。表格的内容都是两部分，一部分是转化以后图形的有关数据，如转化成的长方形的长、宽、面积，拼成的平行四边形的底、高、面积。另一部分是转化前图形的有关数据，即原来平行四边形的底、高、面积，原来三角形的底、高、面积，原来梯形的上底、下底、高、面积。把两部分内容设计在同一张表格里，便于从数量的角度，体会图形转化前后在长度与面积上的对应联系。表格里先填转化成的图形的数据，后填转化前的图形的数据，出于两点考虑：一是通过操作，已经实现了图形的转化，转化得到的图形的边的长度可以测量，面积能够算出，完成表格的左半部分会比较顺利。二是原来图形的面积要依据“图形的形状变了，大小没有改变”推理出来，没有转化后的图形的面积就得不到原来图形的面积。至于原来图形的底、高的长度，学生有条件通过形象思维，从转化后的图形逆向推理得到。填写表格的右半部分，对转化前后两个图形的联系会更加清楚。
5. 组织推理，得出面积公式。
教学面积公式的三道例题里，都设计了三个讨论题，任务是组织起面积公式的推理活动。前面两个讨论题是关于转化前后两个图形的比较研究，归纳出两者之间的内在联系，包括面积之间的相等关系以及线段间的对应关系。这些联系，在操作活动中已有初步感知，经过填写表格有了比较清楚的体验。通过讨论，可以更加系统、更加深刻、更加全面地把握。第三个讨论题从转化后图形的面积计算方法得出原来图形的面积计算方法，要对已有的面积公式进行等量替换，推导出新的面积公式。如：
长方形的面积＝长×宽
↓ ↓（依据图形联系的等量替换）
平行四边形的面积＝底×高
又如：三角形的面积=平行四边形面积÷2
↓（已有面积公式的代入）
=底×高÷2
其中的“底”和“高”，首先是平行四边形的底和高，然后是三角形的底和高，因为三角形与平行四边形有等底等高的关系。
教材没有直接写出这些替换，留给教师和学生共同展开。学生从中不仅知道了新的面积计算公式，而且在数学思考，特别是开展推理活动方面，会得到一次很好的锻炼。本单元教学的三个面积公式，既用文字表达，还用字母式子表示，可以视为具有普遍意义的数学模型。公式的得出是建立模型的过程，只要参与了探索公式的全部数学活动，就一定能够理解和掌握这些公式，受到模型思想的熏陶。
6. 在练习中加强对面积公式的体验。
本单元编排的求面积的练习相当充分，配合每个面积公式各安排一道“试一试”和一个“练一练”。“试一试”应用新学的面积公式，解决简单的求面积的实际问题，难度不大，要求学生独立完成。“练一练”一般编排两道题，一道题突出面积公式中最关键的部分，特别是平行四边形与相应长方形的面积关系，三角形或梯形与有关平行四边形的面积关系，加强对各面积公式的理解；另一道题应用公式求各种位置摆放的图形的面积，在加强认识各种图形的同时，体会每个公式都是求一类图形面积的算法。
教材十分重视对面积公式的深入理解。在得出公式以后，仍然创造许多机会，引导学生反复体验面积公式。一些精心设计的练习题值得重视，应充分利用其蕴含的数学内容。
练习二第1题在方格纸上画出两个平行四边形，要求和已经给出的长方形（长5格、宽3格）面积相等。通常有两种思考：一种是画出面积为15格的平行四边形，这样的平行四边形可以是底5格、高3格，底3格、高5格……这种思路能更加熟悉平行四边形的面积公式。另一种是以长方形为基础，画出底5格、高3格而形状不同的平行四边形，这种思路能更好地体验平行四边形和相应的长方形之间的等底、等高、等积的关系。第5题拉动细木条钉成的长方形框，图形的周长始终不变，面积却变得越来越小。图形变化而周长不变的原因是四根细木条的长度保持不变；围成的图形面积变小的原因是平行四边形的高越来越短。从中区分了平行四边形的底和高，体会底的长度保持不变，高成了影响面积大小的决定因素。第7题判断方格纸上哪几个三角形的面积是已知平行四边形的一半。其中最左边的那个三角形底3格、高4格，与平行四边形等底等高；最右边的那个三角形底4格、高3格，虽然与已知的平行四边形不是等底等高，但底与高的长度刚好互换。平行四边形的面积“3×4”，这两个三角形面积都是“3×4÷2”。通过上述的选择，不仅判断了哪两个三角形的面积是平行四边形面积的一半，而且对三角形面积公式的理解更加深刻、更加灵活了。第11题在方格纸上画
3个面积是9平方厘米的三角形，通常有下面的思路：一种是假设三角形的底9厘米，高应该2厘米；假设三角形的底6厘米，高应该3厘米……画出各个假设的图形。另一种是先画出面积是18平方厘米的平行四边形，再画对角线把平行四边形分成两个同样的三角形，从中选择一个。还有一种是先画一个面积9平方厘米的三角形（如底9厘米、高2厘米），再画和它等底等高的其他三角形。无论采用哪种思路画图形，都能加深对三角形面积公式的体验。第16题里，涂色的三角形与所在的平行四边形等底等高，面积是平行四边形的一半。可以进一步体会平行四边形与三角形等底等高的含义，无论三角形处于平行四边形中的什么位置，只要它与平行四边形等底等高，面积总是平行四边形的一半。
练习三第1题判断方格纸上哪几个梯形的面积相等。由于给出的四个梯形的高都是4格，只要寻找哪几个梯形的上底与下底之和相等就可以了。从左起第1、2、4三个梯形上底与下底的和都是8格，第3个梯形的上、下底的和是7格，由此就能作出结论了。解答这道题能够加深对梯形面积公式的理解。
7. 编排“动手做”，体会平行四边形能够分成两个完全相同的图形。
在得出梯形面积公式以后，教材安排了一次“动手做”，要求学生把平行四边形分成两个完全相同的图形。可以分三步组织学生操作。
第一步认识平行四边形的“中心”：在一个平行四边形里画出两条对角线，对角线的交点称为平行四边形的中心。在方格纸上任意画一个平行四边形以及它的两条对角线并不难，认识平行四边形的中心也就不难。
第二步等分平行四边形：过平行四边形的中心任意画一条直线，能把平行四边形分成两个图形。剪下两个图形比一比，发现两个图形完全相同。如果画的那条直线是平行四边形的一条对角线，就得到两个完全相同的三角形；如果画的那条直线不是平行四边形的对角线，就得到两个完全相同的梯形。无论把平行四边形分成两个三角形还是分成两个梯形，每个三角形或者每个梯形都是平行四边形的一半。
在探索三角形、梯形面积公式时，曾经用两个完全一样的三角形或两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。现在，一个平行四边形能够分成两个完全一样的三角形或两个完全一样的梯形。再一次说明三角形或梯形是它所在平行四边形的一半，即三角形（梯形）面积=等底等高平行四边形面积÷2，由此也能推导出三角形或梯形的面积公式。
第三步等分正方形、长方形、正六边形。正方形、长方形都是特殊的平行四边形，都有像平行四边形那样的中心，过中心的任何一条直线都能把正方形、长方形分成两个完全一样的三角形或梯形。学生从一般到特殊，认识正方形、长方形的中心，过中心画直线等分正方形和长方形应该没有困难，这是一次演绎推理的过程。
正六边形也有类似于正方形那样的中心。如果把正六边形的顶点依次编为1、2、3、4、5、6号，那么连接顶点1与4的对角线和连接顶点2与5（或者3与6）的对角线的交点是正六边形的中心，过中心的任何直线都能把六边形分成完全一样的两部分。从平行四边形的中心到正六边形的中心，从两等分平行四边形到两等分正六边形，是类比推理。
这次“动手做”到正六边形结束，不再向其他图形扩展。因为平面图形的中心是比较复杂的话题，并不是所有多边形都有这样的中心，也并不是所有正多边形都有这样的中心。换一个角度感受等底等高的三角形与平行四边形的关系，体验梯形面积公式的合理性，是这次活动的收获。
（二） 求较复杂图形的面积，进一步理解面积的意义，提高计量平面图形面积的能力
本单元的例10和例11分别教学组合图形面积和不规则图形面积。这些图形相对于正方形、三角形等基本图形而言，是较复杂的平面图形。计量较复杂图形的面积，是在“图形的大小叫作它的面积”这个概念的基础上，通过把原图形分解成若干基本图形后进行的，因而有进一步理解面积意义和提高计量面积能力的作用。
1. 小学数学里的组合图形通常指若干个基本图形拼合而成的平面图形。
在教学基本图形的面积以后，接着教学组合图形的面积，主要有三点原因：第一，学生平时有可能见到组合图形或者会遇到解决组合图形面积的问题，教学组合图形的面积有助于他们扩展对图形的认识，有益于他们解决实际问题。第二，组合图形是分解成基本图形后计算面积的，已有的基本图形的面积知识是求组合图形面积的基础，又在计算组合图形面积时得到巩固。第三，组合图形可以分解成几个基本图形，几个基本图形也可以构成组合图形，计算组合图形的面积有利于分、合思想以及综合、分析策略的进一步发展。本单元出现的组合图形一般由两个基本图形组成，已经含有了计算组合图形面积的思想和方法，已经体现了组合图形与基本图形的关系。
例10是比较典型的组合图形，它可以看成一个长方形和一个梯形的组合，也可以看成一个三角形和一个长方形的组合，还可以看成大长方形里去掉一个梯形以后的图形。由此可以分别形成长方形面积加梯形面积，三角形面积加长方形面积，或者大长方形面积减去梯形面积等几种不同的解题思路。教材重视对组合图形的分析，两个小卡通分别说出了两种类型的思考（两个图形之和与两个图形之差）。有了解决问题的思路，分步计算基本图形面积再相加或相减，都留给学生进行了。教学应该把精力放在对组合图形的认识，以及求组合图形面积的思想方法上面，让学生多观察、多思考、多交流，形成小卡通那样的解决问题策略。
分步求组合图形的面积，很重要的一点就是找到计算各个基本图形面积所需要的边长。长方形、平行四边形的对边长度相等，正方形的四条边长度相等，等腰三角形的两条腰长度
相等，等边三角形所有边长度相等，这些知识在求组合图形面积时往往得到应用。例10按“辣椒”卡通的思路求面积，梯形的上底12米就是根据长方形的对边相等得出的。按“蘑菇”卡通的思路求面积，梯形的下底10米要根据长方形的对边相等得出，高3米要通过（15-12）得出。正确找到求基本图形面积所需要的条件，很可能是一部分学生的解题难点，应给这些学生必要的指点与帮助。
2. 例11教学不规则图形的面积，这是新课程在几何与图形方面新增加的教学内容。
不规则图形相当常见，却很难把它分解成已经认识的基本图形。人们遇到不规则的图形，通常估计它的面积。估计的思路是假如用适当的面积单位去量不规则图形的面的大小，大约含有多少个这样的面积单位。例题把一个湖泊的平面图放在方格纸上，每个方格表示1公顷，这就创设了用面积1公顷的正方形测量湖泊面积的情境。可见，教学不规则图形面积，能够进一步加强图形面积的概念和用面积单位测量图形面积的观念。
湖泊画在方格纸上占了许多个方格，其中有整格，也有不是整格。在方格纸上数出湖泊的面积，必须数出湖泊占了多少个方格。如果只计整格的面积，数出的结果会比湖泊的实际面积小；如果把不是整格也看成整格，结果会比湖泊实际面积大。所以，计量湖泊的面积应该分别数出整格的个数和不是整格的个数。计量面积的难点是数得整格的和不满整格的各多少个，教材在数方格上给学生具体的指导。整格的都在湖泊的中间，可以一行一行或者一列一列有序地数。不满整格的都在池塘的一周，可以沿着湖泊的边依次数。不是整格的，有些超过半格，有些不到半格，既然是估计面积，把不满整格的都按半格计算，是比较合理的方法。
课程标准把“能用方格纸估计不规则图形的面积”列为教学目标。为此，“练一练”编排两道题，一道是估计方格纸上的树叶面积大约多少平方厘米，另一道在方格纸上描出自己手掌的轮廓线，估计手掌的面积大约多少平方厘米。为了方便操作，教科书的附页里有每个方格是1平方厘米的方格纸，学生可以把手掌的轮廓或其他不规则图形画在方格纸上，用数方格的方法估计手掌或其他图形的面积，落实课程标准的要求，发展测量面积的观念与能力。
（三） 认识公顷和平方千米，初步建立1公顷和1平方千米的表象，初步学会用公顷和平方千米计量土地的面积
公顷和平方千米是两个较大的面积单位，一般用于计量大块土地的面积。三年级下册教科书里已经教学了平方厘米、平方分米、平方米等面积单位，这些单位适宜计量物体表面、平面图形以及小块土地的面积。如果用于计量面积很大的土地，则很不方便，需要公顷和平方千米。
本单元教学公顷和平方千米，要初步形成1公顷和1平方千米的表象，联系实际体会它们大致是多大，在头脑里留下比较清楚的印象；要结合土地面积的计算，掌握平方米和公顷、平方米和平方千米间的进率，感受用公顷和平方千米能方便地表达大块土地的大小；要整理先后教学的五个面积单位，组织新的认知结构，合理使用各个面积单位。例8先教学公顷，例9再教学平方千米，因为平方千米是比公顷更大的面积单位，建立平方千米的概念需要以公顷为基础。
1. 在有趣的情境中呈现公顷和平方千米，吸引学生关注这两个面积单位。
例9以四张照片为背景，分别给出北京圆明园、南京明孝陵、杭州西湖、台湾日月潭的面积数据，这些面积都以公顷为单位。例10也以四张照片为背景，分别给出九寨沟、三峡水库、青藏高原、鄱阳湖的面积数据，这些面积都用平方千米为单位。
图文结合呈现具体对象的面积数据，能吸引学生的注意，诱发学习热情，引起学习心向，营造学习氛围。首先是学生会知道这些景点并很感兴趣，学习热情因此而产生。其次是例9都以公顷为单位，例10都用平方千米为单位，学生会很自然地想到什么是1公顷（平方千米）、1公顷（平方千米）有多大、为什么用公顷和平方千米作单位等问题，并有解答这些疑问的迫切愿望。这时，他们的兴趣会从对景物的喜爱转移到对数学内容的喜欢上，注意力集中到对公顷和平方千米的认识上，例题的教学就有了良好的开端。
2. 在丰富、多样的活动中感受1公顷和1平方千米，形成1公顷、1平方千米的表象，知道它们各有多大。
“知道”可以通过听和看接受，也可以在操作实践中体会。教材为学生设计了多条渠道、多种形式的活动，体验1公顷、1平方千米的实际大小，在头脑里留下1公顷、1平方千米的印象。两道例题的教学都分步进行。
第一步由例题直接指出“测量和计算土地面积，通常用公顷作单位”“测量和计算大面积土地，通常用平方千米作单位”。并告诉学生“边长100米的正方形土地，面积是1公顷”“边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米”。通过这些叙述，开门见山地引出了新知识。学生对100米、1000米的长度是熟悉的，知道它们有多长，由此不难想象边长100米、1000米的正方形有多大。所以，教学不仅要告诉学生什么是1公顷和1平方千米，还要让他们想一想相应的正方形，体会这些正方形有多大，获得对1公顷、1平方千米的初步体会。
第二步安排计算，分别得出公顷与平方米、平方千米与平方米、平方千米与公顷的关系，利用进率感受1公顷、1平方千米各是多大。根据正方形的面积公式，很容易算出边长100米、1000米的正方形面积是10000平方米、1000000平方米，这是公顷与平方米、平方千米与平方米的关系。根据1000000里面有100个10000，推理出1平方千米等于100公顷，这
是公顷与平方千米的进率。让学生进行这些计算有三个目的：第一，算式100×100、1000×1000是根据1公顷和1平方千米的概念列出的，通过计算能巩固概念；第二，体会公顷和平方千米确实是比平方米大得多的面积单位，用它们计量大块土地的面积比用平方米简便；第三，教学了记忆进率的方法，一旦遗忘，可以根据概念列式算得。
第三步在活动中体会1公顷。28个小朋友手拉手围成一个正方形，是一项简单的活动，是学生愿意做的游戏。教材联系游戏指出，这个正方形的面积大约是100平方米。学生照这样围一围，看着围成的正方形，想象100个这样的正方形有多大，体会了1公顷的实际大小。1公顷的表象清晰了，有利于形成1平方千米的表象，因为100公顷是1平方千米。
教学如果联系熟悉的场地让学生体会1公顷，能产生很好的效果。如足球场是熟悉的，通过计算1个足球场的面积，知道它接近1公顷，比1公顷小一些。又如教室是更熟悉的，1个教室地面的面积一般50平方米左右，大约200个这样的教室，地面才有1公顷。从熟悉的场地推想1公顷，能加深对1公顷的印象。学生只要在众多实例中记住最喜欢的一个，1公顷有多大就会印象深刻，一生不忘。
3. 计算较大的土地面积，使用公顷和平方千米作单位。
配合两道例题的“练一练”分别要求学生用公顷和平方千米作单位计算土地的面积，练习三里还有几道与面积计算有关的习题。由于土地的边长一般都是用米作单位，所以要先用平方米为单位求出土地的面积，再换算成公顷或平方千米为单位的数量。学生从中能再次感受到，计量大块土地的面积，如果用平方米为单位，读、写都比较麻烦；如果用公顷或平方千米作单位，便于表达和交流。教学这些习题，要适量留出一点时间，让学生根据土地的有关长度，想象土地的实际大小，从而感受公顷与平方千米。经常这样想象，对形成公顷与平方千米的表象，以及培养估计能力都是有好处的。
4. 整理学过的面积单位。
平方米、平方分米、平方厘米等单位是三年级教学的，公顷、平方千米是本单元教学的，两段内容的教学时间相隔比较长。相邻的单位间的进率有些是100，个别是10000。所以，有必要把陆续教学的面积单位进行一次整理，帮助学生从整体上掌握常用的面积单位。
整理的时候，要着重回忆各个面积单位的意义，说出分别是多大的正方形的面积，然后把所有单位按大小次序排一排。抓住意义进行整理，能再现单位的概念，组织起面积单位系统，使进率的记忆不是机械的，而是有意义的。如果把整理的内容设计成有结构的板书，效果会更好。如：
平方厘米……边长1厘米的正方形面积
↓（进率100）
平方分米……边长1分米的正方形面积
↓（进率100）
平方米……边长1米的正方形面积
↓（进率10000）
公顷……边长100米的正方形面积
↓（进率100）
平方千米……边长1000米的正方形面积
（四） 全单元内容的“整理与练习”要重组认知结构，培养应用数学知识解决问题的能力
学生先后学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形等基本图形的面积计算，本单元教学即将结束时，应整理和应用这些知识。
在回顾与整理栏目里，不是简单回忆和强化记忆各个面积公式，而是要引导学生说说“学习了哪些面积公式，它们各是怎么推导出来的”。一方面有序地整理一系列面积计算公式，另一方面体验图形的相互转化和转化策略的应用，沟通各个面积公式的内在联系。教学可以结合学生的回忆与交流，及时板书出一幅能表示知识间关系的网络图，把五个图形及其面积公式沟通起来。如：
长方形 平行四边形 三角形S=a×h÷2
S=a×b S=a×h 梯形S=（a+b）×h÷2
↓
正方形
S=a×a
至于计量土地面积的单位、计算组合图形面积和估计不规则图形面积的方法，也是本单元的重要内容，也应通过回忆整理来加强有关的认识与观念。
在练习与应用栏目里，教材精心编排了十道习题，从两个层面提高知识技能的学习水平。第一个层面是第1~3题，帮助学生深入理解基础知识。第1题，说说方格纸上给出的四个图形的面积有什么关系。其中长方形的长、平行四边形的底、三角形的底、梯形上底与下底的和都是4厘米，长方形的宽、平行四边形与三角形以及梯形的高都是3厘米。得出平行四边形的面积与长方形相等，三角形面积、梯形面积都是长方形的一半，就温习了平行四边形、三角形、梯形面积的算法。第3题在方格纸上画一个平行四边形、一个三角形和一个梯形，使它们都与给定的长方形面积相等。需要依据各种图形之间的关系，构思画法，从而深入理解各个面积公式的内涵。学生的思考会多样且灵活，画法也会各种各样，是可以充分利用的
教学资源。第二个层面是第4~10题，帮助学生应用学习的知识解决实际问题。这些问题都在基本题的基础上有所发展，体现了相关知识的应用性和现实性。涉及的题材宽广，贴近生活，能充分感受面积知识的应用价值。问题的陈述多样，如做10面同样的三角形小旗一共要多少平方厘米材料；20千克油漆涂装饰牌的一个梯形面够不够；高速公路的路基占地多少等不同问法，能调动解决问题的热情。所用的知识有适度的综合性，除了计算图形的面积，还要联系其他数量关系，才能得到答案。教学这些内容要让学生独立思考，自己构思解决问题的方法与步骤。要引导学生从实际问题里提炼出数学问题，寻找解决数学问题的知识与方法，使解决问题的思考既有抽象的一面，又有具体化的一面。
在探索与实践栏目里，应用与面积有关的思想方法开展操作活动并解决问题。如，测量和计算教室地面的面积，感受长度和面积的内在关系，体会利用面积公式求面积比用面积单位测量面积方便得多。把20本练习簿摆成不同形状的物体，计算物体表面的长方形面积或平行四边形面积，体会不同图形的内在联系。在方格纸上估计一个小动物头像的面积，体验面积的意义和计量面积的单位与方法等。这些活动的实践性和操作性都相当强，有利于提高学生的动手能力，也有助于提高他们应用数学知识解决问题的能力。
综合与实践《校园绿地面积》教材分析
这是一次操作型实践活动，主要活动是测量土地的长度、计算其面积。认识土地的形状、设计并实施测量方案是活动的重点。
学校里都有草地、花坛、树林等绿地，地面的形状多种多样。在教学了多边形面积计算以后，可以利用长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积知识，去了解校园里的绿地情况，包括种类、形状、大小等信息。从而进一步掌握有关的数学内容，提高解决实际问题的能力，体验数学知识的实际应用，积累学习数学的兴趣。所以说，这次实践活动是一件有意义的事情。整个实践活动按“提出问题”“实地测量”“汇总分析”“回顾反思”等栏目编排。
在“提出问题”栏目里，首先提出“你们学校的绿地面积是多少”“人均绿地面积是多少”等问题，把教与学的心向都集中到学校的绿地上面。大多数学生应该知道自己学校有哪些绿地，分别在哪里，各种植了什么。但一般不会知道这些绿地的面积有多大，也不会知道人均绿地面积的数量。这些已知和未知会构成他们的认识冲突，并由此产生进一步了解学校绿地情况的愿望。教材接着提出“需要收集哪些数据”“可以怎样收集数据”等问题，酝酿开展本次实践活动的方案。学生会一一列举学校里的各块绿地，议论每一块绿地的形状；会想各种办法去了解每一块绿地的大小，如查找资料、询问有关老师、实际测量或估计等；会根据各
块绿地的形状，想到每一块绿地面积的算法以及需要的长度数据……教学应充分利用这些资源，组织广泛讨论和交流，把“制定一个测量和统计校园绿地面积的方案”作为这个栏目的活动重点。教学还应重视小组合作，在形成小组集体方案的基础上，分解测量长度、计算面积等任务，让每个学生都有事要做，积极参与实践活动。如果学校的绿地较多，应该在小组之间适当平衡。每小组分别计量一块或几块绿地的面积，尽量把校园里的所有绿地都分配给各小组测量。圆形、椭圆形或不规则形状的绿地面积不会测量，但可以估计大约是多少平方米，或者由教师直接告诉学生相关数据。
在“实地测量”栏目里，各小组实施自己的测量方案，量出有关长度，算出绿地面积，并记录在教科书的表格里。正确测量长度是这个栏目的关键，它为计算面积提供准确的数据。一般而言，测量长方形地的长与宽，测量正方形地的边长比较容易。测量三角形绿地、平行四边形绿地、梯形绿地的高比较难，需要先确定高所在的位置，再测量长度。所以，教材图示了测量长度的情境，提示学生正确测量。测量长度用“米”作单位，算出面积用“平方米”作单位。测量记录表里有“形状”“量得的数据”“面积”等栏目，应该告诉学生，测量的长度保留一位小数。如果一个小组计量两块或几块绿地的面积，在两块或几块绿地面积的合计时保留整数。
在“汇总分析”栏目里，主要做两件事情：一件是交流各块绿地的面积，汇总各个小组的计量结果，全面了解校园绿地情况。另一件是按“绿地总面积÷全校师生人数”计算人均绿地面积。汇总面积要分类进行，按种植内容把绿地分成草坪、花圃、树木和其他四类，分别得出草坪的总面积、花圃的总面积、树林的总面积、其他绿地的总面积以及学校绿地的总面积。计算学校人均绿地面积需要全校师生的总人数，应该通过调查得到。教材设计了“校园绿地面积统计表”和“人均绿地面积统计表”，学生可以边交流边记录，边填表边计算，有序地完成本栏目的统计任务。
在初步完成数据汇总以后，还要进行数据分析。说说“通过测量和统计，知道了什么”，用得到的数据分析校园绿化情况。如，各种类型绿地中，面积最大的是哪一类、最小的是哪一类；校园绿地是怎样整体布局的；各块绿地是怎样设计的……说说“还能想到哪些问题”，评价校园绿地建设，并且提出一些建议。如，现在绿地面积与几年前相比，有没有发展，有哪些变化；自己学校的人均绿地面积比附近其他学校多一些还是少一些；校园绿地作哪些调整可以使绿地更美，人均面积更多……
在“回顾反思”栏目里，重点要帮助学生积累数学活动经验和数学学习情感，接受爱护环境的教育。回顾这次实践活动，通过调查、测量和计算，获得了有关校园绿地情况的信息资料，并且用面积数据描述了校园绿地的规模。这是一次用统计解决实际问题的活动，有许
多体会值得反思。如，生活中经常会利用统计的方法解决问题，开展统计活动需要收集、整理数据，分析、利用数据；调查、测量、实验是获得数据的常用渠道，分类、汇总是整理数据的主要方法，提出问题和解决问题是分析、利用数据的重要方式。数学活动经验应该像这样经常总结、逐渐积累，以形成继续学习数学的支撑力。保护环境是我国的一项国策，绿化是保护环境的一种手段，爱护身边的一草一木是每个人应有的基本素养，对学生进行环保教育也是本栏目的一个内容。
《小数的意义和性质》教材分析
本单元在掌握了整数的概念和计数方法，以及初步认识分数与一位小数的基础上编排，主要内容是小数的意义和性质。这是系统教学小数知识的开始。结合小数的意义和性质，还要比较小数的大小、把非整万数和非整亿数改写成以“万”或“亿”为单位的小数、求小数的近似数等内容。全单元编排九道例题，具体安排见下表：
例1小数的意义、读写方法
例2小数的计数单位
例3小数的计数方法、数位顺序、整数部分和小数部分
例4、例5小数的性质
例6应用小数性质化简或改写小数
例7比较小数的大小
例8把整数改写成以“万”或“亿”为单位的小数
例9取小数的近似数
单元整理与练习
小数的意义是全单元的教学重点。从认识整数到认识小数是认数范围的一次了不起的扩展，不仅增加了数的知识，而且增强了应用数去解决问题的能力。
学习小数以后，计量、测量物体的长度或质量，如果得不到整数的结果，就可以用小数表示。认识小数首先是理解它的意义，只有建立小数的概念，才能陆续掌握小数的其他知识。本单元里不安排小数点移动位置和名数改写等内容，是为了集中精力教学小数的意义。
小数的意义也是教学的一个难点，因为这是抽象的数概念。学生虽然有一些生活中的零散经验和对小数的初步认识，但仍然需要大量感性材料作为支撑，并通过抽象与概括逐渐构建完善的小数概念。还需要在教师的具体指导下进行个性化思考，逐步理解小数的本质属性。
小数的基本性质也是本单元的重要内容，理解小数性质需要以小数意义为基础。明白了小数的计数方法，掌握了小数的组成，理解小数性质就不难了。
（一） 以两位小数和三位小数的意义为重点，教学小数的概念和计数方法
十进分数除了写成分母是10、100、1000的分数形式外，还可以写成另一种形式，即小数。具体地说，分母是10的分数还可以写成一位小数，一位小数表示十分之几；分母是100的分数还可以写成两位小数，两位小数表示百分之几……教学小数的意义，要让学生理解并掌握这些关系，这就是需要建立的小数概念。
教学小数的概念编排三道例题，体现了鲜明的层次性和渐进性。例1联系具体数量回忆一位小数，引出两位、三位小数，初步抽象小数的意义。例2和例3教学小数的计数单位、数位顺序、计数方法以及小数的组成，进一步加强对小数的理解。
1. 例1用多种形式表示长度，初步教学百分之几的分数可以写成两位小数，千分之几的分数可以写成三位小数，以及两、三位小数的写法和读法。
例题以长度单位的改写为载体，教学小数的意义，分四段进行。
第一段围绕“1分米等于几分之几米？写成小数是多少米？3分米呢”这些问题，通过写一写、说一说，回忆已经学过的一位小数的知识。三年级下册教科书里，初步教学了十分之几的分数可以写成一位小数，如3/10米还可以写成0.3米，1元2角还可以写成1.2元，学生初步知道一位小数表示十分之几。所以，教材的这一段，只是提出问题和要求，让学生独立改写。而且要求先写出十分之几的分数，再写成小数，沟通一位小数和十分之几分数的内在联系，突出一位小数的意义。
第二段围绕“1厘米是几分之几米？4厘米、12厘米各是几分之几米”这些问题展开两位小数的教学过程。把1厘米写成几分之几米，有一些难度，通常先要思考：1米平均分成100份，每份长1厘米，1厘米是1米的百分之一，是1/100米，写出分母是100的分数。再指出1/100米写成小数是0.01米，0.01读作零点零一。引出了两位小数，凸显了百分之一可以写成两位小数。在上面的过程中，学生意义建构了对1/100的认识，意义接受了0.01这个小数。
以“1厘米是1/100米，1/100可以写成0.01”为基础，接着教学“4厘米是4/100米，4/100可以写成0.04”“12厘米是12/100米，12/100可以写成0.12”就不难了。这些改写，先把厘米作单位的长度改写成米作单位的分数，再把分母是100的分数写成两位小数。学生体会了几厘米是百分之几米，百分之几可以写成零点零几或零点几几等两位小数，感受了百分之几的分数与两位小数之间的对应联系，初步体验了两位小数的含义。
在写出0.01、0.04、0.12这些小数以后，教材及时示范它们的读法。应该让学生注意“小数点右边的数只要依次读出每一个数字”。如，0.12只能读作零点一二，不能读成零点十二。
为了及时消化两位小数的知识，例题接着要求看着直尺上的刻度，把7厘米、11厘米分
别写成“米”作单位的分数和小数，再次经历几厘米是百分之几米，可以写成两位小数的过程，继续体验两位小数的意义。7厘米、11厘米的改写与前面4厘米、12厘米的改写一模一样，学生有能力独立改写。回顾反思1厘米、4厘米、7厘米、11厘米、12厘米的改写，能够初步概括出：百分之几的分数可以写成两位小数，两位小数表示百分之几。
第三段围绕“1毫米等于几分之几米？40毫米、105毫米呢”这些问题，教学三位小数。这一段的教学和第二段十分相似，联系进率1米=1000毫米，推理出1毫米是千分之一米，40毫米是千分之四十米，105毫米是千分之一百零五米，由此写出1毫米=1/1000米，40毫米=40/1000米，105毫米=105/1000米。指出1/1000写成小数是0.001，读作零点零零一；40/1000写成小数是0.040，读作零点零四零；105/1000写成小数是0.105，读作零点一零五。这三个分数的改写，表明千分之几的分数可以写成三位小数，进一步示范小数的读法——小数点右边要依次读出每一个数字。尤其是0.001小数点右边的两个“0”应该一个一个地读出来，不能合读一个“零”。例题还要求把3毫米、86毫米、160毫米分别写成米作单位的分数，并改写成小数，让学生充分体会三位小数的意义。教学这一段内容，要利用学习两位小数得到的经验，更多地发挥学生学习的主动性和能动性。
第四段概括小数的意义。回顾三年级下册十分之几分数的改写，以及上面百分之几、千分之几分数的改写，先指出“分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示”揭示了这些特殊的十进分数与小数的关系。再反思具体的改写活动，从一位小数是根据十分之几的分数写成的，理解“一位小数表示十分之几”；从两位小数是根据百分之几的分数写成的，理解“两位小数表示百分之几”；从三位小数是根据千分之几的分数写成的，理解“三位小数表示千分之几”……逐渐揭示了小数的意义。这一段学习是思维的抽象与概括活动，教学语言必须准确、清晰，便于学生接受并内化数学语言，深入理解小数概念的内涵。形成的小数概念很有条理、很有结构，既有些概括，也有点具体，是符合小学生年龄特点的概念表述。
“试一试”分别把1分、5分、7角3分先写成“元”作单位的分数，再写成小数，丰富对两位小数意义的体验。分与元之间的进率是100，所以，“分”作单位的数量改写成“元”作单位的数量，可以采用分母是100的分数，也可以采用两位小数。进行这些改写，能加强“百分之几写成两位小数”的体验，进一步理解两位小数的意义。
“练一练”紧扣小数的意义而设计，数形结合，用正方形（或正方体）表示整数“1”。正方形（或正方体）被平均分成10、100、1000份，可以理解成把整数“1”平均分成10、100、1000份。用分数和小数表示其中的一份或若干份，既是正方形（或正方体）的十分之七、百分之四十三、千分之九，也是整数“1”的十分之七、百分之四十三、千分之九。再次体现了小数与十进分数的关系，使小数概念更加概括、更加抽象，并且初步沟通了小数与整
数的联系。
2. 例2教学小数的数位和相应的计数单位。
整数和小数都使用十进制计数法，四年级已经教学了整数是十进制计数法，本单元例2，教学小数也使用十进制计数法。十进制计数法的本质特征是“相邻两个计数单位间的进率是10”，例2分两步教学这个知识。
首先是教学计数单位和数位。在表示整数“1”的正方形里涂颜色表示0.6和0.06，感受0.6是十分之六，里面有6个0.1；0.06是百分之六，里面有6个0.01，从而明白0.1与0.01都是小数的计数单位。学生已经知道0.1和0.01分别是一位小数和两位小数，分别表示十分之一和百分之一，在此基础上意义接受小数点右边第一位是十分位，计数单位是十分之一；小数点右边第二位是百分位，计数单位是百分之一。同时，继续联想小数点右边第三位是千分位，计数单位是千分之一……
然后是相邻单位之间的进率是10。看看表示整数“1”的正方形，思考“1里面有几个0.1”“0.1里面有几个0.01”这两个问题，借助图形直观，理解1和0.1、0.1和0.01等相邻计数单位之间的进率都是10，并类推出0.01和0.001间的进率也是10，从而形成“每相邻两个小数计数单位间的进率都是10”的认识，把十进制计数法从整数扩展到小数。
这道例题安排的0.6和0.06是两个不同且具可比性的小数，有利于巩固小数的意义，形成新的计数单位和相应的数位。
3. 例3教学小数部分的数位顺序，联系小数的组成理解小数的意义。
在这道例题里，小数的整数部分不再是0，结合写出三百四十四点七二五这个数，分析它的整数部分和小数部分，了解小数的组成；体会小数部分和整数部分的读法不同，掌握读小数的要领。
第一学段初步认识一位小数，已经介绍了小数的整数部分和小数部分，学生已经知道小数点左边是小数的整数部分，右边是小数的小数部分。所以，在给出小数344.725以后，教材提出问题“整数部分是多少？小数部分的7在哪一位上，表示多少？2和5呢？”引导学生分析小数的组成。这些问题应分两段回答，先分别指出这个小数的整数部分与小数部分，再分别说出7、2、5所在的数位，各表示多少。例题不要求分析整数部分的组成，因为这就是整数的组成，学生应该掌握得比较好。分析小数部分的组成是新知识，能整理小数部分的数位顺序以及相应的计数单位，体验小数的意义。分析小数部分的组成，要从十分位开始，依次是百分位、千分位……要说清楚各个数位上的数是几，表示几个怎样的单位。这样的分析与整数的组成很相似，只是数位不同、计数单位不同而已。通过分析能加强对小数部分数位顺序的体验，进一步感受十进制计数法。
小数的读法也是例3的教学内容，尽管前面两道题已经读了几个小数，但学生还没有完全掌握读小数的方法。例3的小数，整数部分不是0，能够体现小数部分的读法与整数部分不同。通常，先读整数部分，再把小数点读成“点”，然后读小数部分；整数部分按照整数的读法读（说出各个数字的计数单位），小数部分只要顺次读出各个数位上的数（不说出计数单位）。
写小数，也要先写整数部分后写小数部分，从高位到低位一位一位地写。应要求学生认真写好小数点，把它写成“小圆点”，位置在整数部分和小数部分的中间，稍偏下一些。
如果从高位到低位，依次说出344.725每个数字所在的数位和表示的计数单位，数位顺序就很自然地形成了。教材把数位顺序表留给学生填写，是考虑到亲自填表比看现成的表格效果会好得多。其中整数部分已经写出的个位和计数单位“一”，能引起对整数数位顺序的回忆，有助于启发他们接着写出十位、百位、千位……及其相应的计数单位。小数部分已经写出的两个数位及计数单位，落实了前面教学的数位知识，继续写出两个数位和计数单位，小学阶段掌握这四个小数的数位就够了。把数位顺序表填写完整以后，要围绕下面两点组织练习：一是数位的排列顺序和各个数位的所在位置。如，顺序表里整数部分的数位从个位起往什么方向依次排列，小数部分的数位呢？又如，小数点右边第一位是什么数位，左边第一位呢？再如，百位和百分位分别是小数点哪边的第几位，计数单位各是多少？二是相邻两个计数单位间的进率。如，1个千是几个百？10个十是几个百？又如，0.1是几个0.01？10个0.001是几个0.01？再如，个位与十分位的计数单位各是什么，进率是几？1里面有几个0.1？10个0.1是多少？
“试一试”和“练一练”里大多数都是两位小数或三位小数，整数部分或者是0，或者不是0。选择这些小数，是为了巩固小数概念以及十进制计数法的知识。8个十分之一、8个百分之一、8个千分之一应该直接写成一位小数、两位小数、三位小数，既应用了小数概念，又加强了对小数意义的体验。三个“8”分别写在不同数位上面，表示不同的计数单位，体现了十进制计数法的位值原则。从高位到低位逐位分析1.45的组成，不仅练习了数位顺序和相应的计数单位，而且体验了这个小数的意义。看图写出2.18、1.04稍难一些，应帮助学生看懂两点：一是每个正方形都表示“1”，2个涂颜色的正方形表示“2”。二是正方形平均分成10份，其中一份或几份表示十分之一或十分之几，可以在十分位上写1或几；正方形平均分成100份，其中一份或几份表示百分之一或百分之几，可以在百分位上写1或几。
练习五配合三道例题的教学，以小数的意义为重点，把小数的读、写知识有机结合进去。习题的设计与编排有三个特点：一是从形象到抽象地写出小数，从说出小数的计数单位到分析小数的组成，有一条渐进的线索。如第1题看数、涂色、写出小数，第5题在没有图形直
观的情况下把分母是10、100、1000的分数与相等的小数联系起来，就是一次直观到抽象的发展。第2题用填空的形式表达小数的意义，第3题直接说出一位、两位、三位小数各表示几分之几，又是一次提升。上述的练习在教学例题时一般都进行过，教材把它们再次有序地组织起来，重温认识小数的过程，有利于学生更好地理解小数的意义。二是联系实际读、写小数，如第6题把厘米、分米、毫米作单位的长度写成米作单位的数量，把分和角作单位的数量写成元作单位的数量，充实对小数意义的理解，生活中经常会遇到这些改写。第8、10两题，在知识与技能训练的同时，体现出小数的现实应用。三是提出有挑战性的要求，激发学习热情，激励数学思考，加强对所学小数知识的理解和掌握。如第7题在数轴上表示出五个小数的位置。要根据小数的意义，把各个小数的组成表达到数轴上面。如，0.5是5个十分之一，它在0与1之间；1.3是一又十分之三，在1与2之间；3.75是3个一、7个十分之一和5个百分之一，在3与4之间。第11题用数字卡片摆出符合要求的小数，要充分考虑小数的构成和读、写要领。能够摆出符合要求的小数，就很好地掌握了小数的读写技能。
（二） 教学小数的基本性质，体验性质的合理性和实际应用
小数的性质是小数概念的重要内容之一。教学小数的性质，能使学生进一步理解小数的意义，还能为进行小数四则计算作必要的知识准备。例4和例5帮助学生理解小数的性质，例6应用小数性质改写小数。
就内容来说，小数的性质并不复杂，应用小数性质化简小数也不难。但是，体验小数性质的必然性和合理性，理解小数末尾添上0或者去掉0，小数的大小为什么不变，却不是很容易的。所以，教材安排两道例题，帮助学生形成小数的性质，并在理解的基础上应用性质改写相关小数。
1. 联系具体事实，体验小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
教材里的小数性质，不是直接给学生的，而是引导学生在数学现象里发现和体验的。这样的体验不是一次两次，而是反复多次，两道例题安排在得出小数性质之前，一些练习题安排在得出小数性质之后。
例4里，铅笔的单价0.3元，橡皮的单价0.30元，要解决的问题是“铅笔和橡皮的单价相等吗？”即“0.3和0.30相等吗？”如果联系购物经验，0.3元和0.30元都是3角，能够得出0.3元=0.30元。如果联系小数的意义，0.3是3个0.1，0.30是30个0.01，在表示整数1的正方形里，能够看到3个0.1等于30个0.01，即0.3=0.30。学生具有上述的经验和知识，在0.3元和0.30元是否相等的问题情境里，会得出相等的结论，初次接触小数末尾多个0与少个0的现象，发现小数的大小没有改变。
例5看图比较0.1米、0.10米和0.100米的大小。根据小数的意义，0.1米是1/10米，
即1分米；0.10米是10/100米，即10厘米，0.100米是100/1000米，即100毫米。由1分米＝10厘米＝100毫米，得到0.1米＝0.10米＝0.100米。又一次接触小数末尾添上0和去掉0的现象，发现小数的大小相等。
回顾例4和例5里的两组等式，都是小数末尾添上0或去掉0，都是小数的大小相等。由此得出“小数末尾添上0或者去掉0，小数大小不变”的规律，总结出小数的基本性质。学生习惯于从左往右观察0.3=0.30和0.1=0.10=0.100，容易看到小数末尾添上0。教学应引导他们继续从右往左观察等式，体会什么是小数末尾去掉0。
“练一练”在数轴上体验小数的性质。因为数轴上表示0.10和0.1的是同一个点，表示0.20和0.2的也是同一个点……这就直观表示出0.10=0.1，0.20=0.2……再次表明了小数的性质。练习六第7题，在数轴上表示0.4和0.04的点不重合，表明这两个数不相等。因为添上或去掉的0不在小数的末尾。
如果按数位和计数单位分析小数的组成，也能理解小数的性质。如，0.1、0.10、0.100的“1”都在十分位上，都是1个十分之一，这三个数应该相等。又如，4.30是4个一和3个十分之一，4.300也是4个一和3个十分之一，4.30和4.300应该相等。再如0.4是4个十分之一，0.04是4个百分之一，它们不相等。这样的推理看似简单，其实相当抽象，不如联系具体的数量和表示小数意义的图形那么容易理解。当然，选择适当机会进行一些这样的推理，对深刻理解小数性质还是有好处的。
2. 例6为进一步理解小数性质和初步应用小数性质而编排，着力对小数“末尾”的体验。
情境中的食品价钱都是以“元”作单位的小数，各个小数里都有“0”，有些“0”在小数的末尾，有些“0”不在小数的末尾。判断“哪些0可以去掉”，有助于准确理解和掌握小数“末尾”的含义。在这道例题中还能体验，去掉小数末尾的“0”，非0数字所在的数位不变，因而不改变小数的组成，不改变小数的大小。如果去掉小数中间的“0”，非0数字所在数位发生变化，这就改变了小数的组成，小数的大小随着也就变了。如2.80末尾的0可以去掉，2.80元是2元8角，2.8元也是2元8角；2.80是2个一和8个十分之一，2.8也是2个一和8个十分之一。3.05中间的0不能去掉，3.05元是3元5分，3.5元是3元5角；前面那个小数是3个一和5个百分之一，后面那个小数是3个一和5个十分之一。通过这些分析，确信小数的性质是合理的，清楚地知道小数末尾可以添上或去掉0，小数的中间不能随意添上或去掉0。
例6的最后指出“根据小数的性质，通常可以去掉小数末尾的0，把小数化简”，这一点在以后的小数四则运算中会经常使用。“试一试”把给出的一位小数、两位小数和整数分别改写成三位小数，让学生熟悉小数性质的另一侧面，学会在小数末尾添上0，这在以后解决问
题时会有所应用。教学“试一试”应鼓励学生独立思考，自己解决问题。在改写以后，还要抓住三点组织讨论：一是改写小数应用了什么知识，二是为什么各个数的末尾添上“0”的个数不同，三是怎样把整数改写成小数。
（三） 比较小数的大小，淡化统一的法则，鼓励有个性的思考
前面各册教科书教学的比较整数大小的方法，有些也可以应用于比较小数的大小，有些需要在认识上作些必要的调整。如在整数中，位数多的数一定比位数少的数大（四位数一定大于三位数），而在小数中未必一定如此（三位小数不一定小于四位小数）。因此，从比较整数的大小到比较小数的大小，不是单纯的认知同化和方法迁移，而是既有承前的一面，又有发展的一面。以前教学比较整数的大小，没有总结统一的法则，学生可以应用整数的计数知识，或者凭数感作出判断。现在把比较小数的大小作为小数概念教学的一部分，比较时的思考要根据小数意义而展开，并通过比较小数的大小充实小数的概念，进一步发展数感。因此，教材不强调用统一的比较方法。这部分教材设计成两个层次。
1. 详细地展开比较的过程，允许方法多样。
这个层次是例7及其“试一试”和“练一练”，其中有一位小数和两位小数的比较，有两位小数和两位小数的比较，有两位小数和三位小数的比较。还有整数部分是0的小数的比较；整数部分不是0的小数的比较。例7从比较两件文具用品的单价问题抽象出比较两个小数0.6和0.48谁大谁小的数学问题。这两个小数的整数部分都是0，十分位上的数不同，容易比较它们的大小。教材鼓励学生按自己的思路去比：可以联系实际数量，比较0.6元和0.48元的大小；也可以应用小数性质，把0.6和0.48变成相同计数单位的数0.60和0.48，比较它们含有单位的个数。喜欢形象思维的可以在相同的正方形里分别表示出0.6和0.48，看哪一个图形大些；善于抽象思考的可以从0.6大于5个十分之一，0.48小于5个十分之一，看出哪个数大些。如果学生还有其他方法，也是允许的。各人使用的具体方法虽然不同，但本质上都是根据小数意义思考的。在比较大小的过程中，小数的概念得到了加强。“试一试”比较整数部分不是0的两个小数的大小，比较整数部分与十分位上的数分别相同的两个小数的大小。也要让学生独立思考、交流想法，并逐渐提高抽象水平和数学化程度。总之，比较小数的大小，方法不是教师和教材直接告诉学生的，而是他们自己建构的。
2. 整理思考过程，掌握比较大小的要领。
经过例7和“试一试”的教学，教材问学生“怎样比较小数的大小？”引导他们整理比较小数大小的各种思考方法，把比较整数大小的一些思想方法有效地迁移到比较小数大小上面来。这些方法主要是：按数位顺序，利用小数的组成，从高位往低位依次逐位比较。整数部分大的那个小数比较大；整数部分相同，十分位上的数大的那个小数比较大……教材还通
过练习题的设计安排，引导学生积累比较大小的经验。练习六第6、7两题，既利用图形直观，也利用数的组成进行比较，体验比较小数大小的方法及其原理。在看图写出的0.41和0.45、0.9和0.87中，十分位上的数大的那个小数比较大；十分位上的数相同，百分位上的数大的那个小数比较大。第8、9两题没有图形直观，要求直接比较小数的大小，抽象思考的成分多了。第10题在7.31＞□.4的方框里填数，通过填出0、1、2、3、4、5、6等数体验：两个小数中，整数部分大的那个数就大。在0.542＜0.5□3的方框里填数，可能首先想到填5、6、7、8、9，于是体验了：如果两个小数的整数部分相同，十分位上的数也相同，百分位上数小的那个小数比较小。还会继续想到方框里可以填4，把刚才的体验又推进了一步：如果整数部分、十分位、百分位上的数都分别相同，应该比千分位上的数。第11、12两题把六个小数按大小次序排列，从中能反复体会比较大小的要领，积累经验，掌握比较小数大小的一般性方法。
（四） 联系已有的知识，教学改写较大整数和求小数的近似数
学生已经能把整亿、整万的数改写成用“亿”或“万”作单位的数，初步学会了用“四舍五入”的方法求较大整数的近似数。体会这些改写和求近似数的方法，方便了读数与写数，有助于理解较大数的意义，加强了数的实际应用。本单元的例8把非整万、非整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的小数，例9求小数的近似数。这些新知识和旧知识有密切联系，学生已有的改写较大整数的经验和求近似数的方法，都可以应用于新知识的学习中。当然，新旧知识也有不同的地方，在改变非整万、非整亿数的单位和求小数近似数时，需要应用小数的意义与性质。教材的编写既充分利用已有的知识经验，又注意到新旧知识的一些不同。
1. 改写较大的整数，先教学基本的思路与方法，再教学特殊情况的处理。
例8以月地、日地之间的平均距离为教学素材，出现的较大整数都是有意义的数。
其意义在于学生感兴趣，能丰富他们的科学知识。而且能感到这些较大的整数，读、写都不太方便，乐意改变这些数的单位，以简化读、写方法。教学分三个层次进行。第一个层次把384400改写成用“万”作单位的数，着力教学改写的思路，并初步得出改写的方法。384400是一个较大的数，通过读数能够知道它是38个万和4400个一组成的数。所以，用“万”作单位表示这个数，“38”应该是整数部分里的数，“4400”应该是小数部分里的数。这是比较抽象的推理，对学生来说可能有点难。还可以从384400比38万大、比39万小，来理解这个数改写成以“万”作单位的数只能是个小数，整数部分只能是“38”。教材给384400里的“4400”和38.44里的“44”加上同样的色块，显示了上面所说的思考过程，从而得出改写的关键一步：在万位的右边点上小数点。至于改写后的数要写出单位“万”，以及根据小数性质化简，都是学生能够解决的，教材不再过多强调了。第二个层次是把149600000改写成用“亿”作
单位的数，在上一层次“扶”的基础上，采取了“放”的策略，鼓励学生独立完成改写。教材只是通过问题“在哪一位的右边点上小数点？”引起学生思考，组织他们讨论，整理出改写的思路，体会改写方法的要领。教学要让学生开展像例题那样的思考，还要组织改写成以“万”作单位和“亿”作单位的比较，找到它们的相同点与不同点，帮助学生全面掌握改写数的方法。第三个层次是“试一试”，把57910000改写成“亿”作单位的数。写出的小数的整数部分是0，这是改写数经常会遇到的特殊情况。教材让学生在改写中遇到矛盾并自己想办法解决，可以引导他们从两个角度去体会：一是这个数比1亿小，改写成“亿”作单位的数，整数部分只能是0。二是这个数的最高位是千万位，在亿位的右边点上小数点，缺少整数部分，应该用“0”补足，使小数完整。
2. 求小数的近似数，教学的着力点放在理解精确度上。
学生已经会求整数的近似数，并初步能使用“四舍五入”法。例9的教学内容主要包括三点：第一点弄懂“精确到十分位”的意思。“玉米”卡通告诉学生“精确到十分位就是保留一位小数”，让他们联系有关的小数概念，体会这个精确程度，并根据保留一位小数的要求确定近似数。第二点理解“精确到百分位”的意思，采用类似的教学方法，让学生思考“精确到百分位要保留几位小数？应该看小数部分的哪一位？”然后用“四舍五入”法写出1.496的近似数。教材在尾数的最高位上加色块，突出保留两位小数，应该由千分位上的数，决定“四舍”或“五入”。第三点教学内容是，近似数1.5和1.50“哪一个更精确一些”，继续体会精确程度。1.5保留一位小数，精确到十分位；1.50保留两位小数，精确到百分位。虽然1.5和1.50从小数性质的角度上看，是大小相等的。但是，在精确度上看，它们的精确程度不同。所以，1.50作为1.496精确到百分位的近似数，它末尾的0不能去掉。小学数学求小数的近似数，一般精确到十分位或百分位。解决实际问题，如果遇到精确到千分位的要求，学生也会恰当处理的。
练习七着重于大数的改写和求小数的近似数，有两点需要注意：一是在现实的数据中进行练习。第1~4题呈现的大数有台湾岛的面积数、新疆维吾尔自治区的面积数、我国壮族的人口数，亚洲、大洋洲、太平洋、北冰洋的面积数……这些具体素材不仅让呈现的大数更有意义，而且能体现改写大数与求近似数的实际应用价值。教学时，可以分别读写改写前、后的数，分别读写精确数及其近似数，从中体会改写大数和求近似数简化了数的读写，方便了表达和交流。学生体会到改写和求近似数的应用价值，掌握了改写和求近似数的方法，就能在适当场合恰当使用改写和求近似数的知识，他们的数感也会随之有所发展。二是把改写大数和求近似数结合起来应用。第7、8两题都既要改写大数，又要求近似数，是两个知识的结合，两种方法的综合，现实生活中经常需要这样做。人们一般先把非整万、非整亿的数改写
成用“万”或“亿”作单位的小数，再按要求保留适当的小数位数，求出小数的近似数。如324000先改写成32.4万，再得出近似数32万。应该让学生体验这种次序的合理性和可操作性，自觉按这种次序解决问题。
《小数加法和减法》教材分析
在本单元之前，学生已经掌握了整数的加、减法，还能计算一位小数的加法和减法。本单元继续教学小数的加法和减法，主要包括两部分内容：笔算以及用计算器计算。
小数加、减法是小学数学的基础知识，继续学习数学和解决实际问题都经常会用到。小学数学里，不是很繁的小数加、减法，一般用笔算。较繁的加、减法，提倡用计算器计算。在掌握笔算的基础上，简单的小数加、减法计算，可以不写竖式，直接说出或写出得数。
小数加、减法的意义和整数加、减法相同。结合加、减计算，编排一些实际问题让学生利用小数加、减法的知识解答，可以加强加、减法的概念，更好地掌握常用数量关系。全单元编排三道例题，具体安排见下表：
例1笔算小数加、减法（被减数的小数位数比减数多）
例2笔算小数减法（被减数的小数位数比减数少）
例3用计算器计算小数加、减法
从表格里可以看到，小数加法和减法是结合着一起教学的，这是由于加、减法的计算有许多相近的地方。如，怎样写竖式、按怎样的次序计算、怎样在结果里点出小数点、怎样化简得数等。把加法和减法结合起来教学，能发挥知识联系的作用，提高效率。加、减法相结合，还能体现减法是加法的逆运算，有利于整数加、减法的意义扩展到小数的加、减法上。
从表格里还能看到，教学小数减法编排两道例题，比小数加法的例题多。这是因为小数减法的情况比加法复杂，如果被减数和减数的小数位数同样多，或者被减数的小数位数比减数多，计算会比较顺当。如果被减数的小数位数比减数少，则容易发生计算错误。所以，教材对小数减法的教学安排比较细致。多的一道例题，专门针对计算难点。
本单元先教学笔算，它是全单元的重点，是学生必须获得的基础知识、必须形成的基本技能。再教学用计算器计算小数加、减法，能避免繁琐的笔算，提升计算能力。
（一） 因势利导，设计算法的探究过程；由表及里，促进算法的完善发展
小数加减法的计算和整数加、减法的计算，原理是一致的，都是相同计数单位的个数相加减。所不同的是整数加、减法的竖式只要把右边末位对齐，就做到了相同数位对齐，而小数加、减法的竖式要把小数点对齐才能使相同数位对齐。正因为如此，整数加、减法的对位方法对小数加、减法的对位既有正迁移的作用，也有负迁移的影响。学生虽然在三年级学过
一位小数的加、减法，但由于参加运算的都是一位小数，他们只是不自觉地做到了小数点到齐，并没有理解小数点对齐的道理，更没有形成小数点对齐的习惯。本单元的例1和“试一试”创设购买学习用品的问题情境，营造认知冲突，因势利导，引导学生逐步构建小数加法和减法的计算法则，并在“练一练”里加强对算法的体验。
1. 例1要解决的主要问题是，列加、减法的竖式，应该把小数点对齐。
这道例题，先在小数加法中理解“小数点对齐”的道理，再向小数减法扩展。教学“把小数点对齐”不是教材或教师直接告诉学生，规定他们这样做，而是学生联系已有经验，在解决实际问题时自觉这样做，体验应该这样做。小丽买1本笔记本用3.4元，小明买1个讲义夹用4.75元，求小明和小丽一共用了多少元。这是计算两位小数加一位小数，教材让学生试着列竖式，预计会有两种情况出现。一种像“萝卜”卡通那样，把两个加数的小数点对齐着列。另一种像“辣椒”卡通那样，把两个加数的末位对齐着列。思辨列出的两个竖式“哪一种算法正确”，不是凭“小数点有没有对齐”来评判，而是联系已有的经验，分析和体会哪种算法正确，研究要不要把小数点对齐。可以结合具体数量来体会：4.75元是4元7角5分，3.4元是3元4角，4.75+3.4是4元7角5分加3元4角，写竖式把表示“元”“角”“分”的数分别对齐着写，就便于相加。也可以联系小数的意义进行分析，4.75是4个一、7个十分之一和5个百分之一，3.4是3个一和4个十分之一，根据整数加法的经验，把相同计数单位的数对齐着列竖式，最便于计算。把相同数位上的数对齐，就把小数点对齐了。反之，把小数点对齐就能把相同计数单位的数对齐，也就是相同数位上的数对齐了。还可以通过估算作出判断，4元多加3元多是7元多，显然得数5.09是错的，算出5.09的那个竖式肯定不正确。学生通过上面的思考和交流，就理解了算理，并形成如下共识：要把小数点对齐着计算。
求小明和小丽一共用了多少元的计算中，还有一点也应该引起注意：十分位上的数相加满10，要向个位进1。这一点可以从“10个0.1是1”得到解释，使小数部分相加与整数部分相加衔接起来。例1的第二个问题是小明比小丽多用多少元，把教学内容从小数加法扩展到小数减法，学生完全有能力解决。教材让学生独立列竖式计算，进一步体验“把小数点对齐着计算”的算理，并内化算法。教学这个问题，要注意两点：一是突出竖式怎样写，加强对算理的理解。二是竖式的百分位上应该用几减几，可以怎样想。从而为例2的教学作些铺垫。
2. “试一试”主要教学如果和与差的末尾有“0”，应该及时化简。
求小明和小芳一共用了多少元、小芳比小明少用多少元，都要列竖式计算。“试一试”的第一个教学任务是巩固“小数点对齐”这个必须遵循的计算规则，学生独立进行竖式计算就
达到了这个教学目的。第二个教学任务是化简计算结果。小明和小芳一共用了7.40元，小芳比小明少用2.10元，和与差都是末尾有“0”的小数。在教学小数的性质时，教材曾经指出：根据小数的性质，通常可以去掉小数末尾的“0”，把小数化简。现在要应用小数的性质化简计算的结果。教学应注意两点：第一，计算的结果，如果没有把小数末尾的“0”去掉，计算仍是正确的，不能仅因没有把小数化简而判定计算错误；第二，要引导学生自觉应用小数性质，把得数里小数末尾的“0”去掉。一般在竖式上把小数末尾的“0”逐个划掉，写算式得数和回答问题，都用化简以后的小数。
3. 反思算法，构建计算法则。
在例1和“试一试”里，学生进行了几次小数加法和小数减法计算，初步知道了小数加、减法的笔算应该怎样进行，还知道了计算结果能化简的要化简。这些都是在探索过程中的体验，内心深处所具有的算法。在此基础上，总结算法，得出计算法则是很自然的事情。“试一试”后面的两个问题“小数加、减法与整数加、减法在计算时有什么相同的地方？”“计算小数加、减法要注意什么？”不是简单回忆“是怎样”和“要怎样”的问题，而是从“相同计数单位的数直接相加”的高度认识“小数点对齐”的必要性，把整数加、减法的计算法则扩展到小数加、减法，形成更加概括、更加上位的计算法则，并进一步加强理解和应用。至于计算的结果要根据小数性质化简，是小数计算的个性特点，与整数计算不同。应该再一次引起学生的注意，并把它作为小数加、减法计算法则的补充内容。尽管教材没有呈现小数加、减法的计算法则，事实上法则已经存在于两道题目的算法里面，存在于学生的认知结构里了。学生经过努力，形成计算法则就是他们的创造，有利于以后的计算，也培养了抽象与概括的能力。
“练一练”在已经写出的竖式上计算，着重于从最低位算起，像整数加、减法那样进位和退位，得数里也应该“对齐着”点出小数点。其中24加9.9是整数加小数，也应该遵循小数加法的法则。可以让学生看一看、想一想，竖式是怎样列的，小数点对齐没有，并想想为什么。7.56减4.56的差化简后是整数，可以让学生说一说应该怎样化简，为什么化简成整数。
（二） 集中力量突破计算的难点，允许选择适宜自己的书写形式
计算小数减法，如果被减数小数部分的位数比减数小数部分的位数少，容易发生错误。教材把这种情况视为计算的难点，编排例2加以解决。其实，这个问题在前面的计算里已经有了铺垫，现在只是再突出一下而已。
1. 在例1和“练一练”里提前铺垫。
例1里已经出现了两个加数的小数部分位数不同样多、被减数的小数位数比减数多的情
况。竖式计算4.75+3.4，百分位上不是把“5”移下去，而是算5+0=5（5个百分之一加0得5个百分之一），“0”是根据小数性质在3.4的末尾添上的。同样，4.75-3.4的百分位上是算5-0=5，也是应用小数性质，在3.4的末尾添上“0”。这些可以添上的“0”，使两个加数的小数位数，或者使被减数和减数的小数位数相同，方便了计算。不过，多数人把这些添上的0，只是想在头脑里，并不写出来。类似的情况在例1的“练一练”和练习八第2题里也出现了。如果教学能够注意到这些，就已经为例2作了很好的铺垫。
2. 在例2和“试一试”里集中力量突破难点。
例2的竖式里，被减数3.4的末尾有一个红色的“0”，并加了虚线框。这个“0”不是一开始就写出来的，是在计算时添上的。在3.4-2.65的竖式上，被减数百分位上空着。这一位上是几减几？由此联想小数性质，可以在3.4的百分位上添“0”。写出了这个“0”，百分位上怎样算就清楚了，整数减法的退位经验会很自然地迁移过来。教材把“0”加红色，意在把教学精力集中到这个“0”上，着重解决两个问题：这个“0”是哪里来的？这个“0”对计算起什么作用？把“0”套上虚线框的意思是，一般不写出来，只要把它想在头脑里。这是对多数学生的一种要求。至于少数计算能力较弱的学生，允许他们把这个“0”写出来，能降低思考难度，避免算错。
“试一试”计算8-2.65，这是整数减两位小数，计算难度比例2更大些。让学生独立计算，可以巩固在例2里学到的技巧。“玉米”卡通的提问“被减数的十分位和百分位上都可以看作几？为什么？”一方面给学生启示，另一方面还引导他们联系计算出现的特殊情况以及小数性质作出解释。如果有些学生要把被减数十分位和百分位上的“0”写出来，应指导他们先在被减数个位的右下方点上小数点，再在小数的末尾添“0”。
例2的“练一练”里，各题的被减数小数位数都比减数少，能帮助学生巩固和掌握新知识。练习八第4题列举学生可能发生的错误案例，引导他们进行思辨和改正，从另一个角度加强了新知识的教学。
练习八第1题直接写出小数加、减法的得数，是在掌握笔算的基础上进行的。通过直接写出得数，能够更好地掌握小数加、减法的计算法则。直接写出得数的小数加、减法计算，要和整数加、减法的口算相衔接。即，如果不考虑小数点，加、减法一般是两位数加（减）一位数、整十数或两位数等口算。
3. 验算小数加、减法。
提出验算小数加、减法的要求，能促进验算整数加、减法的经验向新的情境迁移，进一步体会加、减法的内在联系。例2指出“小数加、减法的验算方法与整数相同”，学生就可以像整数加、减法那样检验小数加、减法的计算结果。通常，验算加法，调换两个加数的位置
再加一遍，看两次的结果是不是相同。验算减法，把差与减数相加，看是不是等于被减数。学生在三、四年级又知道了“和-一个加数＝另一个加数”“被减数-差=减数”，所以验算小数加、减法的方法有可能多样。但是，一般应提倡用加法检验加法，用加法检验减法。在教学验算小数加、减法时，如果先回忆整数加、减法的验算，效果可能会更好些。
（三） 使用计算器计算稍复杂的小数加、减法，体会使用计算工具的方便和快捷
课程标准要求学生“会进行简单的小数四则运算”。所谓简单的小数加、减法，一般和整数的三位数加、减法相衔接。也就是说，如果不考虑小数点，小数加、减法的计算相当于整数的三位数加、减三位数（或两位数）。如果遇到稍复杂的小数加、减法，则可以使用计算器。
例3用计算器计算小数加、减法和小数加、减混合运算。教学过程大致分成两段：第一段把小数输入计算器。教材以0.8为例，让学生在操作计算器的活动中，试着往计算器里输入小数，体会输入小数的方法和输入整数的方法基本相同，只要多按一个小数点的键。第二段用计算器算出铅笔、电池等五种物品的总价以及付出100元应该找回的钱数。算总价是计算小数连加法，算找回的钱是计算小数减法，列综合算式求找回的钱是计算小数加、减混合运算。学生通过解决这些问题，学会用计算器计算小数加、减法，感受用计算器计算比笔算方便得多。用计算器进行小数四则运算，关键是正确输入数据。因此，不宜提出过高的速度要求，要提倡细心和耐心，防止输入错误的数据。
例3的“练一练”里都是稍复杂的小数加、减法和混合运算，这些题没有笔算要求，只要求用计算器计算。
练习九编排了两部分内容：一是第1~4题，让学生用计算器计算小数加、减法；二是第5~10题，是全单元知识的综合练习。
第1题里的计算都是笔算范围的计算，要先笔算，再计算器计算，一方面熟练两个形式计算，另一方面有相互验算的作用。第2题填写家庭收支情况表，相当于记录家庭的经济账目，应指导学生看懂表格里的各个栏目，联系常见数量关系，讨论收入经费以后的“金额”算法，以及支出经费以后的“金额”算法。第3题是探索规律，要求学生根据算出的前三道算式的得数，直接写出第四道算式的得数。可以引导学生体会，0.9+0.99的得数比2少0.11；0.9+0.99+0.999的得数比3少0.111；0.9+0.99+0.999+0.9999的得数比4少0.1111……发现这个规律，能简化每一个算式的计算，把两个数、三个数、四个数……的加法转化成两个数的减法。
《小数乘法和除法》教材分析
本单元接着小数加、减法，继续教学小数乘法和除法，在编排上是很顺的。我们知道，
整数的乘法和除法是分开教学的，这是因为乘法和除法是两种不同的运算，它们的意义不同、竖式不同、算法不同，分开教学有利于突出重点、分散难点，便于学生学习。本单元把小数乘法与除法编排在一个单元里，交叉着教学，是因为学生已经掌握了整数乘、除法的知识技能。在整数乘法和除法的基础上计算小数乘、除法，只是多了小数点的处理这个“新成分”。乘法和除法合编一个单元教学，可以充分利用学生已有的知识经验，突出处理小数点的原理和方法，还可以体现小数乘法和除法的内在关系。全单元一共编排十三道例题，具体安排见下表：
例1小数和整数相乘
例2一个数乘10、100、1000……
小数点向右移动引起小数的大小变化
例3把高级单位的名数化成低级单位的名数
例4小数除以整数
例5一个数除以10、100、1000……
小数点向左移动引起小数的大小变化
例6把低级单位的名数聚成高级单位的名数
例7、例8小数乘小数
例9求积的近似数
例10、例11小数除以小数
例12求商的近似数
例13解决实际问题时求商的近似数
例14小数四则混合运算顺序
加法和乘法的运算律在小数中同样适用练习十四单元整理与练习从上表里可以看出，全单元内容分成两部分，前一部分是小数乘法和除法，后一部分是小数四则混合运算。这样编排是很自然的，必须先学会小数的四则计算，才能进行四则混合运算。小数乘法和除法的教学又分成两段安排，先是小数与整数的运算，包括小数乘整数和小数除以整数，这些计算与整数乘法和除法最为接近，有利于初步形成小数乘、除的计算方法。然后是小数与小数的运算，有小数乘小数和小数除以小数，帮助学生形成完整的小数乘法和除法的计算法则。每一段教学又分成两块，一块教学小数乘法，另一块教学小数除法，而且每段的两块对称着编排。乘法里有小数点向右移动与名数的化法，除法里有小数点向左移动和名数的聚法；乘法里有求积的近似数，除法里有求商的近似数。这样有明显结构特征的编排，有利于认知方式和方法的迁移，有助于建立新的认知结构。
小数和整数相乘只编排一道例题，小数乘小数编排两道例题；小数除以整数只编排一道例题，小数除以小数也编排两道例题。这是因为小数乘整数、小数除以整数的小数点的处理比较容易，而小数乘小数、小数除以小数的小数点处理比较复杂。例题的编排完全是出于教学的需要，是为了有利于学生掌握知识、形成技能。
小数乘法和除法以笔算为重点，也适当安排口算、估算和用计算器计算。口算在掌握笔算以后进行，直接说出比较容易的小数乘、除法算式的得数，巩固处理小数点的方法与技巧，也方便解决实际问题。估算用于解决实际问题，在不要求或不需要精确得数的情况下，能代替笔算，减少计算的麻烦。计算器用于较复杂的小数乘、除法，以及探索规律。
小数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算相同，整数加法和乘法的运算律完全适合小数加法和乘法。所以，教学例14可用的资源十分丰富，学生学习的主动性、能动性可以充分发挥作用，学习方式可以大力改进。教材把混合运算顺序和运算律的应用结合起来教学，目的是使按运算顺序的计算与应用运算律的简便计算有机融合，提高学生的运算能力。结合小数四则混合运算，在练习里安排了两、三步计算的实际问题，数量关系和整数问题是一致的，学生能够分析和解答。如果学生主动列出综合算式，应该鼓励。如果分步列式解答，也是允许的。
（一） 教学小数乘整数和小数除以整数，体会它们与整数乘、除法在算法上的联系，初步了解积、商里小数点的位置
在整数乘、除法的基础上计算小数乘、除法，关键是处理小数点。怎样在积或商里正确地点上小数点，是例1和例4的教学重点。教材在解决实际问题的计算活动中，研究积、商里小数点位置的规律，构建小数乘整数和小数除以整数的算法。
1. 写竖式、算竖式、研究积里的小数位数，是例1设计的三项教学活动。
例题没有把小数乘整数的算法直接告诉学生，而是安排他们探索算法，体会小数乘整数可以像整数乘法那样用竖式计算，只要在积里点上小数点。
例1从“夏天每千克西瓜卖0.8元，买3千克西瓜要多少元”这个实际问题引出新知识，这是求几个相同加数和的问题，根据已有的乘法概念，可以列出算式0.8×3或3×0.8。学生首次遇到小数乘法，还不知道怎样乘，搜索相关的知识经验，一般会有两条思路：一条是把3个0.8连加，用加法代替乘法；另一条把0.8元看成8角，使小数乘法变成整数乘法。这两种方法都是小数乘整数的认知平台：从3个0.8连加的和是2.4，可以推出0.8乘3的积是2.4，感受0.8乘3的计算与8乘3很接近，只是计算中多了小数点；从3个8角是2.4元，也能得出0.8乘3的积是2.4，感受小数乘整数可以借助整数乘法，只要在计算中添上小数点。
教材写出了0.8×3的竖式，让学生整体感知它。初步看到小数乘整数也可以用竖式计算，竖式的形式和整数乘法很接近；由于一个乘数是小数，积也是小数。例题用旁注指出0.8是“8个十分之一”，计算0.8乘3就可以看成8个十分之一乘3，得到24个十分之一；24个十分之一是2.4，0.8乘3的积是2.4。这样的思考过程，体现了小数乘整数的算法：把小数乘法看成整数乘法计算，在积里点上小数点。
例题继续解答“冬天每千克西瓜卖2.35元，买3千克西瓜要多少元”的问题，先用连加竖式计算，再写出乘法竖式的积，探索小数乘整数的笔算方法。先用加法算，再用乘法算，是借助加法探索乘法。计算加法从最低位起，一位一位地依次算，并向相邻的高位进位，和里要点上小数点。这些步骤与方法，能启示乘法计算，小数乘法也要从最低位开始，一位一位依次算，也要向相邻的高位进位，积里也要点上小数点。例题引导学生把2.35看成235个百分之一，把2.35乘3看成235个百分之一乘3（即把小数乘整数看成整数乘整数），得到705个百分之一，写成7.05（即在积里点上小数点），经历计算小数乘整数的全过程。另外，用加法可以验证乘法，两种算法结果相同，表明乘法的得数正确、过程合理、方法有效，从而增强学习小数乘法的信心。
通过例1的教学，学生初步知道小数乘整数可以像整数乘法那样计算，积里应该点上小数点。“试一试”着重教学怎样在积里点小数点。首先用计算器计算三道小数和整数相乘的题。这里用计算器计算有两个原因：一是学生还没有真正学会小数乘法，还不能独立用竖式笔算；二是节省教学时间，便于集中精力于小数点的处理上面，避免计算错误干扰新知识的学习。然后“看看积和乘数的小数位数有什么关系”，逐题观察研究，发现积里的小数位数和乘数里的小数位数相同，即乘数有几位小数，积也有几位小数。“玉米”卡通要求说说“小数和整数相乘怎样计算”，引导学生从具体的计算里概括出有普遍意义的算法。这里的算法主要是两点：一是小数乘整数可以像整数乘法那样列竖式计算，二是积里小数点的位置，由乘数的小数位数来确定。学生计算小数加、减法，习惯于“小数点对齐”，在小数乘整数的竖式里，积的小数点也和乘数的小数点对齐着，这个现象有可能引起认识的负迁移，使学生错误地认为积的小数点应该对齐着乘数的小数点。教学一定要防止这种负迁移，突出积的小数点是根据乘数有几位小数而点出的。“练一练”第1题根据已经算出得数的整数乘法，写出三道有关的小数乘整数的积，专项练习在积里点小数点的方法，根据乘数是几位小数，在积的适当位置点出小数点。第2题完成四道小数乘整数的竖式计算，消化在例题里习得的算法，教学仍然要把力量放在积的小数点的位置上。
2. 教学小数除以整数，通过三次计算，教学三个知识。
和整数除法相比，小数除以整数有三点不同：一是商里有小数点，二是最后余下的数要
在末尾添0继续除，三是整数部分（商的最高位）可能是0。例4教学这三点知识，帮助学生理解除法竖式的每一步计算，懂得商的小数点应该和被除数的小数点对齐；明白在余数末尾添“0”继续除的道理，形成添0继续除的习惯；体会有些除法的商的整数部分是0，不能漏写这些除法的商的整数部分。
例题仍然以买东西为题材，因为它容易激活已有的经验，有助于领悟算法。
前后一共提出三个实际问题，教学的三个除法竖式，各有重点内容。把三个竖式分别教学的除法知识综合起来，就是小数除以整数的计算法则。
第一个问题是已知3千克苹果的总价9.6元，求每千克苹果多少元，算式是9.6÷3。学生第一次遇到小数除以整数，容易想到的方法是把9.6元看成96角，这就把小数除法当成整数除法，得到的商32角回归成3元2角，相当于在“32”里点上小数点。还可能想到9.6元是9元和6角，于是分步计算出结果，即9元除以3商3元、6角除以3商2角、3元与2角合起来是3元2角。这三步计算与9.6除以3的笔算过程完全一致。所以说，这些算法都是接受小数除以整数的认知基础，有助于理解例题已经写出的竖式。明白9.6÷3需要分两步除，以及每一步算的是什么，以此回答“豆荚”卡通提出的问题“商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐”这个问题时，就可以根据小数的组成，从9个一和6个0.1除以3，得到3个一和2个0.1，进行推理。于是，初步理解小数除以整数的基本算法：像整数除法那样列竖式计算，商的小数点和被除数的小数点对齐着写。
第二个问题是已知5千克香蕉的总价12元，求每千克香蕉多少元，算式12÷5是整数除以整数。在整数除法中，得出商的个位上的数以后，被除数剩下不够商1的部分作为余数，不再继续除了。然而，解决求每千克香蕉多少元的实际问题，余数“2元”还要化成“20角”继续除。相应的小数除法，余数2（个一）可以化成20个十分之一继续除。事实上，12÷5的被除数虽然是整数，如果利用小数性质改写成12.0÷5，整数除法就变成小数除以整数，和前一个问题教学的除法接轨，余下的2添0后继续除下去，就理所当然了。例题先在商的个位的右下角点上小数点，再在余数“2”的右边添一个0，让学生明白这里在应用小数的性质，除法还要继续进行。又通过“20”表示20个十分之一，除以5商4个十分之一，既清楚了“4”在商里的位置，又突出了在商里及时点上小数点的必要性。
第三个问题是已知6千克橘子的总价5.7元，求每千克橘子多少元，计算5.7÷6。这道题的商比1小（整数部分是0），可以从“总价5元多，数量6千克，每千克单价不满1元”来体会。教学重点在于“应该在商的整数部分写0”，如果不写这个0，商就缺少整数部分，不是一个完整的小数。如果更数学化地思辨商的整数部分是0，那就是由于被除数整数部分的“5”比除数6小，不够商1的缘故。计算5.7÷6，在十分位上商“9”以后，余下的3个
十分之一要转化成30个百分之一继续除，发展了“在余下的数的后面添上0继续除”的认识。例题让学生尝试着用竖式计算，逐渐接触上述的内容，妥善处理这些情况。
例题还要求根据“单价×数量=总价”验算三道题的除法计算。安排验算有两层意思：一是小数除以整数是新知识，想到的算法是不是正确，需要检验，这是应有的科学态度与作风。二是把整数乘法可以验算除法，扩展到小数乘法也可以验算小数除法，体现了小数乘、除法的内在联系。
例题的最后要求说说“除数是整数的小数除法，可以怎样计算”，帮助学生归纳解决三个实际问题时三次除法的计算要点：一是小数除法可以像整数除法那样笔算，商里的小数点应和被除数的小数点对齐；二是除到被除数的末位还有余下的数，应该在小数末尾添0继续除下去；三是如果被除数的整数部分比除数小，商小于1，整数部分必须写0。按这些计算要点完成“练一练”里的笔算，就能初步掌握小数除以整数的算法。教材希望学生用自己的语言说出这些计算要点，不主张他们机械记忆文本化的法则。
（二） 通过归纳推理，认识一个数乘或除以10、100、1000……的计算规律
例2和例5分别教学一个数乘10、100、1000……和一个数除以10、100、1000……引导学生通过移动小数点的位置得出结果。这些内容不仅是口算，还是以后探索小数乘小数和小数除以小数算法不可缺少的知识。两道例题设计了相似的教学方法与教学活动，教学过程都分四步进行。
第一步，初步感知。全体学生研究相同的对象，先用计算器计算5.04×10、100、1000的积和21.5÷10、100、1000的商，再比较各道算式中的乘数与积或者被除数与商，看看小数点位置的变化情况。让全体学生研究相同的算式，出于三点考虑：一是便于对学生说清楚算什么、怎样算以及通过计算研究什么，从而知道学习内容和任务。二是便于学生对共同的计算相互交流、相互评价、相互补充，明白小数点位置变化包括它移动的方向和移动的位数这两个要素。三是初步发现5.04×10、100、1000，小数点位置移动的方向相同，移动的位数不同。21.5÷10、100、1000，小数点位置移动也是方向相同，位数不同。从而感到可能存在某些规律，产生继续研究的兴趣。教学这一步要注意两点：一是把算式和得数整齐地写出来，便于学生看到小数点位置的变化情况；二是帮助学生辨别小数点移动的方向和位数，特别是移动的位数，不能看错。如：
5.04×10=50.4 21.5÷10=2.15
5.04×100=504 21.5÷100=0.215
5.04×1000=5040 21.5÷1000=0.0215
……
第二步，充实感性材料。学生再任意找几个小数，分别乘10、100、1000或除以10、100、1000，继续观察小数点位置的变化情况，并在小组里交流。设计这一步出于两点考虑：一是学生在第一步的教学中，产生了兴趣，也知道了数学活动的内容和方法。让他们自主找几个小数进行类似的计算和观察，既能维持学习热情，又培养了学习能力。二是每个学生都任意找几个小数，各人找的小数不同，全班的学习资源就会非常丰富。丰富的感性材料，让所有学生在交流中都有话可说。在众多具体材料中概括数学结论，令人信服，也体现了科学的认知方式和严谨的认知态度。
第三步，总结规律。一个数乘（或除以）10、100、1000……它的小数点向右（或左）移动一位、两位、三位……这是从大量的具体材料中提炼出来的数学结论。这个结论一方面概括了众多实例共有的、本质的数学内容，另一方面为求一个数乘（或除以）10、100、1000……的积（或商）提供了可操作的方法。教学这一步要注意两点：一是总结规律的主体是学生，不能让他们被动地接受现成的结论。二是学生总结规律需要经过从不完整到完整、从不严密到严密的过程，使用数学语言的水平要逐步提高。教学的任务在于组织学生相互交流、相互补充、相互完善，帮助他们说出规律而且越说越好。通过说，进一步把握规律的本质内涵，学会使用数学语言。两次“练一练”的第1题，在表格里填出一个数乘或除以10、100、1000的积或商，既在应用规律进行口算，也在继续体验小数点位置移动的规律。
第四步，逆向思考，加深理解规律。一个数乘或除以10、100、1000……只要移动它的小数点，就能很快得到结果。反之，移动一个小数的小数点，相当于把它乘或除以10、100、1000……后者是对规律的逆向思考，也是对规律的进一步完善。两次“练一练”的第2题，根据乘数到积的小数点位置移动，说出另一个乘数是10还是100或1000；根据被除数到商的小数点位置移动，说出除数是10还是100或1000。这些都是需要逆向思考的题目。教材希望通过这些题，能促进学生全面把握小数点位置移动的规律。这些题一方面有利于完整认识小数点位置移动的规律，另一方面也为继续教学小数乘小数、小数除以小数作了必要的知识准备。移动小数点的位置求积或求商，如果原有的小数位数够用，则很容易操作；如果小数位数不够，要用“0”补足，这是一个难点。针对移动小数点的难点，要指导学生补“0”，弄清楚补在哪里，补几个。如果小数点向右移动，原来数的小数部分缺少几位，可以在小数末尾添几个0；如果小数点向左移动，原来数的整数部分位数不够，可以在整数部分的最高位的前面补0。
（三） 应用小数点位置移动规律，进行常用计量单位的换算
例3把较大单位的数量改写成较小单位的数量，例6把较小单位的数量改写成较大单位的数量。两道例题的改写方向刚好相反，改写方法也正好相反。改写时“怎样想”是教学重
点，也是教学难点。教学例3，可以先口答2千克=？克、5千克=？克，看到这些换算都是把较大单位千克的数量改写成较小单位克的数量，都要乘进率1000（2千克是2个1000克，2×1000=2000；5千克是5个1000克，5×1000=5000），可以分别把2和5的小数点向右移动三位。然后把这些方法与经验应用到0.351千克=？克上去。“蘑菇”和“辣椒”两个小卡通的思考，本质上是一致的，只是书写上有些不同。“蘑菇”列出乘法算式，在得数的后面写出改写后的单位“克”。“番茄”直接把0.351千克改写成351克，0.351和351必须分别写出各自的单位。学生可以选择自己喜欢的书写形式。教学例6，可以采用与例3相似的教学方法，先在2000千克=？吨、5000千克=？吨这些简单的问题里体会只要把2000、5000除以进率1000，也就是把2000和5000的小数点分别向左移动三位。再把这些方法与经验应用到500千克=？吨这个新的问题情境里。
教学还要做两件事情。一件是适当的时候归纳例3的特点与采用的方法：把较大单位的数量改写成较小单位的数量，可以“用较大单位数量的数乘进率”，即把较大单位数量的数的小数点向右移动若干位；归纳例6的特点与采用的方法：把较小单位的数量改写成较大单位的数量，可以“用较小单位数量的数除以进率”，即把较小单位数量的数的小数点向左移动若干位。另一件是在适当的时候把上述两种改写进行对比，帮助学生深入了解两种改写的方向与方法。
采用移动小数点位置这种方法进行数量的改写，有关单位之间的进率应该是10、100、1000等。进率不是10、100、1000的单位之间的换算，一般不能通过移动小数点位置来得到结果。如时间单位“时”与“分”的改写，“分”与“秒”的换算，就不是移动小数点位置能解决的。在练习十和练习十一里，安排了进率是10、100、1000的名数改写，涉及长度、面积、质量、容量等各类计量单位。由于许多单位是第一学段陆续教学的，学生可能有些遗忘。所以，要帮助他们回忆、整理这些单位，把各类计量单位从大到小依次排一排，弄清相邻两个单位间的进率。通过移动小数点位置进行不同单位数量的改写，如果遇到位数不够的情况，容易写错得数。尽管“位数不够要用0补足”是旧知识，但仍然要提醒学生注意，以避免错误发生。
（四） 教学小数乘小数、小数除以小数，突出转化思想，加强推理活动，突出计算法则的关键内容
教学新知识，“转化”的价值经常表现在沟通新、旧知识的联系上。化新为旧，利用已有的知识经验解决新的数学问题，是有意义学习的表现。小数乘、除法的计算和整数乘、除法密不可分，只要把小数乘法转化成整数乘法，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，小数乘、除法的计算问题就解决了。学生已初步具备了转化思想以及所需要的知识，有条件
通过转化获得新知识，进一步体会转化是解决问题的有效策略。从思维形式上说，转化过程是推理过程，突出转化思想，也就加强了推理活动。
学习小数乘整数，学生获得了两点体会：小数乘法可以像整数乘法那样列竖式计算；积里的小数点要根据乘数是几位小数而点出来。这些初步感受是学习小数乘小数的基础。例7计算3.8×3.2，要求先估计得数大约是多少，然后进行笔算。这里安排估计有两个原因：第一，在不会笔算3.8×3.2的时候，估算也能解决问题。仅仅是估算的得数不大精确，是近似数而已。数学教学应该培养估算的意识与能力。就这道例题来说，能估计出房间面积大约十多平方米，已是很不错的思考。二是估算结果虽然不精确，但接近精确值，它能考量精确结果是不是合理。这道例题笔算得数是12.16平方米，和估算十多平方米相符，应该是正确得数。
笔算3.8×3.2时，教材指出“把这两个小数都看作整数相乘，按整数乘法计算”，又一次把小数乘法和整数乘法联系起来。算出38×32的积以后，让学生“联系积的变化规律想一想，怎样才能得到原来的积”。这是例题的教学重点，教材先后安排了两次探究活动。第一次在例7里，分析3.8×3.2的竖式与38×32的竖式之间的对应关系，用虚线框里的三个箭头以及上面的“×10”“÷100”，扶着学生经历推理过程：把乘数3.8看作整数38，这个乘数“×10”；把乘数3.2看作整数32，这个乘数也“×10”；两个乘数分别“×10”，得到的积相当于原来的积“×100”；为了得到原来乘法的积，应该把现在的积“÷100”。第二次在“试一试”里，计算3.2×1.15，要求学生在小数乘小数的竖式和整数乘整数的竖式之间，填出乘数的变化以及积的变化，独立进行推理。在两次探究的基础上，比较各题中两个乘数的小数位数与积的小数位数，从而发现规律：“两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数”。在理解算理的基础上，得出了积里点小数点的操作方法。教材希望学生通过归纳推理总结小数乘法的计算法则，要求他们“说说小数乘法应该怎样计算”，得出自己理解的、能直接应用的算法。计算小数乘法，关键是确定积的小数点的位置。为此，“练一练”里安排了点出积的小数点的专项练习。
例10教学除数是小数的除法，在列出算式7.98÷4.2以后，突出了三点：第一，在新的计算情境和认知冲突中，思考“除数是小数的除法，能不能转化成除数是整数的除法来计算？”把新知识和旧知识联系起来，指点了计算小数除法的方向。学生已经掌握了商不变性质和移动小数点的技能，还有小数乘法转化成整数乘法的经验，能够理解并实施这里的转化。第二，在竖式上按部就班地完成转化的操作，先划去除数的小数点（就是除数的小数点向右移动一位），把4.2变成整数；再把被除数的小数点向右移动一位，划去7.98原来的小数点，点出移动后的小数点（就是被除数跟着除数也乘10）。第三，转化后的除法79.8÷42由学生计算，
商的小数点必须与被除数移动后的小数点对齐。在这一点上，学生可能有疑惑或困难，应及时提醒和帮助。“练一练”第1题先进行除数转化成整数的专项练习，强化计算小数除法的关键步骤。学生只要掌握了这种转化，就能自如地进行小数除法的计算了。
（五） 解决计算难点，提高计算正确率
计算小数乘法，在积里点小数点，如果位数不够怎么办？把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，如果被除数的小数位数比除数少怎么办？这些都是应用法则进行计算的难点问题，也是计算容易发生错误的地方。为此，教材安排例8和例11解决这些问题。
通过本单元例2和例5的教学，学生已经知道：如果位数不够，可以用“0”补足。只要把这些补“0”的方法应用到像例8和例11的计算中去，问题就解决了。
例8的教学线索是“凸现矛盾——激活旧知——解决矛盾——专项练习”。引领学生发现困难、克服困难，主动解决遇到的新问题。计算0.28×0.28，按整数乘法算出28×28的得数784后，教材先设疑“从积的右边起数出几位点上小数点？位数不够怎么办？”让学生发现“784”只有三位，现在要点出四位小数，突出“位数不够”的矛盾，并激活已有经验，运用“在前面补0”的办法解决矛盾。从而理解教材的提醒“在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用0补足”。“练一练”专题进行在积里点小数点的练习，掌握补“0”的要领。
例11的教学线索是“演绎法则——出现矛盾——示范方法——变式扩展——专项练习”。例题的算式1.5÷0.75是小数除以小数，按照例10教学的算法，应该转化成除数是75的除法。“茄子”卡通提出问题“把除数变成整数，被除数和除数的小数点都要向右移动几位？被除数的位数不够怎么办？”这些问题承前演绎了除数是小数的除法计算法则，启后出现了移动小数点的困难。学生注意到被除数是一位小数，比除数的小数位数少，会在被除数的小数末尾添一个0。但是，他们还不会在除法竖式上规范地操作。为此，教材示范了在被除数末尾先添上0，再移动小数点的做法。被除数的小数点向右移动两位成了整数，这时的小数点在个位的右下角，可以不写出来。教学一定要细致地展示在除法竖式上处理小数点的过程，整理出转化的步骤，便于学生有条理地操作。“试一试”6÷2.4计算整数除以小数，是例题的变式。表面上似乎有点特殊，其实转化并不难。在去掉除数2.4的小数点的同时，被除数6的小数点向右移动一位，也就是6乘10是60。如果让学生说说例题和“试一试”中转化的体会，把例10和例11的知识综合起来，就是比较完整的小数除法计算法则。“练一练”和练习十三第5题，都是转化除法算式的专项练习。“练一练”里被除数的小数位数都比除数少，转化后都是整十或整百数除以整数。第5题则包括了转化可能出现的各种情况，有被除数和除数的小数位数相同或不同的，有被除数的小数位数比除数多或少的，把各种情况编排成题组，方便比较，也方便总结，有利于学生正确计算小数除法。
（六） 设计不同的教法，分别教学求积和商的近似数
日常生活和生产劳动中，解决实际问题所涉及的小数乘、除法计算，不一定需要十分精确的得数，况且除法计算往往会除不尽，难以给出精确结果。这就需要求积或商的近似数。
求积的近似数，一般先用竖式或计算器算出积，再按照精确度的要求用“四舍五入法”取近似值。在这些数学活动中，计算小数乘法以及用“四舍五入法”求近似数，都是已经教学的知识，求积的近似数不需要教学新的数学内容。基于这些思考，例9求积的近似数，在编写上有三个特点：一是3.18×1.6的笔算已经完成，只留下把积保留两位小数的任务，避免教学精力过多用于笔算乘法，冲淡求积的近似数这个主题；二是在竖式上，积的千分位上的数套了红色、加了虚线框，帮助学生回忆和应用“四舍五入”法求近似数的方法。三是要求学生在得数的横线上写出结果，并填写答句，用积的近似数解决实际问题。根据这些编写特点，教学要充分利用教材，先让学生独立学习，再组织交流。交流的主要内容是求近似数的方法和思考，帮助他们正确应用“四舍五入法”。“练一练”里的小数乘法都要先用竖式算出得数，再按要求取近似数。学生完成这些题，经历了求积的近似数的全过程。掌握求积的近似数的知识，才能应用于解决实际问题。
教学小数乘法笔算的同时，教材也注意了估算。练习十二第3题，先估计58.5×5.2的得数，再笔算出积。人们一般把小数乘法看作比较接近的整数乘法进行估算，这道题可以看成60×5，估计的得数“大约是300”，与笔算的积304.2相符，表明估计和笔算都是正确的。像这样先估计、再笔算，用估算验证笔算，是十分好的思考，应提倡用于其他习题的解答。第16题求平行四边形的面积，先估计，再求近似数。教学这道题，要引导学生体验两点：一是这题的笔算相当于计算三位数乘两位数，估算只要想3×2，得大约6平方分米。估算比笔算方便许多，如果用估算解决这个实际问题，是很容易的。二是估算和求近似数不是一回事。估算通常把两个乘数分别看成比较接近的整数，通过口算整数乘法进行。求近似数通常先算出积，再“四舍五入”。
求商的近似数，不需要把除法算完（事实上，许多除法的商是无限小数），只要除到适当的时候，就可以求近似数了。例12要求把40÷60的商保留两位小数。除法的商是一位一位地得出的，学生通常会一边除一边想“除到什么时候就可以求近似数了？”联系用“四舍五入法”求近似数的经验，在除到商的小数部分第三位时，不再继续除就可以取商的近似数了。这道题的商是循环小数，因为竖式上将会重复出现余“40”和商“6”，可以推断商是无限小数，而且小数部分的每一位上都是“6”。如果学生能够看出这些内容，当然很好。如果没有看出这些，教学不要在循环小数上过多逗留。这里主要突出“一般算出比需要保留的小数位数多一位的商，按照四舍五入法写出结果”。
有些实际问题如果用“四舍五入法”求近似数，答案会很不合理。如，例13中300元钱买单价45元的足球，尽管300÷45的商接近7，但最多只能买6个。又如，“练一练”中，每个油壶装油3千克，用这样的壶装40千克油，虽然40÷3≈13.3，但至少要14个壶才能装完。类似这样的问题，在前几册教科书里曾经少量出现过，由于学生那时年龄小，缺乏生活经验，只是初步接触，透彻理解这些问题的合理答案还有困难。现在编排例13再认这些问题的解答，效果会好得多。教材没有教学“进一法”“去尾法”等新的求近似数的方法，更没有出现这些方法的名称，只是联系现实的事情，让学生凭已有的生活常识或经验，理解问题的特殊性，找到比较恰当的答案。教学要注意这一点，以免造成不必要的负担。
（七） 研究乘数与积、除数与商的大小关系，培养探索规律的兴趣，发展数感
在初步掌握小数乘法计算的基础上，教材安排进一步研究积与乘数的大小关系。练习十二第14题里有三组乘法题：4.9×1.01、4.9×1和4.9×0.99；5.8×1.2、5.8×1和5.8×0.8；3.15×1.4、3.15×1和3.15×0.6。每组的三个算式中，第一个乘数都相同，第二个乘数分别是大于1的数、1和小于1的数。通过计算与比较，容易发现第二个乘数大于1时，积比第一个乘数大；第二个乘数是1时，积等于第一个乘数；第二个乘数小于1时，积小于第一个乘数。这是三组算式的共同规律，认识这些规律对发展数感有两点作用：一是突破了原来的乘法观念。整数乘法的积总是大于乘数（另一个乘数是0或1除外），小数乘法会出现积比乘数小的情况。二是可以判断笔算的结果是否合理，及时发现并改正笔算的错误。正如1.4×0.8的积应该大于0.8、小于1.4，如果大于1.4或者小于0.8，肯定算错了。1.6×1.3的积应该大于1.6，如果小于1.6，计算肯定是错的。我们知道，一个数乘小于1的数，是求这个数的几分之几是多少。虽然本单元没有涉及“一个数乘小于1的数”的乘法意义，学生还是能联系实际体会“积有可能小于乘数”的。如，买单价每千克8.5元的苹果0.8千克，需要6.8元钱。由于数量小于1千克，总价比单价小。这已是对原来的乘法观念的很大突破。
教学除数是小数的除法以后，练习十三第12题，通过三组除法题的计算与比较，发现以下的规律：如果除数大于1，商小于被除数；如果除数小于1，商大于被除数。发现这个规律，能够进一步完善对除法的认识，有助于检验除法笔算的结果，对发展数感也有积极的意义。
单元整理与练习第9题，让学生不计算在0.3÷0.15○0.3×0.15的○里填“＞”或“＜”，需要应用上述的那些规律。可以这样想：0.3÷0.15的商大于0.3（一个数除以小于1的数，商大于被除数），0.3×0.15的积小于0.3（一个数乘小于1的数，积小于这个数），所以0.3÷0.15＞0.3×0.15。
（八） 把整数四则混合运算的顺序，整数加法、乘法的运算律扩展到小数计算中
例14是小数四则混合运算，既教学按运算顺序进行计算，也教学应用运算律进行简便计
算。把两种情况的计算结合起来同步教学，是教材编写上的一次创新。
1. 营造氛围，创造已有的知识、经验向新情境迁移的条件。
按运算顺序进行小数四则混合运算，只要把整数四则混合运算的运算顺序迁移到小数四则混合运算中来。学生已经掌握了整数的混合运算顺序，熟悉混合运算的解题要求，也掌握了小数的四则运算。只要形成已有的知识经验向新情境迁移的氛围和条件，他们完全能够主动进行小数四则混合运算。
按运算律进行简便运算，要把整数加法的交换律、结合律扩展到小数加法里面；把整数乘法的交换律、结合律、分配律扩展到小数乘法里面。学生已经具有整数简便运算的方法与经验，只要向小数四则混合运算迁移，就能成为新的运算能力。
例题提出一个现实的问题，用图画表示一块长方形地里种了茄子和辣椒的情境。茄子地长6.5米、宽3.8米；辣椒地长3.5米、宽3.8米。要求列综合算式求这块长方形地的面积。在图画直观的作用下，有些学生会采用“茄子地面积+辣椒地面积=长方形地面积”的方法，列出算式6.5×3.8+3.5×3.8；有些学生会采用“长方形地的长×宽=面积”的思路，列出算式（6.5+3.5）×3.8。两个算式都是小数四则混合运算的式子。教材指出“小数四则混合运算的顺序与整数相同”，很干脆地把旧知识引进新情境，促进了学生的认知迁移。所以，上面前一个算式应该先算两个乘法；后一个算式应该先算括号里面的运算。两个算式可以组成等式6.5×3.8+3.5×3.8=（6.5+3.5）×3.8，这个等式表明“整数的乘法分配律在小数四则混合运算中同样适用”，应用乘法分配律能使一些计算变得比较简便。
例题紧接着给出三组算式：1.2+4.8○4.8+1.2、8.9+3.6+6.4○8.9+（3.6+6.4）、0.4×0.9×0.5○0.9×（0.4×0.5）。通过计算，发现○两边算式的得数相等，在○里填等号，可以体验其他运算律在小数四则混合运算里都存在。
“练一练”第1题要求“先说出各题的运算顺序，再计算”，落实了运算顺序的知识技能训练。第2题要求“用简便方法计算”。教学如果先让学生具体说说每道题应用什么运算律、怎样简便运算，对运算律的体验会更加深刻一点。
2. 注重培养运算能力。
需要注意的是，练习十四里对于简便运算的教学要求是：如果题目规定“用简便方法计算”，给出的算式都具有简便运算的条件，学生必须利用运算律，采用简便算法（如第3题）；如果题目是“计算下面各题，注意使运算简便”，给出的算式不一定都具有简便运算的条件，对于不能简便运算的式子应按运算顺序计算，对于能简便运算的式子应尽量使用简便算法（如第7题）。前一种题能加强简便与运算有关的基础知识，特别是对运算律的理解及其应用。后一种题能提升运算能力，因为能不能及时发现并利用简便运算的条件，是一种能力。
练习十四第6题，把整数的减法性质、除法性质扩展到小数减法和小数除法，也可以用来简便运算。学生在整数范围内，已经较充分地体验了减法性质和除法性质，已经能应用于具体的简便运算之中，现在把减法性质和除法性质扩展到小数减法和除法，应该不存在多大困难。
3. 利用小数计算解决实际问题，充实对数量关系和解题思路的体验。
练习十四里编排了一些用小数计算解答的实际问题，有两步计算的，也有三步计算的。这些题的数量关系学生并不陌生，他们在学习整数计算时曾经解答过。教材再次编排这些问题，一方面引导学生体会小数计算也能解决实际问题，也有现实的应用价值。另一方面帮助学生重温学过的解决问题的策略和方法，积累更加丰富的解题经验。
学生初步具有的解决问题策略，主要是：从条件向问题的推理或从问题向条件的推理，分析数量关系、确定解题步骤、形成解题思路的策略；用列表或画图等方法整理信息，理解题意，促进思路展开的策略。两种推理线索在解答每一道实际问题时都会用到，是最基础的策略。列表或画图整理信息的策略，通常在需要的时候才使用。
（九） 通过全单元内容的整理与练习，更新认知结构，提升运算能力
《整理与练习》的主要内容是小数乘法、除法的计算及其实际应用。在“回顾与整理”栏目里，提出三个讨论题，引导学生进一步体会小数乘、除法的计算与整数乘、除法的内在联系，明白计算小数乘、除法，在妥善处理小数点以后，要像整数乘、除法那样计算；进一步体会确定积的小数位数的方法，以及把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法的方法，熟练掌握小数乘、除法的计算法则。在“练习与应用”栏目里精心设计了一些习题。第2题给出两个计算题组，左边的8.6×7、8.6×0.7和0.86×0.7是小数乘法题组，如果不考虑小数点的问题，它们都可通过整数乘法86×7来计算。由于各道算式的两个乘数里的小数位数不同，所以积里的小数位数不同，分别是一位小数、两位小数和三位小数。从8.6×7到8.6×0.7，从8.6×0.7到0.86×0.7，都是一个乘数不变，另一个乘数除以10（小数点向左移动一位），相应的积也除以10。右边的11.7÷36、11.7÷3.6和11.7÷0.36是小数除法题组，它们的被除数都是11.7，除数分别是36、3.6、0.36，商不同。后两题分别要转化成117÷36、1170÷36来计算，从11.7÷36的商到11.7÷3.6的商，再到11.7÷0.36的商，可以依次乘10。教材要求“算一算、比一比”，通过计算体会上述内容，通过比较体验同组三道算式之间的联系与区别，达到重组认知结构的目的。第8题给出六个计算题组，4.8÷0.1和4.8×10是一组题，得数都是48。计算4.8÷0.1要把4.8的小数点向右移动一位，也就是4.8×10。5.4×0.1和5.4÷10是一组题，得数都是0.54。计算5.4÷10要把5.4的小数点向左移动一位，计算5.4×0.1也是把5.4的小数点向左移动一位。通过上述两组题的计算与比较，
体会一个数乘0.1相当于这个数除以10，一个数除以0.1相当于这个数乘10。获得这些体会，不仅对计算有益，而且感受了一个数乘或除以0.1的意义。另外四组题，同组两题的得数都相等。一个数乘0.5相当于这个数除以2；一个数除以0.5相当于这个数乘2；一个数乘0.25相当于这个数除以4；一个数除以0.25相当于这个数乘4。学生联系具体的题组能够发现这些关系，但还不具备理解这些关系的条件。以后学习分数与小数的改写，把0.5看成1/2，0.25看成1/4，这些关系就清楚了。教材编排这些题组，渗透了小数乘法的意义，有发展数感的作用。
《统计表和条形统计图》教材分析
二年级教学统计，主要是收集和记录信息；三年级教学统计，主要是整理和汇总数据。四年级教学统计，主要是分段整理数据和简单的统计表与条形统计图。本单元的教学内容包括复式统计表和复式条形图两部分。全单元安排两道例题，具体编排见下表：
例1认识并应用常见的复式统计表
例2认识并应用常见的复式条形图
本单元的内容是在已经认识简单统计表和单式条形图的基础上编排的，无论是制作统计图表还是利用图表里的信息，都离不开对数据的收集、整理、汇总与分析。所以说，通过本单元内容的教学，学生的数据活动意识和能力会有新的提高，统计观念会有新的发展。
（一） 教学复式统计表，把四张简单统计表里的数据，汇集在一张表格里，初步认识复式统计表的构造，体会复式统计表的优点
复式统计表的构造比较复杂。例1里的复式统计表的栏目有组别、人数、性别三项，表里的每个数据都有“什么小组”“男生还是女生”“有几人”三方面内容，表里还有人数的合计和总计。所以，教学复式统计表首先要让学生了解它的结构，明白每一行、每一列数据所表达的意思，体验人们为什么使用它。有关复式统计表的知识，是讲给学生听还是让他们自己体会？在这两种不同教法里，教材采用了后者。
例1教学复式统计表，教学活动分两段展开。第一段用四张简单统计表分别呈现青云小学五年级学生学习古筝、葫芦丝、笛子、小提琴四种乐器的兴趣小组人数，要求把四张简单统计表里的数据填入一张复式统计表中。这里说的“填入”有两层要求：首先是把四张简单表格里已有的男、女生人数以及合计人数填入复式统计表，然后是计算四个兴趣小组男生总人数、女生总人数、学生总人数，分别填入统计表的“总计”栏目里面。教材希望学生通过填表，了解复式统计表的结构，知道表里每个数据的实际意思，学会阅读复式统计表。例题提供的复式统计表里有五行数据，从上往下依次是总计人数和古筝、葫芦丝、笛子、小提琴
各小组人数；有三列数据，从左往右依次是合计人数、男生人数、女生人数。这张复式统计表比较规范，它的“总计”在第一行，“合计”在第一列。学生识别复式统计表各个空格里应该填什么数，既要看它在第几行，是什么小组的人数，又要看它在第几列，是哪种性别的人数。这些正是复式统计表的“复杂”所在，也是看懂复式统计表的要领所在。应该让学生尝试着把四张简单表格合并，经历辨认复式统计表各个空格含义的过程。还要让学生充分说说自己是怎样寻找各个数据在统计表里位置的，促进他们了解复式统计表的构成。如古筝小组男生7人，“7”应该填在哪一格里？怎么知道的？学会纵横交叉着识别数据的具体意思。要讨论表格里“总计”的含义，弄明白男生人数总计是四个小组男生人数相加的和，女生人数总计是四个小组女生人数相加的和。表格左上角的那个空格，纵向看是“合计”，横向看是“总计”，填的数据应该是男、女生的总人数，也是四个兴趣小组的总计人数。计算这格里的数据，可以把男生总计人数与女生总计人数相加，也可以把四个小组的合计人数相加，这两种算法的结果应该相同。因此，人们计算这格里的数据，往往采用一种算法得出学生总人数，利用另一种算法检验总人数是否正确。例题在复式统计表的下面设计了三个问题：问题（1）涉及男生人数总计和女生人数总计，问题（2）涉及学生人数总计。这两个问题指向复式统计表“总计”一行里的三个数据，是简单统计表里没有的数据，是复式统计表的特点之一，也是填写认识复式统计表的难点所在。问题（3）利用统计表中的已知数据，联系已有的“求总数”“求相差数”等经验，提出一些问题并解答，加工出一些新的数据信息，培养分析数据的习惯和能力。
第二段体会复式统计表的特点。学生一边填写例题的统计表，一边感受这张表格里的数据多，信息量大。教学例1，应该安排学生体会复式统计表的优点，引导他们把四张简单表格和复式统计表比较，感受复式统计表里能够看到更多的数据，知道更多的信息；能够全面了解青云小学五年级四个兴趣小组的人数，还能方便地进行组与组之间的比较；便于提出更多的问题，引起更多的思考……这些就是复式统计表的特点，也是人们经常制作和使用复式统计表的主要原因。
“练一练”用复式统计表反映自己班级里想学习古筝、葫芦丝、笛子、小提琴四种乐器的人数，与例题很接近，但有两点变化。一点变化是通过调查获得有关数据，经历收集与整理数据、呈现与表达数据、分析与利用数据的全过程，体现统计活动是解决实际问题的需要，是以数据为载体的活动。另一点是稍微调整了复式统计表的构造，其中的三行数据分别是总计人数、男生总人数、女生总人数；五列分别是男、女生人数合计、古筝人数合计、葫芦丝人数合计、笛子人数合计、小提琴人数合计。刚好把例1的“行”变成“列”，“列”变成“行”。学生填写变式的统计表，能进一步体验复式统计表的构造。
更多推荐
小数,面积,学生,计算,教学
发布评论