考研数学(数学三)模拟试卷450(题后含答案及解析)

2023年12月2日发(作者：我做了数学试卷英语翻译)

考研数学（数学三）模拟试卷450

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 已知当x→0时，f(x)=arcsinx－arctanax与g(x)=bx[x－ln(1+x)]是等价无穷小，则( )

A．a=b=1。

B．a=1，b=2。

C．a=2，b=1。

D．a=b≠1。

正确答案：A

解析：根据等价无穷小的定义，那么1－a=0，，则有a=1，b=1。故选(A)。

2． 设f(x)=+x，则f(x)有( )

A．两条斜渐近线。

B．一条水平渐近线，一条斜渐近线。

C．两条水平渐近线。

D．一条斜渐近线，没有水平渐近线。

正确答案：B

解析：函数f(x)无间断点，所以不存在垂直渐近线。水平渐近线：在x→－∞方向，所以y=0为函数f(x)的一条水平渐近线。斜渐近线： 所以y=2x为函数f(x)的一条斜渐近线。故选(B)。

3． 设f(x)是连续且单调递增的奇函数，设F(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则F(x)是( )

A．单调递增的奇函数。

B．单调递减的奇函数。

C．单调递增的偶函数。

D．单调递减的偶函数。

正确答案：B

解析：令x－u=t，则 F(x)=∫0x(x－2t)f(t)dt，F(－x)=∫0－x(－x－2t)f(t)dt，令t=－u， F(－x)=－∫0x(－x+2u)f(－u)du=∫0x(x－2u)f(－u)du。 因f(x)是奇函数， f(x)=－f(－x)，F(－x)=－∫0x(x－2u)f(u)du，则有F(x)=－F(－x)为奇函数。 F’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，由积分中值定理可得∫0xf(t)dt=f(ξ)x，ξ介于0到x之间， F’(x)=f(ξ)x－xf(x)=[f(ξ)－f(x)]x，因为f(x)单调递增，当x＞0时，ξ∈[0，x]，f(ξ)－f(x)＜0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减；当x＜0时，ξ∈[x，0]，f(ξ)－f(x)＞0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减。所以F(x)是单调递减的奇函数。

4． 已知函数f(x，y)满足=0，则下列结论中不正确的是( )

A．f(x，y)在(0，0)点可微。

B．f’x(0，0)=－2。

C．f’y(0，0)=1。

D．f’x(0，0)和f’y(0，0)不一定都存在。

正确答案：D

解析：根据多元函数可微的定义，其中A=f’x(x，y)，B=f’y(x，y)，那么有通过观察f(x，y)在(0，0)点可微，f’x(0，0)=－2，f’y(0，0)=1，故选择(D)。

5． 设，则矩阵A和B( )

A．合同且相似。

B．合同不相似。

C．相似不合同。

D．既不相似，也不合同。

正确答案：B

解析：因为所以A的特征值为0，1，4。两个实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同；两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正负特征值的个数相同。故选(B)。

6． 设A，B均为3阶非零矩阵，满足AB=O，其中B=，则( )

A．若a=2，则r(A)=1。

B．若a≠2，则r(A)=2。

C．若a=－1，则r(A)=1。

D．若a≠－1，则r(A)=2。

正确答案：A

解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3。当a=2时，r(B)=2，所以r(A)≤3－r(B)=1；另一方面，A为3阶非零矩阵，所以r(A)≥1，从而r(A)=1。故选(A)。

7． 已知(X，Y)服从二维正态分布N(0，0；σ2，σ2；ρ)，则随机变量X+Y与X－Y必( )

A．相互独立且同分布。

B．相互独立但不同分布。

C．不相互独立但同分布。

D．不相互独立也不同分布。

正确答案：B

解析：因为(X，Y)服从二维正态分布N(0，0；σ2，σ2；ρ)，所以他们的线性组合也是正态分布，X+Y～N(0，2σ2+2ρσ2)，X－Y～N(0，2σ2－2ρσ2)，故分布不同。而Cov(X+Y，X－Y)=0，则X+Y，X－Y不相关，因为(X+Y，X－Y)仍是二维正态分布，所以不相关与独立等价。

8． 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)，其中X服从正态分布N(0，1)，且Y=X，若F(a，b)=，则( )

A．a=b=0。

B．a=0，b＞0。

C．a＞0，b=0。

D．min{a，b}=0。

正确答案：D

解析：由题可得从而P{X≤min{a，b}}=，即min{a，b}=0。

填空题

9． =_________。

正确答案：

解析：该题极限形式为和式极限，则可使用夹逼定理进行计算。两边取极限可得，由夹逼定理可知，原极限为。

10． 设f(x)=xsin2x，则f(2017)(0)=_________。

正确答案：－220152017

解析：f(x)=xsin2x=求2017次导数为0，对于，根据莱布尼茨公式可得

11． 二阶常系数非齐次线性微分方程y”－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=_________。

正确答案：ex(C1cos2x+C2sin2x)+，C1，C2为任意常数

解析：该方程的齐次方程所对应的特征方程为λ2－2λ+5=0，解得特征根为λ=1±2i，可知齐次方程的通解为 ex(C1cos2x+C2sin2x)。该方程的非齐次项根据叠加原理此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得．根据特征根λ=1±2i可知，方程(1)的特解可设为)，y1*=Cex，代入方程(1)解得C=，故y1*=；方程(2)的特解可设为 y2*=xex(Acos2x+Bsin2x)，

12． 差分方程yx+1－2yx=x2的通解为_________。

正确答案：C2x－x2－2x－3，C∈R

解析：齐次方程yx+1－2yx=0的通解为C2x，C∈R。 设非齐次方程的特解为yx*=ax2+bx+c，则 a(x+1)2+b(x+1)+c－2(ax2+bx+c)=x2，整理可得 －ax2+(2a－b)x+a+b－c=x2，解得a=－1，b=－2，c=－3。可知差分方程的通解为

C2x－x2－2x－3，C∈R。

13． 设A为三阶非零矩阵，已知A的各行元素和为0，且AB=0，其中B=，则Ax=0的通解为_________。

正确答案：k1(1，2，3)T+k2(1，1，1)T，k1，k2为任意常数

解析：因为AB=O，所以显然有A(1，2，3)T=0；另一方面，因为A的各行元素和为0，所以A(1，1，1)T=0。又因为A为三阶非零矩阵，所以Ax=0的基础解系的线性无关的解向量至多有两个，所以Ax=0的通解为k1(1，2，3)T+k2(1，1，1)T，k1，k2为任意常数。

14． 设随机变量X1，X2相互独立，X1服从正态分布N(μ，σ2)，X2的分布律为P{X2=1}=P{X2=－1}=，则X1X2的分布函数间断点个数为_________。

正确答案：0

解析：分布函数的间断点即概率不为0的点，令Y=X1X2∈(－∞，+∞)，由于X1，X2相互独立。则P{Y=a}=P{X2=1，X1=a}+P{X2=－1，X1=－a}=P{X2=1}P{X1=a}+P{X2=－1}P{X1=－a}=0。

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15． 设f(x)连续，且满足f(x)=(x－π)2－∫0x－πtf(x－t)dt，求f(x)。

正确答案：令s=x－t，得f(x)=(x－π)2－∫πx(x－s)f(s)ds，即 f(x)=(x－π)2－x∫πxf(s)ds+∫πxsf(s)ds， (1)现需要把它转换成微分方程问题。(1)式两边求导得 f’(x)=2(x－π)－∫πxf(s)ds， (2)又(1)式中令x=π得f(π)=0。 再对(2)式求导得 f”(x)+f(x)=2。在(2)式中令x=π得f’(π)=0。于是问题转化为初值问题其中y=f(x)。这是二阶线性常系数微分方程，显然有常数特解y*=2，于是通解为 y=C1cosx+C2sinx+2。y=f(x)=2cosx+2。

16． 计算二重积分，其中D是由直线x=－2，y=0，y=2以及曲线x=所围成的平面图形。

正确答案：在直角坐标系下化为累次积分计算，选取先对x积分再对y积分的顺序。题中所给区域如图2所示：

17． 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0。证明：

(Ⅰ)存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)； (Ⅱ)存在一点η∈(a，b)，使得f’(η)=－3f(η)g’(η)。

正确答案：(Ⅰ)令φ(x)=e－2xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，根据罗尔定理，存在一点ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－2x[f’(x)－2f(x)]且e－2x≠0，所以f’(ξ)=2f(ξ)。(Ⅱ)令h(x)=f(x)e3g(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以h(a)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在一点η∈(a，b)，使得h’(η)=0，而h’(x)=e3g(x)[f’(x)+3f(x)g’(x)]且e3g(x)≠0，所以f’(η)=－3f(η)g’(η)。

18． 求幂级数的收敛域与和函数，并求的和。

正确答案：由=｜x｜3，当｜x｜＜1时，幂级数收敛；当｜x｜＞1时，幂级数发散；当x=1时，幂级数收敛：当x=－1时，幂级数发散。因此该幂级数的收敛域为(－1，1]。

19． 假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：元)的函数：Q=12000－80p，商品的总成本C是需求量Q的函数：C=25000+50Q，每单位商品需要纳税2元。试求使销售利润最大时的商品单价和最大利润额。

正确答案：以L表示销售利润额，则 L(p)=(12 000－80p)(p－2)－(25

000+50Q) =－80p2+16 160p－649 000， L’(p)=－160p+16 160，令L’(p)=0；得p=101。由于L”｜p=101=－160＜0，可见，p=101时，L有极大值，也是最大值(因为p=101是唯一驻点)。最大利润额L｜p=101=167 080(元)。

20． 设线性方程组已知(1，－1，1，－1)T是该方程组的一个解，试求： (Ⅰ)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ)该方程组满足x2=x3的全部解。

正确答案：将(1，－1，1，－1)T代入方程组，得λ=μ。对方程组的增广矩阵施以初等行变换，得r(A)==3＜4，故方程组有无穷多解，且ξ0=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为η=(－2，1，－1，2)T，故方程组的全部解为k为任意常数。当λ=时，有r(A)==2＜4，故方程组有无穷多解，且ξ0=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为η1=(1，－3，1，0)T，η2=(－1，－2，0，2)T，故方程组的全部解为k1，k2为任意常数。其中k2为任意常数。

21． 设二次型(x1，x2，x3)=4x22－3x32+2ax1x2－4x1x+3+8x2x3(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f=y12+6y22+by32，求： (Ⅰ)参数a，b的值；

(Ⅱ)正交变换矩阵Q。

正确答案：(Ⅰ)二次型矩阵为A=，由二次型的标准形f=y12+6y22+6y32，可知该二次型矩阵的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=b，根据特征值的和与乘积的性质可得方程组

22． 设随机变量Y服从参数为λ=1的泊松分布，随机变量Xk=k=0，1。试求： (Ⅰ)X0和X1的联合分布律； (Ⅱ)E(X0－X1)； (Ⅲ)Cov(X0，X1)。

正确答案：(Ⅰ)P{X0=0，X1=0}=P{Y≤0，Y≤1}=P{Y=0}=e－1， P{X0=1，X1=0}=P{Y＞0，Y≤1}=P{Y=1}=e－1， P{X0=0，X1=1}=P{Y≤0，Y＞1}=0，

P{X0=1，X1=1}=P{Y＞0，Y＞1}=P{Y＞1} =1－P{Y=0}－P{Y=1}=1－2e－1。

所以X0和X1的联合分布律为：(Ⅱ)由(Ⅰ)知，X0和X1的边缘分布律为：所以，E(X0－X1)=E(X0)－E(X1)=(1－e－1)－(1－2e－1)=e－1。 (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)的计算结果，X0X1的分布律为：Cov(X0，X1)=E(X0X1)－E(X0)E(X1)=1－2e－1－(1－e－1)(1－2e－1)=e－1－2e－2。

23． 设总体X的概率密度为f(x；θ)=X1，…，Xn为来自总体X的简单随机样本。 (Ⅰ)求θ的矩估计量； (Ⅱ)求。

正确答案：(Ⅰ)E(X)=∫－∞+∞xf(x)dx=得θ的矩估计量