第2届大学生数学竞赛决赛试题及答案(非数学类2010年)

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第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（非数学类，2010）

考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.

题 号 一 二 三 四 五 六 总分

满 分 25 15 15 15 15 15 100

得 分

注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.

2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.

得 分

一、（本题共5小题，每小题各5分，共25分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.

评阅人

(1)

设xnn=(1+a)⋅(1+a2)\"(1+a2)，其中|a|<1，求limn→∞xn.

x2

(2)

求

lim−x⎛xe⎜⎝1+1⎞→∞x⎟⎠.

(3)

设s>0，求In=∫+∞0e−sxxndx(n=1,2,\").

(4)

设函数f ( t )有二阶连续导数，r=x+y，g(x,y)=f⎛⎜⎜⎜1⎞⎝⎟r⎟⎟⎠，求∂2g222∂x2+∂g∂y2.

(5)

求直线l⎧x−y=0x−2y−1z−31:⎨⎩z=0

与直线l2:4=−2=−1的距离.

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得 分

评阅人

二、（本题共15分）设函数f(x)在(−∞,+∞)上具有二阶导数，并且f′′(x)>0,limf′(x)=α>0，limf′(x)=β<0，且存在一x→+∞x→−∞

点x0，使得f(x0)<0.

证明：方程f(x)=0在(−∞,+∞)恰有两个实根.

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得 分

三、（本题共15分）设函数y=f(x)由参数方程

评阅人

⎧

⎨x=2t+t2(t>−1)所确定.

且d2y3，其中ψ(

⎩y=ψ(t)dx2=4(1+t)t)具有

二阶导数，曲线y=ψ(t)与y=

∫t2e−u2du+312e在t=1处相切.

求函数ψ(t).

第 3 页（ 共 6 页）

得

分

评阅人

四、（本题共15分）设an>0，Sn=∑ak，证明：

k=1n

(1) 当α>1时，级数∑an收敛；

αn=1Snan发散.

αSn=1n+∞+∞(2) 当α≤1，且Sn→∞（n→∞）时，级数∑

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得

分

五、（本题共15分）设l是过原点、方向为(α,β,γ)

评阅人

（其中α2+β2+γ2=1）的直线，均匀椭球

x2y2z2a2+b2+c2≤1（其中0 < c < b < a ，密度为1）绕l旋转.

(1) 求其转动惯量；

(2) 求其转动惯量关于方向(α,β,γ)的最大值和最小值.

第 5 页（ 共 6 页）

得

分

评阅人

（本题共15分）设函数ϕ(x)具有连续的导数，在围六、绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分v∫C2xydx+ϕ(x)dy的值为常数.

x4+y2(1) 设L为正向闭曲线(x−2)2+y2=1. 证明:

(2) 求函数ϕ(x)；

v∫L2xydx+ϕ(x)dy=0；

x4+y2(3) 设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求∫vC2xydx+ϕ(x)dy.

x4+y2第 6 页（ 共 6 页）

第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准 （非数学类，2010）

一（本题共5小题，每小题5分，共25分）、计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1) 设xn=(1+a)⋅(1+a2)