2024年1月8日发(作者：全国乙卷数学试卷理科图片)

上海中学2022-2023学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷2022．11考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题2f(x)x4x3的单调递增区间是__．1.函数2.若alog43，则2a2a．3.设a，bR，1ab2，2ab4，求4a2b的取值范围是______．4.设函数f(x)在(0,＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则22f12＝__________．5.已知实数a、b、c满足abc0，abc1，则a的最大值为_______.6.已知函数f(x)|x1||x3||xa|的图象关于垂直于x轴的直线对称，则实数a的值是__．2Ay|yx2axb[0,)a,b,mxx7.已知实数，集合，若关于的不等式+ax+b

222e,ef(x)0f(x)ax1blnx1上有解，12.已知函数，若关于x的方程在则ab的最小值为______．二、选择题x1Nx|33，则MN（13.已知集合M{x||x1|3}，）D.[2,1]A[2,).B.[2,4]C.[1,4]）条件．14.已知实数a、b，那么|ab||a||b|是ab0的（A.充分不必要C.充要15.已知x与y之间的几组数据如下表：B.必要不充分D.既不充分也不必要x1ya假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ybx,若某同学根据上表中的前两组数据1,0和2,2求得的直线方程为ybxa,则以下结论正确的是（）b,aA.bab,aB.bab,aaC.bb,aD.ba16.对正整数n，记In{1,2,3,,n},Pnm|mIn,kIn．若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平k）方，则称A为“破晓集”．那么使Pn能分成两个不相交的破晓集的并集时，n的最大值是（A.13B.14C.15D.16三、解答题17.已知函数f(x)＝3＋k·3为奇函数．x－x(1)求实数k的值；(2)若关于x的不等式f(9ax22x1)＋f(13ax2)<0只有一个整数解，求实数a的取值范围．18.已知关于x的不等式ax22x6a0的解集为A，集合B(2,3)．（1）若AB，求实数a的取值范围；（2）若BA，求实数a的取值范围．19.1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式y15at（a0，a为常数）；若使用口服2t,0t1,方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y2（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式y245,1t4.t现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．

（1）若a1，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．20.如果函数yf(x)的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f(xa)f(x)成立，则称此函数f(x)具有“性质P(a)”．（1）已知函数yf(x)具有“性质P(2)”，且当0x1时，f(x)x2x，求函数yf(x)在区间(1,2)上的函数解析式；（2）已知函数yg(x)既具有“性质P(0)”，又具有“性质P(2)”，且当1x1时，g(x)|x|，若函数yg(x)的图象与直线ypx有2023个公共点，求实数p的值；（3）已知函数yh(x)具有“性质P(2)”，当x1时，h(x)x不同的实数解，求实数m的取值范围．21已知实数a1，函数f(x)a,g(x)2logax．42，若h2(x)2mh(x)4m0有8个x1.x（1）当ae时，过原点的直线l与函数f(x)相切，求直线l的方程；（2）讨论方程f(x)2g(x)的实根的个数；（3）若f(x)2g(x)有两个不等的实根x1,x2，求证：x1x22logae．

上海中学2022-2023学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷2022．11考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题2f(x)x4x3的单调递增区间是__．1.函数【答案】[3,)【分析】根据复合函数定义域，单调性进行求解.【详解】由题知f(x)所以x24x30，所以x1或x3因为yx2x24x3，1上单调递减，在3，4x3在-，上单调递增，t在0，上单调递增，又因为y所以由复合函数单调性可知f(x).x24x3的单调递增区间是3，.故答案为：3，2.若alog43，则2a2a【答案】433aa．a2【详解】∵alog43，∴4323，∴2231343.3考点：对数的计算3.设a，bR，1ab2，2ab4，求4a2b的取值范围是______．【答案】5,10【分析】把4a2b用ab和ab表示，然后由不等式的性质得出结论．【详解】令4a2bmabnabmnanmb，mn4n1则，解得.nm2m3∵1ab2，2ab4，∴53(ab)(ab)10．

即54a2b10，所以4a2b的取值范围是5,10故答案为：5,10.4.设函数f(x)在(0,＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f1＝__________．【答案】2【详解】试题分析：令tex，f(t)tlnt(t0)，所以f(x)xlnx,(x0)，f(x)1+所以答案应填：2．考点：导数的运算．5.已知实数a、b、c满足abc0，a2b2c21，则a的最大值为_______.【答案】1，f12，x63【详解】试题分析：因为abc0，所以c(ab)，所以a2b2[(ab)]21，所以2b22ab2a210，由4a422a10，解得故实数a的最大值为2266，≤a≤336.3考点：一元二次方程的根的判别式，容易题.6.已知函数f(x)|x1||x3||xa|的图象关于垂直于x轴的直线对称，则实数a的值是__．【答案】1或7或5【分析】利用绝对值不等式以及对称性求解.【详解】考虑每个绝对值的端点，分别为1,3,a，则这三个端点必关于垂直于x轴的直线对称，所以132a或1a23或3a2(1)，所以a1或7或5．故答案为：1或7或5.2集合Ay|yxaxb[0,)，若关于x的不等式x2+ax+b

aa22所以f(x)xaxbxb的最小值为0，24a2即b0，则a24b，4不等式f(x)c的解集为(m,m6)，即x2+ax+b-c<0解集为(m,m6)，则x2+ax+b-c=0的两个根x1、x2分别为m、m6，所以两根之差为|x1x2||m6m|6，由韦达定理得x1x2因为|x1x2|2abca，x1x2bc，112x1x2x1x224x1x2(a)24(bc)6，将a24b代入得，故答案为：9.4b4b4c6，解得c9．8.下列命题中错误的是__．①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②在一组样本数据x1,y1,x2,y2,,xn,yn（n2,x1,x2,L,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点xi,yi(i1,2,,n)都在直线yx1上，则这组样本数据的线性相关系数为121；2③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有99%的可能性患肺病．【答案】①②③【分析】根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线y1x1上，则这组样本数据的线性相关系数为1，所以②错误；2对于③，由独立性检验得，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，所以③错误．综上，错误的命题序号是①②③．故答案为：①②③.9.已知a【答案】20【分析】设123111,b，7，则的最小值_________.232a13b1ab121211x,y，利用x,y表示,，利用7得到(x1)(y5)12，再变形得到2a13b1abab313(x1)(y5)80，利用基本不等式求出最小值.2a13b1

122x6y117，x,y【详解】令，则2a13b1abx1y1去分母化简得：xy5xy7，所以(x1)(y5)12，所以313xy3(x1)(y5)823(x1)(y5)820，2a13b1当且仅当a故答案为：2024,b时，等号成立．311x2xk,x1x，g(x)2，若对任意的实数x1,x2，均有fx1gx2，则实数k的10.已知函数fx1logx,x1x1123取值范围是__．【答案】,34【分析】由已知可得，需满足fxmaxgxmin，即需求出fx的最大值和gx的最小值，得到不等式，即可解出k的取值范围.【详解】由于对任意的x1,x2R，均有fx1gx2，因此f(x)maxg(x)min，当x0时，g(x)1x11，而x2，当且仅当x=1时，等号成立，xxx1x1,g00，21因此0gx当x0时，g(x)x111x21x1，xx20，当且仅当x=1时，等号成立，此时，xxxg(x)1x1x12，1.2所以，g(x)min1112对fx，由已知，fxxxk在x1上最大值为fk；fxlog1x在x1时单调递减，2243所以有fx1满足.211k42所以要使fxmaxgxmin成立，只需满足33,所以k，则实数k的取值范围是．44

故答案为：,3.411x1其中1A且st，记fx，且对任意xA，都有fxA，11.已知集合As,st,t1，6x16则st的值是___________.【答案】113或2211【分析】根据两端区间和x1的关系分三种情况讨论：x1在s,st,t1左边，在s,s和t,t166之间，在s,st,t1右边三种情况，根据单调性可得fx的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不61等式求解即可.【详解】①当s1时，区间s,st,t1在x1的右侧，且fx1在区间s,s,[t,t1]上66x1121221t1s5222ts2U1,1单调递减，易得fx1,1，故此时且，即65t1ss1t12s121t166t1s12222t1tts1s1s152522t12st1且，所以，故，故，即，622251t1tt16tt16t2s55tsst1666s1t2t120，因为t1，故t4，代入可得s②当s311，此时st2211x1151t，即s时，x1在s,s和t,t1之间.因为fx在区间s,s上为减函数，66x16677ss1s1s11s166t1,,s,s1故当xs,s，fx，因为，而，故此时，即55s1s166s1ss661s1ss151211726s1ssss0566667，因为s，故即，故6s211s70，即s66ss7s25ss211s7056666s62s13s70，因为s51，故s.因为此时[t,t1]在x1右侧.故当x[t,t1]时，26

t1t1t2t2t1t2t1t2t1,t,t1fx,1，故，因为，此时，，所以t2t10t2tt1tt1ttt故t2，满足t1，此时st32121③当t11，即t0时，x1在s,st,t1右边.此时fx1在区间s,s,[t,t1]上单调66x121t21s5222ts2U1,1递减，易得fx1,1，故此时且，即65t1ss1t12s1261t16t1s12222t1tts1s1s152522t12st1且，所以，故，故，即，622251t1tt16tt16t2s55tsst1666s111t2t120，因为t1，故t3，代入可得s，不满足st.63综上所述，有st故答案为：311或st22113或22【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题.2e,e12.已知函数f(x)ax1blnx1，若关于x的方程f(x)0在则a2b2的最小值为______．上有解，【答案】9e22e,e【分析】设函数fx在上的零点为m，则由am1blnm10，则Pa,b在直线l:m1xylnm10上，则a2b2可看作是O到直线l的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案2e,e【详解】解：设函数fx在上的零点为m，则am1blnm10，所以点Pa,b在直线l:m1xylnm10上，设O为坐标原点，则a2b2|OP|2，其最小值就是O到直线l的距离的平方，所以abOP22lnm1mlnm1m，mÎ2轾e,e犏臌，

设t，设gt2lnt1，me,et12lnte,e0te,e，所以gt在上单调递减，2t则gt所以gtminge所以ab故答案为：223，e39922即ab2，所以a2b2的最小值为2，eee9e2二、选择题x113.已知集合M{x||x1|3}，Nx|3，则MN（3）D.[2,1]A.[2,)【答案】CB.[2,4]C.[1,4]【分析】首先解绝对值不等式求出集合M，再根据指数函数的性质求出集合N，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：由|x1|3，即3x13，解得2x4，所以Mx||x1|3x|2x4，111由3，即，解得x1，333x1Nx|3所以x|x1，3xx1所以MNx|1x4；故选：C14.已知实数a、b，那么|ab||a||b|是ab0的（A.充分不必要C.充要【答案】D【分析】等式两边平方结合反例即可判断.【详解】因为|ab||a||b|a22abb2a2|2ab|b2|ab|abab0，所以必要性不成立；当a1,b2时，满足ab0，但|ab||a||b|，所以充分性不成立；所以|ab||a||b|是ab0的既不充分也不必要条件.故选:D．15.已知x与y之间的几组数据如下表：）条件．B.必要不充分D.既不充分也不必要

x1ya假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ybx,若某同学根据上表中的前两组数据1,0和2,2求得的直线方程为ybxa,则以下结论正确的是（）b,aA.ba【答案】Cb,aB.ba6b,aaC.bb,aD.ba＝【详解】b′＝2，a′＝－2，由公式b(xx)(yy)i1ii(xx)i1i6求得．2＝b135715＝x－bx＝－×＝－，∴ba′，a63772m|mIn,kIn．若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平k）16.对正整数n，记In{1,2,3,,n},Pn方，则称A为“破晓集”．那么使Pn能分成两个不相交的破晓集的并集时，n的最大值是（A.13【答案】BB.14C.15D.16【分析】先证当n15时，Pn不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当n15时，Pn可以分成两个不相交的破晓集的并集，设A和B为两个不相交的破晓集，推出A为破晓集相矛盾，再证P14满足要求，当k1时，mP|mI14,kI14，可以分成2个破晓集的并集去证明，当k9时，去证明，最后它与Pn中的任何其他14k数之和都不是整数，从而得到答案.【详解】先证当n15时，Pn不能分成两个不相交的破晓集的并集，Pn可以分成两个不相交的破晓集的并集，假设当n15时，设A和B为两个不相交的破晓集，使ABPnIn．不妨设1A，则由于1322，所以3A，即3B，同理可得，6A，10B．又推出15A，但11542，这与A为破晓集相矛盾，再证P1414满足要求，当k1时，P可以分成2个破晓集的并集，事实上，只要取A1{1,2,4,6,9,11,13}，B1{3,5,7,8,10,12,14}，则A1和B1都是破晓集，且A1B1P14．当k4时，集合剩下的数组成集合,,,,m|mI14,kI14，km|mI14中，除整数外，k13522213159113713A,,,,B，可以分为下列2个破晓集的并：2,,，222222222

当k9时，集合1314m1245|mI14中，除整数外，剩下的数组成集合,,,,,,，333333k14510132781114A,,,,,B可以分为下列2个破晓集的并：33,,,,，3333333333最后，集合Cm|mI14,kI14,k1,4,9中的数的分母都是无理数，k它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令AA1A2A3C，BB1B2B3，则A和B是不相交的破晓集，且ABP14．综上，n的最大值为14.故选：B．【点睛】思路点睛：先证当n15时，Pn不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出A为破晓集相矛盾，再证P14满足要求去证明，最后它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题..三、解答题17.已知函数f(x)＝3＋k·3为奇函数．x－x(1)求实数k的值；(2)若关于x的不等式f(9ax22x1)＋f(13ax2)<0只有一个整数解，求实数a的取值范围．【答案】（1）k1；（2）[1,2)．【详解】试题分析：（1）根据题意奇函数，从而可知f(x)f(x)0对任意xR恒成立，从而即可求得k的值；（2）利用（1）中的结论以及f(x)的单调性，可将不等式等价转化为(ax2)(2x1)0，再有题意只有一个整数解，即可得到关于a的不等式，从而求解．试题解析：（1）显然f(x)的定义域为R，又∵f(x)是奇函数，∴fxfx3k3xx3xk3xk13x3x0对一切实数x都成立，∴k1；（2）易得f(x)为R上的单调递增函数，又由f(x)是奇函数，∴f9ax22x1+f13ax209ax22x13ax2132ax24x3ax22ax24xax2(ax2)(2x1)0，122a当a0时，显然不符合题意，当a0时，由题意不等式的解只有一个整数，从而可知不等式的解为(,)，∴该整数解为1，∴1221a2，即实数a的取值范围是[1,2)．a考点：1．奇函数的性质；2．不等式的性质．【思路点睛】若已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值，此外将函数的单调性、奇偶性、周期性等性质放在几个函数中进行综合考查，是近几年高考中对函数考查的新特点，本题涉及了二次函数、指数函数等．只要能够熟练掌握基本初等函数的性质、图象特征，此类问题就很容易解决．

18.已知关于x的不等式ax22x6a0的解集为A，集合B(2,3)．（1）若AB，求实数a的取值范围；（2）若BA，求实数a的取值范围．【答案】（1）a（2）a2；52；5【分析】(1)(2)由集合的包含关系转化为一元二次方程根的分布问题进行讨论即可.【小问1详解】由题意得a0，同时注意B，a0,0a02AB所以或f20,f30，解得a；50123a【小问2详解】BAf(x)0在B上恒成立；同时注意当a<0时，对称轴10，aa0,0a0所以BA或f20或a0，f20f30解得a2．519.1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式y15at（a0，a为常数）；若使用口服2t,0t1,方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y2（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式y245,1t4.t现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．（1）若a1，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．【答案】（1）当t2时血液中药物的浓度最高，最大值为6（2）0a54【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；

（2）讨论0t1和1t4两种情况，【小问1详解】当a1时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为t2t5,0t1,yy1y2410t,1t4.t①当0t1时，yt2t5(t1)266．②当1t4时，因为t所以ymax1046．故当t2时血液中药物的浓度最高，最大值为6．【小问2详解】44（当且仅当t2时，等号成立），tat2t5,0t1,由题意得y410at,1t4.t①当0t1时，at2t54at2t1a设u21，tt21t，则au22uu11，u1,，则u113,，故a3；2②当1t4时，10at由1t4，得a4444at6at6，ttt46，2tt22115393959令v，则a4v26v4v，v,1，则4v，故a．,t44444444综上，0a5．420.如果函数yf(x)的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f(xa)f(x)成立，则称此函数f(x)具有“性质P(a)”．（1）已知函数yf(x)具有“性质P(2)”，且当0x1时，f(x)x2x，求函数yf(x)在区间(1,2)上的函数解析式；（2）已知函数yg(x)既具有“性质P(0)”，又具有“性质P(2)”，且当1x1时，g(x)|x|，若函数yg(x)的图象与直线ypx有2023个公共点，求实数p的值；（3）已知函数yh(x)具有“性质P(2)”，当x1时，h(x)x不同的实数解，求实数m的取值范围．42，若h2(x)2mh(x)4m0有8个x1

【答案】（1）f(x)x25x6；（2）p（3）(4,)【分析】（1）设x(1,2)，则x2(0,1)，由题意可得f(x)f(x2)，代入即可得解；（2）利用数形结合，函数yg(x)的图象与过原点的直线ypx有2023个公共点，结合周期性求解即可；（3）根据分析可得h(x)3，令th(x)，若h2(x)2mh(x)4m0有8个不同的实数解，则1；202392t22mt4m0，两个大于3的根，利用一元二次方程结合根的判别式即可得解.【小问1详解】因为函数yf(x)具有“P(2)性质”，所以f(x2)f(x)恒成立，所以f(x2)f(x)，设x(1,2)，则x2(0,1)，所以f(x)f(x2)(x2)2x2x25x6；【小问2详解】yg(x)既具有“性质P(0)”，即g(x)g(x)，所以函数yg(x)偶函数，又yg(x)既具有“性质P(2)”，即g(x2)g(x)g(x)，所以函数yg(x)是以2为周期的函数．作出函数yg(x)的图象如图所示：由图象得当p0时，函数yg(x)与直线ypx交于点(2k,0)(kZ)，即有无数个交点，不合题意．当p0时，在区间[0,2022]上，函数yg(x)有1011个周期，要使函数yg(x)的图象与直线ypx有2023个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2023个交点恰好为(2023,1)，所以p11．同理，当p0时，p．202320231；2023442x113，x1x1综上，p【小问3详解】当x1时，h(x)x当且仅当x3时取等号，函数yh(x)具有“性质P(2)，则h(x2)h(x)，

所以当x1时，h(x)h(x2)x2则h(x)(x1442x，x1x14)13，当且仅当x=1时取等号，x1若h2(x)2mh(x)4m0有8个不同的实数解，令th(x)，4m216m0m3则t22mt4m0有两个大于3的根，所以，96m4m0所以4m99．所以m的取值范围为(4,).22x21.已知实数a1，函数f(x)a,g(x)2logax．（1）当ae时，过原点的直线l与函数f(x)相切，求直线l的方程；（2）讨论方程f(x)2g(x)的实根的个数；（3）若f(x)2g(x)有两个不等的实根x1,x2，求证：x1x22logae．【答案】（1）yex；（2）答案见解析；（3）证明见解析【分析】（1）求曲线过某点处的切线方程，设切点，根据导数的几何意义表示出关系即可解出；x（2）方程等价于alogax，通过变换构造函数m(x)xlnx，对函数进行分析，转化为分析函数n(x)lnxlnax的零点情况；（3）根据（2）的结果，知1aee，设两根为x1,x2，解决指对有关题目时，常借助【小问1详解】当ae时，f(x)ex，设切点为(t,et)，f(x)ex，1x1t构造函数.x2et因为切线过原点，所以et，得t1，所以直线l的方程为yex.t【小问2详解】即讨论alogax的实根的个数，alogax，即exlnaxxlnx，所以xlnaexlnaxlnx，lna设m(x)xlnx，则m(x)1lnx，11x0,时，m(x)1lnx0；x,时，m(x)1lnx0.ee所以m(x)在0,11,上单调递减，在上单调递增，eexlnam(x)，即maxm(x)，由题意得me

当a1时，ax1，当0x1时，xlnx0；当x1时xlnx0，xx此时mam(x)axlnalnx，x设n(x)lnx1lnxlna,n(x)，xx21n(x)在(0,e)上单调递增，(e,)上单调递减，n(x)maxn(e)lna，e当aee时，当1lnx1xlna0，lna无解，即alogax无解；exlnx1lna0，lna有1解xe，即axlogax有1解；exn(1)lna0,n(e)1lna0，eae1e时，当1ae1e时，则令p(x)lnxx,p(x)112x，x2x2x所以p(x)在0,4上单调递增，在4,上单调递减，所以p(x)p42ln220,lnxx，1lnxxn，所以n(x)lnalna20，lnaxx由零点存在定理，n(x)有2个零点，即alogax有2个解；综上，当xae11e时，alogax有1个零点；xx当1aee时，alogax有2个零点；当aee时，alogax有0个零点.【小问3详解】由已知可得，alogax有两个不等的实根x1,x2，由（2）得xx1x1ae，1e由于yax单调递增，所以alogax的两个不等的实根x1,x2，即等价于axx的两个不等的实根x1,x2，所以a1x1,a不妨设x1x2，令所以x2xx2x2，x1xtx2xt(0,1)，则ax1x21t，所以，1x2x2x1x2logatlogat，要证x1x22logae，t1即证(1t)x22logae，即证(1t)logat2logae，t1即证logat2(t1)logae，t1

即证lnt2(t1)，0t1t114(t1)22(t1)0，令(t)lnt，则(t)22t(t1)t(t1)t1所以(t)在0,1单调递增，所以(t)(1)0，证毕．【点睛】用导数解决复杂的函数零点问题时，常用到同构函数，即将原式等号两端构造为相同的形式，然后进行多次求导简化函数，另外要注意对参数进行分类讨论，从而解决问题.


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