2008年安徽省高考数学试卷(理科)及答案

2024年4月8日发(作者：吉水区小升初数学试卷及答案)

2008年安徽省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）复数i

3

（1+i）

2

=（ ）

A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i

2．（5分）集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}则下列结论正确的是

（ ）

A．A∩B={﹣2，﹣1}

B．（C

R

A）∪B=（﹣∞，0） C．A∪B=（0，+∞）

D．（C

R

A）∩B={﹣2，﹣1}

，，3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若

则=（ ）

B．（﹣3，﹣5） C．（3，5） D．（2，4）

A．（﹣2，﹣4）

4．（5分）m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确

的是（ ）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

5．（5分）将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点

中心对称，则向量α的坐标可能为（ ）

A． B． C． D．

6．（5分）设（1+x）

8

=a

0

+a

1

x+…+a

8

x

8

，则a

0

，a

1

，…，a

8

中奇数的个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．（5分）a＜0是方程ax

2

+2x+1=0至少有一个负数根的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）

2

+y

2

=1有公共点，则直线l

的斜率的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

9．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e

x

的图象关于直

线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）

=﹣1，则m的值是（ ）

A．﹣e B． C．e D．

10．（5分）设两个正态分布N（μ

1

，σ

1

2

）（σ

1

＞0）和N（μ

2

，σ

2

2

）（σ

2

＞0）曲线

如图所示，则有（ ）

A．μ

1

＜μ

2

，σ

1

＞σ

2

B．μ

1

＜μ

2

，σ

1

＜σ

2

C．μ

1

＞μ

2

，σ

1

＞σ

2

D．μ

1

＞μ

2

，σ

1

＜σ

2

11．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）

﹣g（x）=e

x

，则有（ ）

A．f（2）＜f（3）＜g（0） B．g（0）＜f（3）＜f（2） C．f（2）＜g（0）＜f

（3） D．g（0）＜f（2）＜f（3）

12．（5分）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中

抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）

A．C

8

2

A

3

2

B．C

8

2

A

6

6

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）函数

14．（4分）在数列{a

n

}中，

为常数，则的值是 ．

的定义域为 ．

，a

1

+a

2

+…a

n

=an

2

+bn，n∈N

*

，其中a，b

C．C

8

2

A

6

2

D．C

8

2

A

5

2

15．（4分）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化

到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 ．

16．（4分）已知A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6，

，AD=8，则B，C两点间的球面距离是 ．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．

，18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=

OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．

（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．

19．（12分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植

物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，

设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ=3，标准差σξ为

（Ⅰ）求n，p的值并写出ξ的分布列；

．

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．

20．（12分）设函数f（x）=（x＞0且x≠1）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）已知＞x

a

对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

21．（13分）设数列{a

n

}满足a

1

=0，a

n

+

1

=ca

n

3

+1﹣c，n∈N

*

，其中c为实数

（1）证明：a

n

∈[0，1]对任意n∈N

*

成立的充分必要条件是c∈[0，1]；

（2）设

（3）设

，证明：a

n

≥1﹣（3c）

n

﹣

1

，n∈N

*

；

，证明：

=1（a＞b＞0）过点

．

，且左焦点为22．（13分）设椭圆

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段

AB上取点Q，满足

•=•，证明：点Q总在某定直线上．

2008年安徽省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2008•安徽）复数i

3

（1+i）

2

=（ ）

A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i

【分析】复数i的幂的计算，直接乘积展开可得结果．

【解答】解：i

3

（1+i）

2

=（﹣i）（2i）=2，

故选A．

2．（5分）（2008•安徽）集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}则下列

结论正确的是（ ）

A．A∩B={﹣2，﹣1}

B．（C

R

A）∪B=（﹣∞，0） C．A∪B=（0，+∞）

D．（C

R

A）∩B={﹣2，﹣1}

【分析】由题意A={y|y=lgx，x＞1}，根据对数的定义得A={y|＞0}，又有B={﹣

2，﹣1，1，2}，对A、B、C、D选项进行一一验证．

【解答】解：∵A={y|y=lgx，x＞1}，

∴A={y|y＞0}，∵B={﹣2，﹣1，1，2}

A∩B={1，2}，故A错误；

（C

R

A）∪B=（﹣∞，0]，故B错误；

∵﹣1∈A∪B，∴C错误；

（C

R

A）={y|y≤0}，又B={﹣2，﹣1，1，2}

∴（C

R

A）∩B={﹣2，﹣1}，

故选D．

3．（5分）（2008•安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若

，则=（ ）

，

A．（﹣2，﹣4） B．（﹣3，﹣5） C．（3，5） D．（2，4）

，再根据平行四边形法则可以求出【分析】根据平行四边形法则，可以求出

结果，在运算过程中要先看清各向量的关系，理清思路以后再用坐标表示出结果．

【解答】解：∵

4．（5分）（2008•安徽）m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下

列命题中正确的是（ ）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，若m∥∂，n

∥∂，m，n可以相交也可以异面，故A不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，则α、

β可以相交也可以平行，故B不正确；若m∥α，m∥β，则α∥β，则α、β可以

相交也可以平行，故C不正确；m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平

行；故D答案正确；分析即可得到结论．

【解答】解：m，n均为直线，其中m，n平行α，m，n可以相交也可以异面，

故A不正确；

若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故B不正确；

若m∥α，m∥β，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故C不正确；

m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；

故选D．

5．（5分）（2008•安徽）将函数

关于点

A．

的图象按向量平移后所得的图象

，故选B．

中心对称，则向量α的坐标可能为（ ）

B． C． D．

【分析】先假设平移向量=（m，0），从而可以得到平移后的关系式，再由平移

后所得的图象关于点

可．

中心对称，将代入使其等于0求出m即

【解答】解：设平移向量

则函数按向量平移后的表达式为

因为图象关于点

故

k=0得：

故选C．

，代入得：

，

，

，

中心对称，

，﹣2m=kπ（k∈Z），

6．（5分）（2008•安徽）设（1+x）

8

=a

0

+a

1

x+…+a

8

x

8

，则a

0

，a

1

，…，a

8

中奇数的

个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】利用二项展开式的通项公式判断出展开式中项的系数即为二项式系数，

求出所有的二项式系数值，求出项为奇数的个数．

【解答】解：由（1+x）

8

=a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+…+a

8

x

8

可知：a

0

、a

1

、a

2

、、a

8

均为二项式系数，

依次是C

8

0

、C

8

1

、C

8

2

、、C

8

8

，

∵C

8

0

=C

8

8

=1，C

8

1

=C

8

7

=8，C

8

2

=C

8

6

=28，C

8

3

=C

8

5

=56，

C

8

4

=70，∴a

0

，a

1

，，a

8

中奇数只有a

0

和a

8

两个

故选A

7．（5分）（2008•安徽）a＜0是方程ax

2

+2x+1=0至少有一个负数根的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】先求△＞0时a的范围，结合韦达定理，以及特殊值a=1来判定即可．

【解答】解：方程ax

2

+2x+1=0有根，则△=2

2

﹣4a≥0，得a≤1时方程有根，

当a＜0时，x

1

x

2

=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，

显然a＜0⇒方程ax

2

+2x+1=0至少有一个负数根；

方程ax

2

+2x+1=0至少有一个负数根，不一定a＜0．

a＜0是方程ax

2

+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．

故选B．

8．（5分）（2008•安徽）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）

2

+y

2

=1有公

共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．

【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）

2

+y

2

=1有公共点，

，

圆心到直线的距离小于等于半径

得4k

2

≤k

2

+1，k

2

≤，

故选C．

9．（5分）（2008•安徽）在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e

x

的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对

称，若f（m）=﹣1，则m的值是（ ）

A．﹣e B． C．e D．

【分析】由函数y=g（x）的图象与y=e

x

的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）

的图象与y=e

x

互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象

与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数

y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求得m的值．

【解答】解：∵函数y=g（x）的图象与y=e

x

的图象关于直线y=x对称

∴函数y=g（x）与y=e

x

互为反函数

则g（x）=lnx，

又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称

∴f（x）=ln（﹣x），

又∵f（m）=﹣1

∴ln（﹣m）=﹣1，

故选B．

10．（5分）（2008•安徽）设两个正态分布N（μ

1

，σ

1

2

）（σ

1

＞0）和N（μ

2

，σ

2

2

）

（σ

2

＞0）曲线如图所示，则有（ ）

A．μ

1

＜μ

2

，σ

1

＞σ

2

B．μ

1

＜μ

2

，σ

1

＜σ

2

C．μ

1

＞μ

2

，σ

1

＞σ

2

D．μ

1

＞μ

2

，σ

1

＜σ

2

【分析】从正态曲线关于直线x=μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总

体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出σ的大小即可

解决．

【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，

显然μ

1

＜μ

2

，

正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小．

∴σ

1

＞σ

2

故选A．

11．（5分）（2008•安徽）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，

且满足f（x）﹣g（x）=e

x

，则有（ ）

A．f（2）＜f（3）＜g（0） B．g（0）＜f（3）＜f（2） C．f（2）＜g（0）＜f

（3） D．g（0）＜f（2）＜f（3）

【分析】因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（﹣x）=

﹣f（x），g（﹣x）=g（x）．

用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=e

﹣

x

，又由f（x）﹣g（x）

=e

x

联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而得到答案．

【解答】解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e

﹣

x

，即f（x）+g（x）=﹣e

﹣

x

，

又∵f（x）﹣g（x）=e

x

∴解得：

分析选项可得：

对于A：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故A错误；

对于B：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），故B错误；

对于C：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故C错误；

对于D：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），且f（3）＞f（2）＞0，而g（0）=

﹣1＜0，D正确；

故选D．

12．（5分）（2008•安徽）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要

从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的

总数是（ ）

A．C

8

2

A

3

2

B．C

8

2

A

6

6

C．C

8

2

A

6

2

D．C

8

2

A

5

2

，，

【分析】从后排8人中选2人共C

8

2

种选法，这2人插入前排4人中且保证前排

人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则

要插入前排5人的空挡，有6种插法为A

6

2

．

【解答】解：从后排8人中选2人共C

8

2

种选法，

这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，

则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；

余下的一人则要插入前排5人的空挡，

有6种插法，

∴为A

6

2

故选C．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（2008•安徽）函数的定义域为 {x|x≥3} ．

【分析】根据偶次开方的被开方数为非负数，可以得到：|x﹣2|﹣1≥0，又因为

对数函数的真数大于0且分母不能是0可以得到：x﹣1＞0，且x﹣1≠2，进而

根据以上条件求出x的取值范围，得出函数f（x）的定义域．

【解答】解：由题知：log

2

（x﹣1）≠0，且x﹣1＞0，解得x＞1且x≠2，

又因为|x﹣2|﹣1≥0，解得：x≥3或x≤1，

所以x≥3．

故答案为：{x|x≥3}．

14．（4分）（2008•安徽）在数列{a

n

}中，

其中a，b为常数，则的值是 1 ．

，a

1

+a

2

+…a

n

=an

2

+bn，n∈N

*

，

【分析】由，可知．从而得到a=2，，

由此可知．

【解答】解：∵，

∴，从而．

∴a=2，，则．

答案：1．

15．（4分）（2008•安徽）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从

﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 ．

【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，

最后由三角形面积公式解之即可．

【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，

动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1．

知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形，

所以区域的面积S

阴影

=S

△

ADC

﹣S

△

EOC

=

故答案为：．

16．（4分）（2008•安徽）已知A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，

BC⊥CD，若AB=6，，AD=8，则B，C两点间的球面距离是 ．

【分析】先求BC的距离，求出∠BOC的值，然后求出B，C两点间的球面距离．

【解答】解：如图，易得

∴

，，

，则此球内接长方体三条棱长为AB、BC、CD（CD的对边与CD等长），

，R=4

从而球外接圆的直径为

则BC与球心构成的大圆如图，因为△OBC为正三角形，

则B，C两点间的球面距离是

故答案为：．

．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）（2008•安徽）已知函数f（x）=cos（2x﹣

（x+）．

）+2sin（x﹣）sin

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．

【分析】（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可

将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=可求出最小正周期，令

，求出x的值即可得到对称轴方程．

（2）先根据x的范围求出2x﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值

上的值域．

和最大值，进而得到函数f（x）在区间

【解答】解：（1）∵

=

=

=

∴周期T=

sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）

=

由

∴函数图象的对称轴方程为

（2）∵

因为

单调递减，

所以当

又∵

所以函数f（x）在区间

，∴

在区间

，

上单调递增，在区间上

时，f（x）取最大值1，

，当时，f（x）取最小值

．

，

上的值域为

18．（12分）（2008•安徽）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1

的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．

（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．

【分析】方法一：（1）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面OCD，

方法是两个平面内相交直线互相平行得到，从而的到MN∥平面OCD；

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP

⊥CD于P，连接MP

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP菱形的对角相等得到∠ABC=∠ADC=

利用菱形边长等于1得到DP=，而MD利用勾股定理求得等于

，

，在直角三

角形中，利用三角函数定义求出即可．

（3）AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A

作AQ⊥OP于点Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD，

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，求

出距离可得．

方法二：（1）分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，分别表示

出A，B，O，M，N的坐标，

求出，，的坐标表示．设平面OCD的法向量为=（x，y，z），则

，

解得

（2）设AB与MD所成的角为θ，表示出

即可．

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为

的绝对值，由

得

，

．所以点B到平面OCD的距离为．

在向量上的投影

和

，∴MN∥平面OCD

，利用a•b=|a||b|cosα求出叫

【解答】解：方法一（综合法）

（1）取OB中点E，连接ME，NE

∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）

作AP⊥CD于P，连接MP

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP

∵，∴，，

∴

所以AB与MD所成角的大小为

．

（3）∵AB∥平面OCD，

∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，

∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，

∵，，

∴，所以点B到平面OCD的距离为．

方法二（向量法）

作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标

系：

A（0，0，0），B（1，0，0），

O（0，0，2），M（0，0，1），

（1），

，

，

，

=0，•=0

设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•

即

取

∵

，解得

•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，

∴MN∥平面OCD．

（2）设AB与MD所成的角为θ，

∵

∴

∴

，

，AB与MD所成角的大小为．

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为

影的绝对值，

由，得d==

在向量=（0，4，）上的投

所以点B到平面OCD的距离为．

19．（12分）（2008•安徽）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨

树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，

成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ=3，标准差σξ为

（Ⅰ）求n，p的值并写出ξ的分布列；

．

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．

【分析】（1）由题意知本题符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到

关于n和p的方程组，通过把np乘积整体代入的方法得到n和p的值，写出分

布列

（2）由第一问可以知道，对于变量小于或等于3所包含的事件的概率，由题意

知它们是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．

【解答】解：（1）由题意知本题符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式

得到，

Eξ=np=3，（σξ）

2

=np（1﹣p）=，

得1﹣p=，

从而n=6，p=

∴ξ的分布列为

ξ

P

0

1

2

3

4

5

6

（2）记”需要补种沙柳”为事件A，则未成活的数量大于等于3，则ξ≤3，

则P（A）=P（ξ≤3），

得

20．（12分）（2008•安徽）设函数f（x）=

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）已知＞x

a

对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

（x＞0且x≠1）．

，

【分析】（Ⅰ）求单调区间既是求函数导数大于或小于0的区间，我们可以用图

表表示使结果直观．

（Ⅱ）对于未知数在指数上的式子，往往取对数进行解答．

【解答】解：（Ⅰ）

x

，若f′（x）=0，则

列表如下

（1，+∞）

f′（x）

f（x）

+

单调增

0

极大值

﹣

单调减

﹣

单调减

（Ⅱ）在

（1）

两边取对数，得，由于0＜x＜1，所以

由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时，

为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当

，

，即a＞﹣eln2

21．（13分）（2008•安徽）设数列{a

n

}满足a

1

=0，a

n

+

1

=ca

n

3

+1﹣c，n∈N

*

，其中c

为实数

（1）证明：a

n

∈[0，1]对任意n∈N

*

成立的充分必要条件是c∈[0，1]；

（2）设

（3）设

，证明：a

n

≥1﹣（3c）

n

﹣

1

，n∈N

*

；

，证明：．

【分析】（1）先证明必要性：a

2

∈[0，1]⇒c∈[0，1]，再证明充分性：设c∈[0，

1]，对n∈N

*

用数学归纳法证明a

n

∈[0，1]．

（2）设，当n=1时，a

1

=0，结论成立．当n≥2时，a

n

=ca

n

﹣

1

3

+1﹣c，1

﹣a

n

=c（1﹣a

n

﹣

1

）（1+a

n

﹣

1

+a

n

﹣

1

2

），所以1+a

n

﹣

1

+a

n

﹣

1

2

≤3且1﹣a

n

﹣

1

≥0，由此能

够导出a

n

≥1﹣（3c）

n

﹣

1

（n∈N

*

）．

（3）设，当n=1时，，结论成立．当n≥2时，a

n

2

≥（1﹣（3c）

n

﹣

1

）

2

=1﹣2（3c）

n

﹣

1

+（3c）

2

（

n

﹣

1

）

＞1﹣2（3c）

n

﹣

1

，所以

．

【解答】解：（1）必要性：∵a

1

=0，∴a

2

=1﹣c，

又∵a

2

∈[0，1]，∴0≤1﹣c≤1，即c∈[0，1]

充分性：设c∈[0，1]，对n∈N

*

用数学归纳法证明a

n

∈[0，1]

当n=1时，a

1

=0∈[0，1]．假设a

k

∈[0，1]（k≥1）

则a

k

+

1

=ca

k

3

+1﹣c≤c+1﹣c=1，且a

k

+

1

=ca

k

3

+1﹣c≥1﹣c=≥0

∴a

k

+

1

∈[0，1]，由数学归纳法知a

n

∈[0，1]对所有n∈N

*

成立

（2）设，当n=1时，a

1

=0，结论成立，

当n≥2时，∵a

n

=ca

n

﹣

1

3

+1﹣c，

∴1﹣a

n

=c（1﹣a

n

﹣

1

）（1+a

n

﹣

1

+a

n

﹣

1

2

）

∵，由（1）知a

n

﹣

1

∈[0，1]，所以1+a

n

﹣

1

+a

n

﹣

1

2

≤3且1﹣a

n

﹣

1

≥0

∴1﹣a

n

≤3c（1﹣a

n

﹣

1

）

∴1﹣a

n

≤3c（1﹣a

n

﹣

1

）≤（3c）

2

（1﹣a

n

﹣

2

）≤≤（3c）

n

﹣

1

（1﹣a

1

）=（3c）

n

﹣

1

∴a

n

≥1﹣（3c）

n

﹣

1

（n∈N

*

）

（3）设，当n=1时，，结论成立

当n≥2时，由（2）知a

n

≥1﹣（3c）

n

﹣

1

＞0

∴a

n

2

≥（1﹣（3c）

n

﹣

1

）

2

=1﹣2（3c）

n

﹣

1

+（3c）

2

（

n

﹣

1

）

＞1﹣2（3c）

n

﹣

1

∴a

1

2

+a

2

2

+…+a

n

2

=a

2

2

+…+a

n

2

＞n﹣1﹣2[3c+（3c）

2

+…+（3c）

n

﹣

1

]

=n﹣1﹣2×

=n﹣1﹣2×

=

22．（13分）（2008•安徽）设椭圆

左焦点为

=1（a＞b＞0）过点，且

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段

AB上取点Q，满足•=•，证明：点Q总在某定直线上．

，且有a

2

=b

2

+c

2

，又点M的坐标满足椭【分析】（Ⅰ）通过椭圆焦点坐标知c=

圆方程，则列方程组解之即可；

（Ⅱ）欲证点Q总在某定直线上，所以先设点Q的坐标为变量（x，y），点A、B

的坐标分别为参数（x

1

，y

1

）、（x

2

，y

2

），然后根据已知条件可变形得

设其比值为λ则有、

，

，此时利用定比分点定理可得A、B、P

三点横坐标关系及纵坐标关系，同时可得A、B、Q三点横坐标关系及纵坐标关

系，又因为点A、B的坐标满足椭圆方程，则有x

1

2

+2y

1

2

=4，x

2

2

+2y

2

2

=4，再利用

已得关系式构造x

1

2

+2y

1

2

与x

2

2

+2y

2

2

则可整体替换为4，同时消去参数λ，最后得

到变量x、y的关系式，则问题得证．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，

解得a

2

=4，b

2

=2，

所以椭圆C的方程为

．

（Ⅱ）设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x

1

，y

1

），（x

2

，y

2

）．

由题设知

且λ≠1

又A，P，B，Q四点共线，从而

于是，，，

，，，均不为零，记，则λ＞0

从而①，②，

又点A、B在椭圆C上，即x

1

2

+2y

1

2

=4 ③，x

2

2

+2y

2

2

=4 ④，

①+②×2并结合③、④得4x+2y=4，

即点Q（x，y）总在定直线2x+y﹣2=0上．