谈反证法在分析学中的应用文献综述

2024年3月21日发(作者：八上数学试卷第二单元沪)

谈反证法在分析学中的应用

XXX

（莆田学院数学学院 指导教师: XXX)

一、 研究背景及动态

反证法的应用是分析学中的一个非常重要的课题,它不但是高等数学和数学分析中许

多问题的解题基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的

进一步研究提供了坚实的理论依据。目前国内外已经有很多学者研究反证法在分析学中的

应用这个课题。

一般而言，在现在的大学学习阶段，对于反证法的应用提及的不少,但只是说到一些表

面的应用，而且没有针对反证法的应用进行分类归纳。而现行的数学专业教材中则很少对

此作出总结，文献综述也较为分散，本课题是在前人学者研究的基础之上针对教材相关知

识点的概括和升华。对以后解决相关的命题可能会起到不可替代的作用，为我们进一步学

习和掌握相关内容提供了更好更全的方法。

二、 评述

从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证

法。反证法是一种十分重要的数学证明方法,它的使用可以上溯到毕达哥拉斯学派，与无理

数的发现密切相关。法国数学家阿达玛(ard，1865~1963）对反证法的实质做

过概况：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。英国数学家牛顿曾经说过：

“反证法是数学家最精当的武器之一\"。正是由于前人学者对于反证法的重视和研究，也是

由于反证法的重要性,以至于现在我们不得不重新审视反证法，对于反证法的应用再次进行

归纳总结和推广。

陈艳凌、陈继龙、张锐梅几位学者在“关于数学分析中宜用反证法证明的问题”一文

中指出,运用反证法证明的习题类型及规律是：1。证明“函数某个特定常数”;2。在已知极

限存在货易证出极限存在的前提下，证明“极限等于零\"或“极限等于某个特定常数”；3。

证明有关“不存在”的题目;4。证明“至少有一点”的题目，对于题设中函数不具连续条

件者，有时适宜用实数理论找点，再用反证法证明为所求;5。证明集合个数为“有限个”；

6。证明“函数有界限”；7。证明“最多只有”的题目；8。证明“唯一性”。

徐秀娟在“反证法在高等数学证明题中的应用”中通过对于具体例题的分析，归纳出

一些多采用反证法证明的命题，如命题结论涉及“否定”含义；命题结论涉及“无限”；命

题结论出现“至少……\"、“至多……”、“仅有……\"形式等，采用反证法证明较易的问题。

我国学者郭建在“分析学中的逻辑方法”一文中指出，分析学中，关于唯一性的各种

命题的论证，多用反证法。并阐述了反证法的两种形式——归谬法和穷举法.在数学逻辑的

角度对反证法的应用进行了说明。

学者殷堰工在“数学分析中的反证法\"一文中指出反证法对于那些抽象程度高而且用直

接证法难于达到目的的数学命题常常奏效.同时通过对大量的反证法处理的命题进行分析、

归纳、总结出一些适用反证法的规律性问题。

孟红玲、赵远在“反证法在高等数学中的应用举例”中说明了反证法的含义，及用反

证法证明的严密性，反证法的证明步骤，及适宜用反证法证明的问题。同时本文的一些经

典例题参考自孙涛的“数学分析经典习题解析”以及李明振的“数学方法与解题研究\"。

参考了大量的关于此类命题研究的文章，选取了对笔者启发比较大比较有代表性的一

些文章进行参考.随着历史的车轮时间的脚步，通过前人学者的研究我们可以发现，反证法

的定义大致上没有什么改变，但是在对于细节上日臻完善。同样在对反证法在分析学中的

应用，前人学者也都各自有着自己的看法和见解。总结分类方面也不尽相同，笔者就是在

前人的研究基础之上,进行了再一次的探究和论证，希望对以后的学者在对反证法在分析学

中的应用方面有着更好的认识,能够抓住要点，掌握精髓.

三、 结论

总体上来看,在分析学中宜用反证法证明的命题形式分为几种:1、结论为否定形式的命

题;2、结论为以“至少\"、“至多”、“任一”、“惟一”、“无一”、“全部\"等形式出现的命题；

3、结论以“无限\"的形式出现或涉及“无限\"性质的命题；4、关于存在性的命题；5、已知

条件少或从已知出发所能推出结论甚少的命题，以及其他的一些方面等,笔者就是从前人学

者的基础上进行再次总结，并对接触到的关于反证法在分析学中应用的新的形式或题型进

行了总结和例举。由于水平知识有限，所以文章存在着这样那样的漏洞和缺点，希望大家

能帮忙改正。

参考文献:

[1］陈艳凌，陈继龙,张锐梅. 关于数学分析中宜用反证法证明的问题[J]. 齐齐哈尔师

范高等专科学校学报，2007，03:125-126。

［2]徐秀娟. 反证法在高等数学证明题中的应用[J］. 河北理工学院学报（社会科学

版）,2005，04:115—117.

[3］孟红玲,赵远. 反证法在高等数学中的应用举例[J]. 洛阳大学学报，

2002,04:110—112.

[4］郭健。 分析学中的逻辑方法［J］. 商洛师专学报,1995,02:1-7。

［5］殷堰工。 数学分析中的反证法[J]. 南都学坛,1990，03：67—71.

［6]李明振.数学方法与解题研究［M］。上海科技教育出版社，2003

［7］孙涛。数学分析经典习题解析[M]。高等教育出版社，2004