宜宾市初中数学试卷分类汇编幂的运算易错压轴解答题(附答案)

2023年12月2日发(作者：营口2019中考数学试卷)

宜宾市初中数学试卷分类汇编幂的运算易错压轴解答题(附答案)

一、幂的运算易错压轴解答题

1．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax=N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN，例如：32=9，则log39=2，其中a=10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN.当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(M•N)=logaM+logaN.

（1）解方程：logx4=2；

（2）log28=________

（3）计算：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018=________(直接写答案)

2．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子23＝8可以变形为log28＝3， log525＝2也可以变形为52＝25.在式子23＝8中， 3叫做以2为底8的对数，记为log2 8.一般地，若an＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则 叫做以a为底b的对数，记为logab ，即 logab＝n.根据上面的规定，请解决下列问题：

（1）计算：log3 1＝________， log2 32=________， log216+ log24 ＝ ________，

（2）小明在计算log1025+log104 的时候，采用了以下方法：

设log1025=x， log104=y

∴ 10x=25 10y=4

∴ 10x+y=10x×10y=25×4=100=102

∴ x+y=2

∴ log1025+log104=2通过以上计算，我们猜想logaM+ logaN等于多少，请证明你的猜想.

3．阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（,1550-1617年）,纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr,1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系.

对数的定义：一般地，若 ＝N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN,比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525,可以转化为指数式52＝25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）＝logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下：

设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,

∴M•N＝am•an＝am+n,由对数的定义得m+n＝loga（M•N）

又∵m+n＝logaM+logaN

∴loga（M•N）＝logaM+logaN

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式34＝81转化为对数式________；

（2）求证：loga ＝logaM－logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),

（3）拓展运用：计算log69+log68－log62＝________.

4．

（1）已知m＋4n-3=0，求2m·16n的值．

（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2－2（x2）2n的值．

5．规定：求若干个相同的有理数（不等于0）的除法运算叫做除方，如

，

记作

（

④ ， 读作“

等．类比有理数的乘方，

的圈4次方”，一般地，我们把

）记作

ⓝ ， 读作“a的圈n次方”．

④=________.

④= =

（1）直接写出计算结果：2③= ________，

（2）有理数的除方可以转化为乘方幂的形式.如

=

形式：

= ，直接将下列的除方形式写成乘方幂的

④=________；5ⓝ=________．

．

（3）计算：

6．计算：

（1）（2）7．求代数式的值：

（1）已知

（2）已知

，

=________．

=________．

，求

，

的值.

，求 ， 的值.

，那么(a，b)=c．

8．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果

例如：因为23=8，所以(2，8)=3．

（1）根据上述规定，填空：（3，27）=________，（5，1）=________，（2， ）=________．

（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ， 4n）=（3，4）小明给出了如下的证明：

设（3n ， 4n）=x，则（3n）x=4n ， 即（3x）n=4n ，

所以3x=4，即（3，4）=x，

所以（3n ， 4n）=（3，4）．

请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3，4)+(3，5)=(3，20)

9．若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？试试看，相信你一定行！

（1）若2×2x=8，求x的值；

（2）若（9x）2=38 ， 求x的值．

10．综合题

（1）已知4m=a，8n=b，用含a，b的式子表示下列代数式：

①求：22m+3n的值

②求：24m﹣6n的值

（2）已知2×8x×16=223 ， 求x的值．

11．综合题。

（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值；

（2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．

12．我们规定：

（1）试求

（2）想一想

的值；

与 相等吗？请说明理由.

，例如 ，请解决以下问题：

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、幂的运算易错压轴解答题

1．（1）解：∵logx4=2，

∴x2=4,

∴x=2或x=-2(舍去)

（2）3

（3）-2017

【解析】【解答】(2)解：∵8=23 ，

∴log28=3,

故答案为3；

解析： （1）解：∵logx4=2，

∴x2=4,

∴x=2或x=-2(舍去)

（2）3

（3）-2017

【解析】【解答】(2)解：∵8=23 ，

∴log28=3,

故答案为3；

( 3 )解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018

= lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018

= lg2 +1g5﹣2018

=1-2018

=-2017 故答案为-2017.

【分析】(1)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可； (2)根据对数的定义求解即；；(3)根据loga(M•N)=logaM+logaN求解即可.

2．（1）0；5；6

（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N），

证明：设logaM=x， logaN=y

∴ ax=M， ay=N

∴ ax+y=ax×a

解析： （1）0；5；6

（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N），

证明：设logaM=x， logaN=y

∴ ax=M， ay=N

∴ ax+y=ax×ay=M·N

∴loga（M·N）= x+y

∴logaM+ logaN =x+y= loga（M·N）

【解析】【解答】解：（1）∵

故答案为：0；5；6.

【分析】（1）根据题意，利用对数的逆运算计算即可；（2）设logaM=x， logaN=y，根据对数的定义可得ax=M， ay=N，然后根据同底数幂乘法的逆用可得ax+y=M·N，再将其写成对数的形式即可证出结论.

， ， ，

∴log3 1＝0，log2 32=5，log216+ log24 ＝4＋2=6

3．（1）4=log381（或log381=4）

（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,

∴ MN ＝ aman ＝am－n,由对数的定义得m－n＝loga MN

解析： （1）4=log381（或log381=4）

（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,

∴ ＝ ＝am－n,由对数的定义得m－n＝loga

又∵m－n＝logaM－logaN

∴loga

＝logaM－logaN

（3）2

【解析】【解答】（1）由题意可得，指数式34=81写成对数式为：4=log381 ， 故答案为：

4=log381（或log381=4） 。

（3）解： log69+log68－log62 =log6(9×8÷2=log636=2.

）【分析】（1）根据对数概念，即可将指数式改写成对数式；

（2） 设logaM＝m,logaN＝n,根据对数的定义可表示为指数式为:M＝am,N＝an, 然后代入 按同底数幂的除法法则算出结果，再根据题干中所给的对数定义及公式即可得出结论；

（3） 根据公式loga（M•N）＝logaM+logaN 及 loga

＝logaM－logaN 的逆用即可即可将式子log69+log68－log62表示为log6(9×8÷2），从而根据对数定义算出答案。

4．（1）解：∵m＋4n-3=0，∴m＋4n=3， = = 2m+4n = 23 =8

（2）解：原式= x6n-2x4n = (x2n)3-2(x2n)2 =64﹣2×16=64﹣32=32

解析： （1）解：∵m＋4n-3=0，∴m＋4n=3，

（2）解：原式= =

= = = =8

=64﹣2×16=64﹣32=32

【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则变形后，代入已知即可得到结论；（2）原式变形后代入计算即可求出值．

5．（1）12；4

（2） 2；

（3）.解：

【解析】【解答】2③=2÷2÷2=12；（-12）④=.

【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）根据乘方和除方是互逆运算即可解题；（3）利

解析： （1）；4

（2）

2；

（3）.解：

【解析】【解答】2③=2÷2÷2=；（-）④=.

【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）根据乘方和除方是互逆运算即可解题；（3）利用上一问结论直接代入解题即可.

6．（1）(x-y)5

（2）

【解析】【解答】（1）原式= = ；

（2）原式= = ．

故答案为： ．

【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可；

（2）将多

解析： （1）（2）

【解析】【解答】（1）原式=

（2）原式=

故答案为： ．

=

=

；

．

【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可；

（2）将多项式的每一项分别除以2x2即可.

7．（1）解：因为 am=8 ， an=6 ，

所以 =8×62=288

（2）解：根据完全平方公式得：(a+b)2=a2+2ab+b2=18①，

(a-b)2=a2-2ab+b2=

解析： （1）解：因为

所以

， ，

=8×62=288

（2）解：根据完全平方公式得：(a+b)2=a2+2ab+b2=18①，

(a-b)2=a2-2ab+b2=12②，

①+②得：2(a2+b2)=30，

∴a2+b2=15，

①-②得：4ab=6，

∴ab=1.5

【解析】【分析】(1)逆用同底数幂乘法法则及逆用幂的乘方运算法则进行求解；(2)根据完全平方公式把(a+b)2=18，(a-b)2=12展开，然后两式相加即可求出a2+b2的值，两式相减即可求出ab的值．

8．（1）3；0；-2

（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则 3x=4 ， 3y =5，∴ ，∴（3，20）=x+y ，

∴(3，4)+(3，5)=(3，20)

【解析】（1）∵33=27

解析： （1）3；0；-2

（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则

（3，20）=x+y ，

∴(3，4)+(3，5)=(3，20)

【解析】（1）∵33=27，50=1，2-2= ，∴（3，27）=3，（5，1）=0，（2， ）=-2．

故答案依次为：3，0，-2

【分析】根据新定义的运算得到幂的运算规律，由幂的运算规律得到相等的等式.

， =5，∴ ，∴9．（1）解：原方程等价于

2x+1=23 ，

x+1=3，

解得x=2；

（2）解：原方程等价于

34x=38 ，

4x=8，

解得x=2．

【解析】【分析】（1）根据am=an（

解析： （1）解：原方程等价于

2x+1=23 ，

x+1=3，

解得x=2；

（2）解：原方程等价于

34x=38 ，

4x=8，

解得x=2．

【解析】【分析】（1）根据am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，可得答案；（2）根据am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，可得答案．

10．（1）解：∵4m=a，8n=b，

∴22m=a，23n=b，

22m+3n=22m•23n=ab；

②24m﹣6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2= a2b2

（2）解∵2×8

解析： （1）解：∵4m=a，8n=b，

∴22m=a，23n=b，

22m+3n=22m•23n=ab；

﹣6n②24m=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=

（2）解∵2×8x×16=223 ，

∴2×（23）x×24=223 ，

∴2×23x×24=223 ，

∴1+3x+4=23，

解得：x=6：

【解析】【分析】（1）分别将4m ， 8n化为底数为2的形式，然后代入①②求解；（2）将8x化为23x ， 将16化为24 ， 列出方程求出x的值．

11．（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，

∴ay=5，

∴ax+ay=5+5=10

（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900

【解析】【分析】

解析： （1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，

∴ay=5，

∴ax+ay=5+5=10

（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900

【解析】【分析】（1）先根据同底数幂乘法运算的逆运算得出ax+y=ax•ay=25，根据ax=5可得ay=5，代入即可求解；（2）将原式利用同底数幂乘法运算的逆运算进行变形为（10α）2•（10β）2 ， 即可求解．

12．（1）解： =107×108=107+8=1015.

（2）解： =10a+b×10c=10a+b+c

=10a×10b+c=10a+b+c

∴ =

【解析】【分析】（1）根据定义新运

解析： （1）解：

（2）解：

=107×108=107+8=1015.

=10a+b×10c=10a+b+c

=10a×10b+c=10a+b+c

∴ =

，【解析】【分析】（1）根据定义新运算，仿照示范得出7 ⊗ 8 =107×108再根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加得出结果；

（2）根据定义新运算，仿照示范得出( a + b ) ⊗ c =10a+b×10c再根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加得出结果；同理得出

=10a×10b+c=10a+b+c再比较它们的大小即可得出结论。

，，