第十讲(数学期望)

2023年12月28日发(作者：普通班的数学试卷)

教 案

备课时间： 年 月 日 第 10 次课 3 学时

章节 §4.1 课题 数学期望

1、理解数学期望的定义并且掌握它们的计算公式；

2、掌握数学期望的性质，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用数学期望的性质目的

要求

计算某些随机变量函数的数学期望。

3、熟记0－1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望。

【重点】：数学期望的概念、计算及性质

重点

难点

【难点】：数学期望的计算、性质及其应用

教学

方法

课堂面授

主要

参考

资料

《概率论与数理统计》，浙江大学，盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社。

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一、离散型随机变量的数学期望

引例：一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1得1分，脱靶（即射入区域e0）得0分，射手得分数为一随机变量X，现在射击N次，得2分有a2次，得1分有a1次，得0分有a0次，计算射手一次射击的平均得分数。

a00a11a222ak计算得射手一次射击的平均得分数为：k，

NNk0其中ak在一定意义下接近于事件{Xk}的概率pk。

N受上面问题的启发，为此，对一般离散型随机变量，我们引入如下定义：

x1定义1: 设为离散型随机变量，其分布列为：p1则称E=iiiix2p2，若xipi+

i1xpx=xp为的数学期望或均值。

i1i1〖注〗：①当级数xi1ipi发散时，E不存在。

②为使E与各项的次序无关，必须要求则E不唯一，这自然不行。

二、连续型随机变量的数学期望

xi1i否则，若xipi条件收敛，pi收敛；i1定义2：设为连续型随机变量，其密度函数为f(x)，若广义积分收敛时，则定义的数学期望或均值为E()上述定义设~F(x)，若xf(x)dx<+xf(x)dx；否则E不存在。

xdF(x)<，则E()xdF(x)。

）（xi,xi1]内的概[注]：设想取很密的分点x0x1xn将（，分割，则落在率等于P{xixi1}F(xi1)F(xi)xi1xif(x)dxf(xi)(xi1xi)，因此与以概率F(xi1)F(xi)[或f(xi)(xi1xi)]取值xi的离散型随机变量相似，而后者的数学期望为x[F(xiii1)F(xi)][或xif(xi)(xi1xi)]，这个和式的极限就是ixdF(x)[或xf(x)dx]。

2

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Eg1：某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分X是一个随机变量，据以往资料表明其分布律为

X

P

0 1 2 3 4 5

0.04

6

0.18

7

0.37

8

0.25

9

0.12

10

0.01 0.002 0.001 0.002 0.005 0.02

试求X的数学期望。

Eg2：有两个相互独立工作的电子装置，他们的寿命X服从同一指数分布，其概率密度为

1x/e,x0,f(x)0.

0,x0,若将这两个电子装置串联组成整机，求整机寿命N的数学期望。

Eg3：按规定，火车站每天8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：

到站时间

概率

8:10-9:10

1/6

8:30-9:30

3/6

8:50-9:50

2/6

(1) 旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。

(2) 旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。

Eg4：某商店对某种家电的销售采用先使用后付款的方式，使用寿命为X，规定：

X1,一台付款1500元；

1X2一台付款2000元；

2X3一台付款2500元；

X3一台付款3000元

1x/10,x0,e设寿命X服从指数分布，概率密度为：f(x)10

0,x0,试求该商店一台这种家电收费Y的数学期望。

Eg5：在一个人数很多的单位中普查某疾病,

N个人验血，可用两种方法: (1) 每个人化验一次，共需化验N次；2)

k个人的血混合化验，如果结果是不含该病菌，说明这k个人都无该病，这样k个人化验一次即可；如果结果是含该病菌，则该组每个人再分别化验一次，k个人共化验

k1 次. 试问用哪一种方法可减少化验次数？

Eg6：求泊松分布的数学期望。

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Eg7：求均匀分布的的数学期望。

三、随机变量函数的数学期望

1.是离散型随机变量数学期望为：E=E[g()]=g()是离散型随机变量若g(xi)pi<+，则定义的iiig(x)P，其中piP{xi},i1,2,

2.是连续型随机变量，其密度函数为f(x)，则g()是连续型随机变量

若g(x)f(x)dx<+，则称g()的数学期望为

EE[g()]g(x)f(x)dx

对二维的情形：

3.设(,)为二维离散型随机变量，其联合分布列为Pij，g(x,y)是二元连续函数，则g(,)为一维随机变量。若g(xiyj)Pij<+─—收敛，则称g(,)的数i1j1学期望为E[g(,)]=g(xyii1j1j)Pij

4.设(,)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，若

g(x,y)f(x,y)dxdy<+,

则称g(,)的数学期望为E[g(,)]=g(x,y)f(x,y)dxdy

0va其它，又设飞机机翼1Eg8：设风速V在(0,a)服从均匀分布，密度函数为f(x)a02受到的正压力W是V的函数：WkV，试求W的数学期望。

332Eg9：设风速随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)2xy0数学期望E(Y),E(

1yx,x1x，求W的其它1)。

XY 4

Eg10：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而挤压一件产品导致n元的损失，预测销售量Y服从指数分布，其概率密1y/e,y0,0. 度为：f(y)0,y0,问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？

Eg11：某甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜，他就将此项目以10千美元转让给他人，可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7-11千美元之间均匀分布，问甲应如何报价才能使获得收益的数学期望最大？（若甲中标必须将此项目已他自己的报价买下）

四、数学期望的性质

1.若ab则aEb，特别地：Ｅｃ＝Ｃ，这里abc为常数。

ｐroof：设~P(x)，若g(x)C，则g(）=C

E()=g(x)P(x)dx=CP(x)dx=CP(x)dx=C

思考：若E存在，则EE()?

2.常数a,b有E(a＋b)＝aE＋bE

ｐroof：设(,)~P(x,y)，令=g(x,y)=a＋b，则：

E= E(a＋b)

=(ax+by)P(x,y)dxdy=ax[P(x,y)dy]dx+by[P(x,y)dx]dy

=axP(x)dx+byP(x)dy=aEbE

推论：①对常数C E（C）=CE

②E(＋)=E＋EE(3.若,相互独立，则E)=E()

iiii=EE

事实上E=xyP(x,y)dxdy=xyP(x)P(y)dxdy

5

=xP(x)dxy P(y)dy=E＋E

推论：若1,2,n相互独立，则E(12n)E1E2En

注：性质3的逆不成立。

Eg12： 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求E(X).

Eg13： 设一电路中电流I与电阻R是两个相互独立的随机变量，其概率密度为

r22i0i1g(i)，h(r)9其它00试求电压VIR的均值。

1、仔细阅读P90-100；

作业 2、作业：P114 5,7,8；

3、预习P100-106.

0r3其它，

后记

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