积分形式的Minkowski不等式和逆Minkowski不等式的证明

2024年4月10日发(作者：高考数学试卷哪省难)

积分形式的Minkowski不等式和逆

Minkowski不等式的证明

作者：高云天，霍云霄

来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》 2016年第8期

高云天，霍云霄

（吉林师范大学数学学院,吉林四平136000）

摘要：Minkowski（闵可夫斯基）不等式在数学诸多领域中都有着重要的作用。本文首先证

明了杨格不等式、积分形式的赫尔德不等式和逆赫尔德不等式，然后通过赫尔德不等式和逆赫

尔德不等式证明了积分形式下的Minkowski 不等式及逆Minkowski 不等式。

关键词：杨格不等式；赫尔德不等式；逆赫尔德不等式；Minkowski 不等式；逆

Minkowski 不等式

doi:10.16083/.1671—1580.2016.08.054

中图分类号：O178 文献标识码：A 文章编号：1671—1580（2016）08—0172—03

收稿日期：2016-03-31

作者简介：高云天（1990—），男，吉林四平人，吉林师范大学数学学院硕士研究生。研

究方向：应用数学。

霍云霄（1993—），女，吉林双辽人，吉林师范大学数学学院硕士研究生。研究方向：运

筹学与控制论。

Minkowski 不等式在最优化控制，偏微分方程，泛函分析等领域中有着重要的应用。

Minkowski 不等式从提出（离散形式）到现在的一百多年的时间里，人们对Minkowski 不等式

进行不断研究，得出了多种推广形式，研究者们对Minkowski 不等式证明也提出了多种方法。

Minkowski 不等式的积分形式是由里斯Riesz，F.提出的，后来为建立LP 空间理论起到了重要

的工具作用。

杨格不等式、赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式之间有着密切的联系，本文首先证明了杨

格不等式，然后利用杨格不等式证明出了赫尔德不等式，利用赫尔德不等式证明出了逆赫尔德

不等式，再通过赫尔德不等式和逆赫尔德不等式推导出闵可夫斯基不等式和逆闵可夫斯基不等

式。

一、杨格不等式、赫尔德不等式及逆赫尔德不等式的证明

三、结语

杨格不等式和赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式都是重要的经典不等式，在数学诸多领域

中都有着重要的作用，正是因为其重要性，研究者们在不断探索这些不等式的证明和其推广形

式，其应用也越来越广泛。闵可夫斯基不等式主要有离散型闵可夫斯基不等式、积分型闵可夫

斯基不等式和正定矩阵型闵可夫斯基不等式以及多种的推广形式。作为学者的我们不仅要学会

证明这些重要的不等式，还要学会如何应用它们。

［参考文献］

［1］王明新.索伯列夫空间［M］.高等教育出版社.2009.

［2］王术.Sobolev空间与偏微分方程引论［M］.科学出版社.2009.

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［4］张愿章.Young 不等式的证明及应用［J］.河南科学，2004（01）. ［5］魏巍，乔建

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［责任编辑：韩璐］