八年级上数学动点问题

2024年4月2日发(作者：武清区期末测试数学试卷)

八年级上数学动点问题

1.已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，

N是AC上的一个动点，求DN+MN的最小值。

在正方形ABCD中，DM=2，因此MC=6.由于N是AC

上的一个动点，因此可以将___表示为DN+NC+CM。根据三

角不等式，有DN+NC+CM≥DC=8.因此，DN+MN的最小值为

8-6=2.

2.在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，

P、Q分别从A,C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，

Q以2cm/s的速度由C向B运动，几秒后四边形ABQP是平

行四边形？

由于AD∥BC，因此四边形ABCD是梯形。设四边形

ABQP是平行四边形，那么AP∥BQ且AQ∥BP。根据速度和

距离的关系，可以得到AP=AD-1t，BQ=BC-2t。因此，当

AD-1t=BC-2t时，四边形ABQP是平行四边形。解得t=2.

3.在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=14cm，

AD=15cm，BC=21cm，点M从A点开始，沿AD边向D运动，

速度为1cm/s，点N从点C开始沿CB边向点B运动，速度为

2cm/s，设四边形MNCD的面积为S。

1) 设时间为t，根据速度和距离的关系，可以得到AM=t，

CN=21-2t。因此，四边形MNCD的高为15，底为21-2t，面

积为S=15(21-2t)/2=157.5-15t。

2) 四边形MNCD是平行四边形，当且仅当MN∥CD，即

∠MAD=∠CBA。根据正弦定理，有

sin∠MAD/15=sin∠CBA/21，解得sin∠MAD=sin∠CBA/7.因

为∠MAD和∠CBA都是锐角，所以当

sin∠MAD=sin∠CBA/7=1时，四边形MNCD是平行四边形。

解得t=0.5.

3) 四边形MNCD是等腰梯形，当且仅当MN=CD，即

∠MAD=∠BCD。根据正弦定理，有

sin∠MAD/15=sin∠BCD/21，解得sin∠MAD=sin∠BCD/7.因

为∠MAD和∠BCD都是锐角，所以当

sin∠MAD=sin∠BCD/7=1时，四边形MNCD是等腰梯形。解

得t=1.

4.在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DC//AB，BC=3，

DC=4，AD=5.动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，

则△ABP的最大面积为（）

设BP=x，由于△ABP和△DCP相似，因此DP=4x/3，

PC=5x/3.根据海龙公式，△ABP的面积为S=sqrt[x(5x/3)(8/3-

x)(8/3+x)/3]。对S求导并令其等于0，解得x=2/3.因此，

△ABP的最大面积为S=16/9.

5.在Rt△ABC中，∠C=90 °，AC=4cm，BC=6cm，动点

P从点C沿CA以1cm/s的速度向A运动，同时动点Q从点C

沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点

时，另一个动点也停止运动。则运动过程中所构成的△CPQ

的面积y与运动时间x之间的函数关系是。自变量的取值范围

是？

设CP=x，CQ=y，由于△CPQ和△ABC相似，因此

x/4=y/6.根据海龙公式，△CPQ的面积为y(x/2-y/2)/2=xy/8.将x

表示为y的函数，得到x=2y/3.因此，△CPQ的面积为y^2/12.

自变量x的取值范围为[0,4]，y的取值范围为[0,6]。