数学逻辑公式

2023年12月28日发(作者：腾冲小升初数学试卷)

一.常量之间的关系：（公理）

公式1 0·0=0

公式l’ 1+1=1

公式2 0·1=0

公式2’ 1+0=1

公式3 1·1=1

公式3’ 0+0=0

公式4

01

公式4’

10

二.变量和常量的关系

公式5 A·1=A

公式广 A+0=A

公式6 A·0=0

公式6’ A+1=1

公式7

0

公式7’

1

三.与普通代数式相似的定理

交换律

公式8 A·B=B·A

公式8’ A+B=B+A

结合律

公式9 (A·B)·C=A·(B·C)

公式9’ (A＋B)＋C=A＋(B＋C)

分配律

公式10 A·(B＋C)=A·B＋A·C

公式10’ A＋B·C=(A＋B)·(A＋C)

四.逻辑代数的一些特殊定理

同一律

公式11 A·A=A

公式11’ A＋A=A

德·摩根定理①

公式12



公式12’



还原律

公式13



真值表来证明公式的方法：令Y1＝A+B*C Y2 = (A+B)*(A+C)

则Y1和Y2均是ABC 的函数 若在变量ABCAD的各种可能取值的情况下函数Y1和Y2 对应值是相等的说明Y1=Y2则城立，否则不成立。

因为等号两边的表达式在各种变量取值下均相等，所以等式成立.

五.关于等式的三个规则

一.代入规则：在任何逻辑等式中，如果等式两边没有出现某一变量的地方，都代之以一个函数则等式成立。

意义：代入规则常用于推导公式，可以扩大等式的应用范围。

二.反演规则：

＋ ·

· ＋

0 1

1 0

原 反

反 原

YF(A,B,C,)

YF\'(A,B,C,)

意义：求一个逻辑函数的反函数。

Eg:

注意：1、不是一个变量上的反号应保持不变；

2、不能改变原来的运算顺序。

三. 对偶规则：

＋ ·

· ＋

0 1

1 0

Y Y’

Y与Y’互为反变量

意义：使证明的公式数目减少一半，（如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等）注意：保持原有的运算顺序。

六.若干常用公式。

公式14

ABABA

证明：

ABABA(BB)A

公式15

AABA

证明：

AABA(1B)A

公式16

AABAB

证明:根据公式10’可知

AAB(AA)(AB)1(AB)AB

公式17

ABACBCABAC

证明:

ABACBCABACBC(AA)ABACABCABC

ABAC

推论:

ABACBCDABAC

证明:

ABACBCDABACBCBCDABACBC

ABAC 公式18

ABABABAB

证明:

ABABABAB(AB)(AB)AAABABBB

ABAB

公式19

ABACABAC

证明:

ABACABAC(AB)(AC)ABACAABC

ABAC七、关于异或运算的一些公式

异或运算：

ABABAB

同或运算：

A⊙B＝ABAB

A⊙B

A B A⊕B A⊙B

1

0

0

1

0

0 0

0

1 1

1

0 1

1 1

1.交换律

ABBA

0

2.结合律

(AB)CA(BC)

3.分配律

A(BC)ABAC

证明:

A(BC)A(BCBC)

ABCABC

ABACABACABAC(AB)ACAB(AC)

ABCABC故

A(BC)ABAC

4常量和变量的异或运算

A1A

A0A

AAA

AA1

5 因果互换律

如果

ABC

则有

ACB

BCA

证明:把ABC两边同时异或B可得

ABBCBA0CB

ACB

同理:把ACB两边同时异或A可得

AABCA0BCA

BCA

八、展开定理

F(A1,A2,,An)A1F(1,A2,,An)AF(0,A2,,An)

F(A1,A2,,An)[A1F(0,A2,,An)][A1F(1,A2,,An)]

[例1.1.3] 证明

AABCABCABC

[解] 根据式(1.1.49)可得

AABCA1BCABCA(BCBC)

ABCABC

1.2逻辑函数的化简方法

方法1.公式化简法：利用公式逻辑代数的公式定理

2图形化简法：利用卡诺图

1.2.1逻辑函数的标准与或式和最简式

一、标准与或表达式：最小项之和的表达式

eg:

1.每个乘积项都有三个因子

2.每个变量都可以原变量乘反变量的形式作为一个因子在乘积项中出现且出现一次

（一）最小项的概念：

一般的对于n个变量，如果p是一个含有n个因子的乘积项，而且每个变量都以原变量或者反变量的形式作为一个因子在p中出现且仅出现一次那么就称p是这n个变量的一个最小项。

Eg:

（二）最小项的性质

1.每个最小项都有一组且只有一组使值为1的对应变量的值。

2.任意两个不同的最小项之积值是0。

3.变量的全部最小项之和值恒为1。

（三）最小项是组成逻辑数的基本单元

1. 最小项都可以辨识最小项之和的形式

2. 逻辑函数最小项之和的形式是唯一的。

3. 如何求出标准与或式

eg:

解:

eg:

解:

（四）最小项的编号

方法：把于最小项对应的变量取值当成二进值数，于之对应的就是十进制数就是最小项的编号。

如:

标准与或表达式中常用最小项编号来表示。

eg:

二.逻辑函数的最简表达式

一个逻辑函数的最简表达式不是唯一的。按照变量之间运算关系的不同分成5中形式：

1.

最简与或式(与或是最见的一种函数表示形式)

定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式

eg:

在最简与或式的基础上，经过适当的变形可以得到其它四种形式的最简式。

2最简与非－与非式

定义：非号最少，且每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非－与非式

注意：1 单个变量上的非号不算

2 最简与或式经两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号可以得到函数的最简与非－与非表达式。

例：

3.最简或与式

定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量的格式也最少的与或式

求法：最简与或式――反函数最简与或式

a.取反 再用摩跟定理；

b直接用反演规则，写出函数的最简或与式。

例：

解：

4.最简或非－或非式

定义：非号个数最少，非号下面相加变量的个数由最少的或非－或非式

方法：最简或与式――两次取反――用摩根定理

例：

解：

5.最简与或非式

定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少一个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式。

方法：最简或非－或非式的基础上去掉大反号下的小反号

例：

解：

1.2.2逻辑函数的公式化简法

与或表达式―――最简与或式

一.

并项法

例：

解：利用并项法可得：

例：

解：利用并项法可得：

二.

吸收法

例：

解：

例：

解：

三.

消去法

例1

例2

另外：

四.

配项消项法

例1：

例2：

另外：

五.

综合应用上术几种方法—经验，技巧。

例：

1.2.3逻辑函数的图形化简法

一.逻辑变量的卡诺图

卡诺图：是美国工程师卡诺发明的关于逻辑函数最小项的方法图

（一） 二变量的卡诺图 四个小方格，代入四个（22）最小项

（二） 变量卡诺图的画法

1. 变量卡诺图一般都画成正方形或矩形

n个变量――2n最小项――2n个方格

一般n≤5，否则卡诺图变得复杂，失去意义。

2. 按照循环码排列变量取值顺序。（使得几何相邻项必然逻辑相邻）。

循环码的求法：

例：1 求二位二进制码的循环码：

00 00

01 01

10 11

11 10

例：1 求三位二进制码的循环码：

000 000

001 001

010 011

011 010

100 110

101 111

110 101

111 100

由此可以画出三、四、五变量的卡诺图：

（三） 变量卡诺图的特点

1. 用几何根相邻形象的表示了变量各个最小项在逻辑上的相邻

（1） 几何相邻的含义：已含三种情况：相接—紧挨（n≤4）；相对－任一行或一列的两头（n≤4）；相重－对折起来后位置重合（n≥5）。

（2） 逻辑相邻：如果两个最小项除以一个变量的形式不同以外，其余的都一样，那么这两个最小项就叫做在逻辑上是相邻的。而逻辑相邻的最小项是可以合并化简的。（依据公式14， ）。

2. 卡诺图的主要缺点：随变量数量增加，图形变得复杂，画图麻烦，最小项的逻辑相邻难以辨认。所以，一般n≤5。

（四）变量卡诺图中最小项的合并规则

2n个最小项合并成一项时，可以消去n个变量：如，21个最小项消去1个变量；22个最小项消去2个变量；23个最小项消去3个变量。

二.逻辑函数的卡诺图

（一）逻辑函数看诺图的画法：在与或表达式的基础上按下列步骤

1.先画函数变量的卡诺图

2.在每个乘积包含的最小项都填上1，剩余项填上0或不填。

（二）逻辑函数卡诺图的特点：

优点：几何相邻，逻辑相邻，化简逻辑函数。

缺点：变量各数多（≥6）时无使用价值。

（三）逻辑函数卡诺图的画法举例：

例1：

解：

1、先画出四变量卡诺图；

2、将乘积项包含的最小项处填上1；

例2：

解：

例2：

解：

注意：函数不是最小项之和的形式，不用化为最小项之和形式，可直接填写卡诺图。

由例2、3可知，一个函数的卡诺图，同时填上0的那些最小项表示了该函数的反，故利用卡诺图也可以求一个逻辑函数的反函数（的最简与或式）。

三.用卡诺图化简逻辑函数

（一） 基本步骤

1. 画出逻辑函数的卡诺图

2. 合并逻辑函数的最小项

3. 选择乘积项写出最简与或式

（二） 应用举例

例：用图形法化简函数：

解：1、画出函数的卡诺图，先画出四变量卡诺图，再在图中标出函数所包含的全部最小项。

2、合并最小项，按卡诺图中最小项的合并规律，把可以合并的最小项分别圈出来。

3、选择乘积项写出最简与或表达式：

乘积项的选择原则：

1、必须包含函数的全部最小项（最小项之和表达式是唯一的）；

2、选用的乘积项的总数应该最少（符合最简与或式的定义）；

3、每个乘积项的总数含因子也最少（符合最简与或式的定义）。

化简的结果是：

（三） 几个应该注意的问题：

1. 圈越大越好，但圈内最小项数目只能是2i（i＝0，1，2…）个；

2. 同一个最小项可以被圈多次但每个圈应至少包含一个新的最小项；

3. 合并相邻项的圈数越少越好，但必须把组成函数的全部最小项圈完。

4. 检查，比较写出最小项与或表达式。

例：利用图形化简函数：

解：1、画出卡诺图；2、合并最小项， 是多余的；3、写出最简与或表达式： 。

例：利用图形化简函数：

解：1、将函数化为与或表达式的形式：

2、画出函数的卡诺图：注意卡诺图中四个角上的最小项的合并；

3、写出最简逻辑函数：

（四） 用卡诺图求反函数的最小项与或表达式

例：已知函数 用图形法求出 的最简与或式。

解：1、画出Y的卡诺图；2、合并使函数值为0的最小项；3、写出 的最简与或表达式：

1.2.4具有约束的逻辑函数的化简

一. 约束的概念和约束条件：

（一） 约束，约束项，约束条件

1. 约束：是用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约关系的一个中药概念。

2. 约束项：不会出现的变量取值对应的最小项。

3. 约束条件：由约束项加起来而构成的值为0的逻辑表达式。

（二） 约束条件的表示方法

1. 真值表中有叉号表示

2. 在逻辑表达式中用等于0的条将等式表示。

3. 在卡诺图中用叉号表示。

二. 具有约束的逻辑函数的化简

（一） 约束条件在化简中的应用：

1. 公式法中的应用：可根据化简的需要加上或者去掉约束条件。

2. 在图形法中的应用：合并最小项时根据化简需要包含或者去掉约束项。

（二） 变量互相排斥的逻辑函数的化简：

互相排斥的变量：在一组变量中，如果制药有一个变量取值为1，则其他变量的值就一定是0，有这种月色的变量称互相排斥的变量。

Eg:函数Y的变量ABC是互相排斥的，其真值表如下所示， 是分别用公式法和图形法求出Y的最简与或表达式。

（一） 用公式法化简

（二） 用图形法画图

三. 化简举例