大一高数基础练习题集

2024年3月27日发(作者：考试酷怎样上传数学试卷)

《高等数学》（理工类）

1.设

y

=

f

(

x

)

的定义域为

(0,1]

，

j

(

x

)

=

1

-

ln

x

，则复合函数

y

=

f

[

j

(

x

)]

的定义域为

________；

0

£

ln

x

<

1,

x

Î

[1,

e

)

x

n

2.已知

x

®

0

+

时，

arcta

与

cos

x

是等价无穷小，则

a

=

______；

==

1,

a

=

3

；

axa

sin2

x

p

1

3．函数

y

=+

cos

，则

dy

=

________；

2

(2cos2

x

-

sin2

x

)

dx

；

xx

6

-

2

x

x

--

4．函数

y

=

xe

的拐点为____________；

y

¢¢

=

e

(

x

-

2)

=

0,

x

=

2

，

(2,2

e

)

lim

x

®

0

ax

arctan3

x

3

5．设函数

f

(

x

)

=

ì

xx

p

ï

sin,

<

2

ï

í

a

+

x

,

x

³

p

2

î

，当

a

=____时，

f

(

x

)

在

p

x

=

2

处连续；

1

-

p

2

；

y

-

y

exy

6. 设

y

=

y

(

x

)

是由方程

+-

2

=

0

所确定的隐函数，则

y

¢

=

__；

y

e

+

x

7．函数

f

(

x

)

=

1

1

x

的跳跃间断点是______；

f

(1

-

)

=

0,

f

(1

+

)

=

1,

x

=

1

；

1

-

e

1

-

x

1

0

2

8．定积分

ò

(1

-

x

+

sin

x

)

dx

＝________；

2

ò

1

-

1

-

x

2

dx

=

p

2

9．已知点空间三个点

M

(1,1,1),

A

(2,2,1),

B

(2,1,2),

则

Ð

AMB

= _______；

p

3

；

(1,

2,3)

，则

a

´

b

＝_________。

(7

，

1)

10．已知

a

=

(2,3,1)

b

=

(1,2,3)

-

5

，

二、计算题（每小题6分，共42 分）

2

x

ln(1)1

+

lim

=

。

1．求极限

x

®

0

arc

sin2

x

2

2

sin

3

x

t

2．求极限

lim

ò

0

edt

=

lim3sin

xe

x

-

sin

x

x

®

0

1

-

cos

x

x

®

0

x

2

2sin

3

x

=

6

dy

dy

x

yex

sin,

=×

.

3．设

求

。

=

e

dx

dx

2

(2

x

sin

x

+

cos

x

)

ïì

x

4、设

í

=

ln1

+

t

求

dy

以及

d

2

y

。

2

dx

dx

yt

arctan

=

ï

î

1

ln(1

+

t

2

2

x

=

解

=

，

2

=-

3

dxt

2

t

dxt

2

1

+

t

5．计算不定积分

ò

ln(ln

x

)

dx

。

x

1

x

n

-

)

+

C

ln(l

x

1)

n

d

)l

x

n

解

n

-

)

dx

=

ln

x

(ln(l

=

ln

x

ln(l

x

x

)

，

dy

=

1

+

2

1

t

1

d

2

y

1

+

t

2

2

1

x

sec

11

dx

dx

d

3tan

x

6、计算不定积分

ò

=

=

2

2

2

ò

ò

x

x

3

+

cos

3sec

+

1

3

3tan

x

+

4

ò

ò

=

1arctan3tan

x

C

+

2

23

7．计算定积分

ò

2

0

1

-

x

(

x

-

4)

2

dx

=

ò

(1

-

x

)(4

-

x

)

dx

-

ò

(1

-

x

)(4

-

x

)

dx

01

2

1

12

3

12

155

2

22

=

ò

0

(

x

-

5

x

+

4)

dx

-

ò

1

(

x

-

5

x

+

4)

dx

=-+

4

-

(

x

-

x

)

3232

-

4

=

3

三、证明题（每小题8分，共16 分）

1、设

，

f

(

x

)

在区间

[0,3]

上连续，在区间

(0,3)

内可导，且

f

(0)

+

f

(1)

+

f

(2)

=

3

f

(3)

=

1

，试证必存在

x

Î

(0,3)

使

f

¢

(

x

)

=

0

。

证明

因为

f

(

x

)

在

[0,3]

上连续，所以

f

(

x

)

在

[0,2]

上连续，且在

[0,2]

上有最大值

M

和最

m

£

f

(0)

£

M

,

m

£

f

(1)

£

M

,

m

£

f

(2)

£

M

,

小值

m

。于是

f

(0)

+f

(1)

+f

(2)

所以

m

£

由介值定理知至少存在

c

Î

[0,2]

，使

f

(

c

)

=

1

。

£

M

,

3

因为

f

(

c

)

=

f

(3)

=

1

，且

f

(

x

)

在

[

c

,3]

上连续，在

(

c

,3)

内可导，由罗尔定理存在

。

x

Î

(

c

,3)

Ì

(0,3)

，使

f

¢

(

x

)

=

0

2、证明不等式：当

x

>

0

时，

1

+

x

ln(

x

+

1

+

x

)

>

1

+

x

。

22

f

(

x

)

=

1

+

x

ln(

x

+

1

+

x

2

)

-

1

+

x

2

，

f

¢

(

x

)

=

ln(

x

+

1

+

x

2

)

>

0,

x

>

0

，

证明

f

(

x

)

>

f

(0)

=

0

，则当

x

>

0

时，

1

+

x

ln(

x

+

1

+

x

)

>

1

+

x

四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）

1．要建造一个体积为

V

=

50

m

的圆柱形封闭

的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所

．．

用的材料最省？

解

设圆柱体的半径为

r

，高

h

=

50

2

，表面积为

S

,

S

=

2

p

r

2

+

100

，

3

22

p

r

r

S

¢

=

4

p

r

-

100

r

2

=

0

，

r

=

3

25

p

，

h

=

2

3

25

p

表面积最小。

2．求曲线

xy

=

a

(

a

>

0)

，直线

x

=

a

，

x

=

2

a

及

x

轴所围成的图形绕

得到的旋转体体积。

2

a

y

轴旋转一周所

V

=

2

p

a

解

y

ò

a

dx

=

2

p

a

2

《高等数学》（理工）

一、

选择题（每空

3 分，共

15 分）

1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（

）；

D

；

A

、

2

-

x

-

1(

x

®+¥

)

；

B

、

sin

x

x

(

x

®

0)

2

2

x

D

、

x

x

(

x

®

0)

。

(

x

®¥

)

；

+

1

x

-

2

x

+

1

x

³

2

ì

ax

2

fx

2、设函数

()

=

í

在

x

=

2

处连续,则

a

=

（

）；

A

；

x

<

2

î

1

C

、

3

C

、

1

；

A

、

1

；

B

、

0

；

D

、

1

、

42

x

3、设

f

(

x

)

在

[

a

,

b

]

上可导，且

f

¢

(

x

)

>

0.

若

F

(

x

)

=

ò

f

(

t

)

dt

，则下列说法正确的是（

）；

0

C

；

A

、

F

(

x

)

在

[

a

,

b

]

上单调减少；

B

、

F

(

x

)

在

[

a

,

b

]

上单调增加；

C

、

F

(

x

)

在

[

a

,

b

]

上为凹函数；

D

、

F

(

x

)

在

[

a

,

b

]

上为凸函数。

4、下列不定积分计算正确的是（

）；

D

；

A

、

ò

B

、

x

2

dx

=

x

3

+

c

；

ò

11

c

dx

=+

；

2

x

x

C

、

sin

xdx

=

cos

x

+

c

；

D

、

cos

xdx

=

sin

x

+

c

。

òò

5、设

f

(

x

)

在

[

a

,

b

]

上连续，则下列论断不正确的是（

）。

A

；

A

、

f

(

x

)

dx

是

f

(

x

)

的一个原函数；.

B

、

ò

a

ò

a

f

(

t

)

dt

在

(

a

,

b

)

内是

f

(

x

)

的一个原函数.；

b

bx

C

、

ò

x

D

、

f

(

x

)

在

(

a

,

b

)

上可积。

f

(

t

)

dt

在

(

a

,

b

)

内是

-

f

(

x

)

的一个原函数；

二、填空题（每空

二、填空题（每空3 分，共

15 分）

6、若

lim

x

®¥

f

(

x

)

=

2,

则

22

x

+

1

-

x

-

1)

f

(

x

)

=

lim(

x

®¥

®¥

；

2lim

1

x

+

1

+

x

-

1

3

2

22

x

®¥

=

0

；

7、曲线

y

=

x

+

1

在点

(3,2)

的切线方程为：____

____；

y

-

2

=

2

(

x

-

3)

；

8、曲线

y

=

sin

x

在

(0,2

p

)

内的拐点为

；

(

p

,

e

)

；

9、当

p

满足条件__________时,反常积分

+¥

1

dx

p

收敛；

p

>

1

；

ò

x

10、微分方程

(

y

¢¢

)

+

(

y

¢

)

+

2

y

-

x

=

1

的阶数是_________.

2

；

三、计算题（共

45 分）

43

11、求下列函数极限(每题6分，共12分)：

x

+

1

-

11

lim

(1)

=

x

®

0

x

sin36

ò

lim

(2)

x

®

0

x

0

sin

t

2

dt

x

3

sin

x

2

1

2

=

lim

=

x

®

0

3

x

3

12、求下列函数导数（每题6分，共12分）：

(1) 设函数

y

=

xe

tan

x

+

1

；

+

ln5

,求

y

¢

x

+

1

y

¢

=

e

解

x

tan

1

(1

+

x

sec

2

x

-

)

2

(

x

+

1)

4

yfx

(2)设函数

=

()

由方程

2

x

-

y

+

ln

y

-

x

=

0

所确定，求

y

¢

(5,1)

；

5

¢

3

y

¢

41

-

y

y

xy

¢

解

将

=

5,

=

1

代入得

(5,1)

=

+-

，

y

5

5

x

-

y

13、求下列函数积分（每题7分，共21分）：

(1)

ò

e

x

2

dx

=

1

-

x

2

+

C

1

2

e

1

-

x

(2)

ò

1

x

ln

xdx

=

2

ln

xdx

=

ò

1

2

1

2

(

x

ln

x

2

1

e

1

e

-

ò

1

2

2

1

e

-

)

=

1

(

e

2

+

1)

xdx

)

=

(

e

-

22

4

2

1

1

(3)

ò

-

1

(1

-

x

+

x

cos

x

+

x

)

dx

=

2

0

1

-

xdx

=

2

ò

arctan

x

1

+

x

5

p

四、证明题(每小题

8分，共

16 分）

14、证明：设

ln(

x

+

1)

³

x

³

0

1

证明

设

f

(

x

)

=

(

x

+

1)(1

+

ln

x

)

-

arctan

xx

³

0

，

f

(

x

)

=

(1

+

ln

x

)

+

1

-

1

+

x

2

>

0

arctan

x

x

³

0

则

f

(

x

)

³

f

(0)

=

0

，

ln(

x

+

1)

³

1

+

x

15、设

f

(

x

)

在

[0,1]

上连续，在

(0,1)

上可导，且

f

(1)

=

0

，求证在

(0,1)

内至少存在一点

x

,

使得

3

f

(

x

)

+

x

f

¢

(

x

)

=

0

成立.

证明

设

F

(

x

)

=

xf

(

x

)

在

[0,1]

上连续，在

(0,1)

上可导，且

F

(0)

=

F

(1)

=

0

，y由罗尔

3

F

(

x

)

=

3

x

2

f

(

x

)

+

x

3

f

¢

(

x

)

=

0

，即有

3

f

(

x

)

+

x

f

¢(

x

)

=

0

中值定理得

五、应用题（共9分）

2

16、求曲线

y

=

x

与过该曲线上的点

(4,2)

的切线及

y

轴所围成的图形的面积

S

y

¢

2

yy

¢

=

1

，

解

(4,2)

1

1

)

y

=

1

x

+

1

y

-

2

=

(

x

-

4

，

=

，切线方程

444

S

=

6

-

4

xdx

=

6

-

2

3

x

3

2

4

0

=

2

3

ò

0

高等数学（上）

一、单项选择题（本题共20分，每小题2分）

1、函数

y

1

ln(2

x

)

的定义域为（

）；

D

；

=

x

+

C

、

x

>-

2

；

A

、

x

¹

0

且

x

¹-

2

；

D

、

x

>-

2

且

x

¹

0

。

B、

B

、

x

>

0

；

1

2、

lim

x

sin

=

（

）；

C

；

x

®¥

x

C

、1；

A

、

¥

；

D

、0。

B、不存在；

3、按给定的

x

的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（

）；

A

；

A

、

x

2

x

4

-

x

+

1

-

x

B

、

ç

1

+

(

x

®+¥

) ；

x

sin

x

æ

è

1

ö

÷

-

1

(

x

®¥

)；

x

ø

x

C

、

1

-

2

D

、

(

x

®

0

) ；

(

x

®

0

)；

x

ì

e

,

x

<

0

4、设

f

(

x

)

=

í

要使

f

(

x

)

在

x

=

0

处连续，则

a

=

（

）；

B

；

î

a

+

x

,

x

³

0

C

、0 ；

A

、2；

B

、1；

D

、-1

5、设函数

f

(

x

)

在

(

a

,

b

)

内恒有

f

¢

(

x

)

>

0,

f

¢¢

(

x

)

<

0

，则曲线

y

=

f

(

x

)

在

(

a

,

b

)

内（

）

A

；

A

、单调上升，向上凸；

B

、单调下降，向上凸；

C

、单调上升，向上凹；

D

、单调下降，向上凹。

x

1)(

x

2)(

x

3)(

-

4)

-

6、设

f

(

x

)

=

(

x

--

，则方程

f

¢

(

x

)

=

0

在实数范围内根的个数是（

）；

B

；

A

、4 ；

B

、3 ；

D

、1 。

C

、2 ；

3

ì

<

ï

1

+

x

,

x

0

fx

x

(

-

2)

d

7、设

()

=

í

x

，则

ò

fx

1

ï

î

e

,

x

³

0

2

x

2

-

4

x

+

5,

x

<

2

ì

ï

B

；

f

(

x

-

2)

=

í

（

）；

=

x

-

2

e

,

x

³

2

ï

î

111

A

、

e

-

3

；

B

、

e

+

3

D

、

2

e

C

、

3

；

；

。

8、设函数

f

(

x

)

在

[

a

,

b

]

上是连续的，下列等式中正确的是（

）；

C

；

A

、

(

ò

ò

b

a

x

a

B

、

(

f

(

x

)

dx

)

¢

=

f

(

x

)

+

C

；

f

(

x

)

dx

)

¢

=

f

(

x

)

；

ò

D

；

f

¢

(

x

)

dx

=

f

(

x

)

。

f

(

x

)

dx

)

¢

=

f

(

x

)

；

C

、

(

ò

1

2

1

n

9、当

®¥

时，

sin

与

k

为等价无穷小，则

k

= （

）；

C

；

n

n

A

、

1

；

C

、2 ；

B

、1；

D

；-2。

2

10、已知

f

(

0

)

=

1

，

f

(

1

)

=

2

，

f

\'

(

1

)

=

3

，则

ò

xf

¢¢

(

x

)

dx

=

（

）

B

；

1

0

A

、1；

B

、2；

D

、4。

C

、3 ；

二、填空题（本题共10分，每空2分）

=

ò

x

2

<

a

<

x

则

(

p

)

t

fxdt

f

¢

sin

。

22

；

=

,(0),

1、设

()

a

t

2

p

(2

n

-

1)(3

n

-

2)(4

n

-

3)

lim

2、极限

；

4

；

=

3

n

®¥

n

6

x

d

2

y

3、设

y

=

e

sin

，则

2

dx

2

x

-

x

=

0

=

。

-

1

；

x

<

1

ì

x

,

ï

4、函数

f

(

x

)

=

x

-

1,1

£

x

<

2

的不连续点为

。

x

=

1

ï

í

3

-

x

,

x

³

2

î

1

ö

1

æ

ç÷

fx

fx

¢

___________

=

5、设，则

()

=

。

-

2

x

è

x

ø

三、计算题

2

1.（8分）求

lim3

x

-

9

x

-

12

x

+

1

=

lim

x

®+¥

12

x

-

1

3

x

+

9

x

2

-

12

x

+

1

=

2

(

)

x

®+¥

2

=

2、（7分）

lim

1

-

cos2

x

=

1

lim

4

x

2

x

®

0

2

x

sin

x

2

x

®

0

x

e

y

cos

tdye

y

sin

t

dydx

cos

t

dy

x

=

lnsin

t

ì

==

3、（7分）设

í

ye

y

求

。

，

，

=

yy

t

sin1

-=

dtetdxet

dtt

dx

1

-

sin1

-

sin

sin

î

4、（8分）设

y

=

(sin

x

)

cos

x

,

求

dy

。

dx

解

设

ln

y

=

cos

x

lnsin

x

，两边同时求导得

dy

dx

11111

5、（7分）

ò

2

cos

dx

=-

ò

cos

d

=-

sin

+

C

xxxxx

6、（7分）

p

=

(sin

x

)

cos

x

(

-

sin

x

lnsin

x

+

cos

2

x

sin

x

)

ò

2

0

x

2

cos

xdx

=

2

x

2

d

sin

x

=

x

sin

x

ò

0

p

2

p

2

0

-

2

ò

0

2

x

sin

xdx

p

p

2

=

4

+

2

ò

0

2

xd

cos

x

=

p

p

2

4

-

2

ò

0

2

cos

xdx

=

p

p

2

4

-

2

7、（8分）

ò

x

1

x

2

-

9

1

令

x

=

3sec

t

,

dx

x

2

-

9

=

3tan

t

,

dx

=

3sec

t

tan

tdt

，

cos

t

=

3

，

x

3

dx

=+

C

=

arccos

+

C

ò

xx

2

-

9

3

x

3

四、综合题

1、（9分）求由曲线

y

=

e

,

y

=

e

,

x

=

0

所围平面图形绕

x

轴旋转的旋转体的体积。

x

t

1

V

=

p

e

2

-

p

e

2

dx

=

p

e

2

-

ò

0

3

1

x

p

2

(

e

2

-

1)

=

p

2

(

e

2

+

1)

2、（9分）证明方程

x

+

x

=

cos

x

只有一个正根.

证明

设函数

f

(

t

)

=

t

+

t

-

cos

t

在

t

Î

[0,

x

],

x

>

0

连续，

f

(0)

=-

1

<

0

，

2

令

f

¢

(

t

)

=

3

t

+

1

+

sin

t

>

0

，

f

(

t

)

为单调递增函数，

3

3

®+¥

f

(

x

)

®+¥

(

x

又

x

lim

=

x

lim

+

x

-

cos

x

)

=+¥

，由零点定理可知

f

(

t

)

在

f

(

t

)

只存在一点在

x

Î

[0,

x

]

，使在

f

(

x

)

=

0

，则方程

x

+

x

=

cos

x

只有一个正根。

3

理工《高等数学》

一、填空题（本题共15分，每小题3分）

1

1.函数

f

(

x

)

=

x

2

-

1

的连续区间是

(

-¥

,

-

1)(

-

1,1)(1,

+¥

)

2

x

æö

2.若

lim

ç

ax

+

b

÷

=

0

，

a

，

b

均为常数，则

a

=

-

，

b

=

÷

x

®¥

ç

x

1

è

+

ø

2

æ

2

-+

ö

=

-

lim

ç

x

+

axb

÷

lim

(1

a

)

x

-

(

a

-

b

)

x

+

b

=

0

，

a

=

1,

b

=

1

；

x

x

®¥

x

1

x

+

1

èø

®¥

3.设函数

y

=

f

(

x

)

由方程

xy

+

2ln

x

=

y

所确定，则曲线

y

=

f

(

x

)

在点（1，1）处的切

线方程是

4

______________________

2

y

+

xy

¢

+

2

x

=

4

yy

¢

，

y

¢

3

(1,1)

=

1

，

y

=

x

4.设

y

=

ln(ln

x

)

-

sec(2

x

)

，则

y

¢

=

.

1

2

-

4sec

x

tan

x

x

ln

x

5.设

f

(

x

)

在

x

=

a

可导，则

lim

f

(

a

-

x

)

-

f

(

a

)

x

®

0

x

-

f

¢

(

a

)

二.求下列各题极限（共28分）

1.

lim

x

®

0

1

+

x

-

1

-

x

=

1lim2

x

=

1

e

x

-

1

2

x

®

0

x

1

x

1

x

lim

2sin

x

+

cos

x

-

1

x

®

0

x

2

=

e

2.

lim(2sin

x

+

cos

x

)

=

lim[1

+

(2sin

x

+

cos

x

-

1)]

=

e

x

®

0

x

®

0

0

3.

lim

x

®

limtan

x

(1cos

x

)3

x

-

sintan

32

x

=

x

®

0

=

-

1

2

x

×

(1

+

sin

x

-

1)

x

×

x

2

3

æ

3

ö

çø÷

+

è

4

1

1

=

lim

=

4

3

n

®¥

3()

n

+

4

4

n

nn

(3)4

+

+

1

+

1

4.

lim

n

n

®¥

(3)

n

+

4

三．计算题（共32分）

5.设

y

=

x

arctan3

x

，求

y

¢¢

．

.

y

¢

=

arctan3

x

+

6.设

y

=

x

sin

x

3

x

2

，

y

¢¢

=

3

2

+

3

1

-

9

x

2

22

=

6

22

1

+

9

x

1

+

9

x

1

(1

+

9

x

)

(1

+

9

x

)

×

arcsin(ln

x

)

，求

y

¢

.

y

¢

=

x

sin

x

[(sin

x

ln

x

)

¢

arcsin

x

+

]

x

1

-

(ln

x

)

2

sin

x

1

x

sin

)arcsin

x

+

]

=

x

[(cos

x

ln

x

+

2

x

x

1

-

(ln

x

)

ì

x

=+

t

2

dy

d

2

y

ln(1)

7.求由参数方程

í

所确定的函数的导数,

2

.

dx

dx

ytt

î

=-

arctan

dy

dx

=

1

1

-

+

2

1

t

2

t

2

1

+

t

()

¢

2

t

1

+

=

；

=

2

2

t

2

4

t

2

dx

2

1

+

t

t

t

d

2

y

dy

d

2

y

1

设函数

y

=

y

(

x

)

是由方程

x

-

y

+

sin

y

=

0

确定的求

,

2

.

8.

dx

dx

2

1

-

y

¢

+

解

方程两边同时求导得

2sin

yy

¢

4sin

y

y

¢¢

=

-

=

(2

-

cos

y

)

2

(2

-

cos

y

)

3

1

2

cos

yy

0

y

¢

=

¢

=

2

，

y

2

-

cos

四．综合题（共27分）

ax

+

b

x

£

0

ì

．

9 .求常数

a

,

b

的值，使函数

f

(

x

)

=

在

x

=

0

处一阶可导.

í

î

ln(1

+

x

)

x

>

0

x

®

0

-

lim

f

(

x

)

=

x

lim(limlim

®

0

-

ax

+

b

)

=

b

=

f

(0)

，

x

®

0

+

f

(

x

)

=

x

®

0

+

ln(1

+

x

)

=

0

，

b

=

0

；

ln(1

+

x

)

ax

f

-

¢

(

x

)

=

lim

----

=

a

，

f

+

¢

(

x

)

=

lim

=

1,

a

=

1

。

x

®

0

x

®

0

xx

x

-

2

10.求函数的

f

(

x

)

=

x

2

-

3

x

+

2

所有间断点，并指出其类型.

f

(

x

)

=

x

-

2

(

x

-

2)(

x

-

1)

f

(

x

)

=

1

f

(

x

)

=-

1

，

lim

，

lim

f

(

x

)

=¥

，

lim

-+

x

®

1

x

®

2

x

®

2

x

2

n

-

1

+

ax

2

+

bx

11.设

f

(

x

)

=

lim

为连续函数，求

a

,

b

2

n

n

®¥

x

+

1

一、填空题（每空3分，共15分）

1、已知

f

(

x

)

的定义域是

[0,1]

，则函数

f

(ln

x

)

的定义域为________；

[1,

e

]

；

2、

设

f

(

x

)

连续可导

,

则

ò

f

¢

(2

x

)d

x

=

________；

3、积分

I

=

1

2

1

f

(2

x

)

+

c

；

2

ò

1

ln

xdx

与

I

=

2

2

ò

1

ln

2

xdx

的大小关系是________；

I

>

I

；

12

4、

设曲线

y

=

ax

3

+

bx

2

以点

(1

，

.；

(

-

3

，

3)

为拐点

,

则数组

(

a

,

b

)

=

9

)

；

22

f

¢¢

(

x

)

=

6

ax

+

2

b

解

a

+

b

=

3

又

f

¢¢

(1)

=

6

a

+

2

b

=

0

1

b

®

a

=

3

-

3

,

9

ab

f

(

x

)

=

ax

3

+

bx

2

时

(

1,3

)

为曲线

的拐点。

Þ=-

2

=

2

1

1

7

-

8

5、设

y

=

xxx

，则

dy

=

.

xdx

。

8

二、选择题（每空3分，共15分）

1、曲线

xy

+

e

x

+

y

=

1

在(0,0)点的切线斜率是（

）；

D

；

-

1

A

、

B

、

e

D

、

C

、0 ；

1 ；

；

-1。

xx

fx

()23

=+-

2

，则当

x

®

0

时，有（

2、设

）；

B

；

A

、

f

(

x

)

与

x

是等价无穷小；

B

、

f

(

x

)

与

x

是同阶但非等价无穷小；

C

、

f

(

x

)

是比

x

高阶的无穷小；

D

、

f

(

x

)

是比

x

低阶无穷小。

2

3、设函数

f

(

x

)

在

[

a

，

b

]

上具有连续的导函数，且

ò

f

(

x

)

dx

=

1

，

f

(

a

)

=

f

(

b

)

=

0

，

a

b

b

则

11

C

、

A

、

B

D

、

1

0

；

、；

；

。

-

22

4、下列积分发散的有（

）；

A

；

ò

a

xf

(

x

)

f

¢

(

x

)

dx

=

（

）；

A

；

A

、

ò

+¥

1

1

+¥

dx

ln

x

dx

；

-

x

B

、

+¥

1

dx

；

e

2

；

C

D

、.、

0

ò

0

1

+

x

2

ò

1

-

x

ò

0

dx

。

x

f

(

x

)

-

P

(

x

)1

2

1

4

x

®

0

x

n

5、设

f

(

x

)

=

cos

x

,

P

(

x

)

=

1

-

2

x

+

24

x

能使极限式

lim

=

0

成立，则

正整数

n

的最大值是

（

）。

C

。

C

、

n

=

5

B

、

n

=

4

D

、

n

=

3

A.

n

=

6

；

；

；

；

三、计算下列各题（共52分）

æ

a

x

b

a

x

b

öæöæö

y

1、（7分）已知

=

3

ç÷ç÷ç÷

，求

y

的导数。

è

b

øè

x

øè

a

ø

é

a

ù

1

x

æ

a

ö

x

æ

b

ö

a

æ

x

ö

b

æö

3

ba

ba

==

-

ê

ç÷

x

ú

y

3

ç÷ç÷ç÷

b

ab

è

b

øè

x

øè

a

ø

êú

ë

èø

û

éù

2

a

éù

xab

-

3

xx

b

æ

a

ö

1

æ

a

öæ

b

öæ

x

ö

b

-

a

-

1

æ

a

ö

b

-

a

æ

a

ö

¢

b

y

=

3

ê

ç

b

ø

÷

è

ç

x

ø

÷

è

ç

a

ø

÷

ú

ç

b

ø

÷×

ln

è

ç

b

ø

÷×

x

+

è

ç

b

ø

÷×

(

b

-

a

)

x

ú

ë

è

û

×

a

×

ê

ë

è

û

lim

+

2、（7分）

计算极限

x

®

0

ò

ò

0

x

2

x

2

0

sin

tdt

．

(1

+

cos

t

)ln(1

+

t

)

dt

原式

=

lim

+

解

x

®

0

2

x

sin

x

sin

x

1

limlim

=-

+

×

+

xx

00

®®

xxx

xx

2(1cos)ln1()ln(1)1cos

-++++

xa

(

t

-

sin

t

)

ì

í

=

=-

3、（7分）已知参数方程：

ya

(1cos

t

)

，（

t

¹

2

n

p

,

n

Î

Z

），求所确定的函数

y

=

y

(

x

)

î

的二阶导数。

dy

dy

=

dt

=

a

sin

t

=

sin

t

解：（

t

¹

2

n

p

,

n

Î

Z

）

dx

dxa

(1

-

cos

t

)1

-

cos

t

dt

ddy

()

d

2

y

1

dx

2

=

dtdxdx

=-

a

(1

-

cos

t

)

2

dt

x

2

dy

3

4、(7分）已知

y

=

f

(

-

)

,

f

¢

(

x

)

=

arctan

x

2

,求

.

dx

x

=

0

5

x

+

2

3

x

-

2

解:

令

u

=

,

5

x

+

2

3(5

x

+

2)

-

5(3

x

-

2)3

x

-

2

2

dy

yufuarctg

\'\'\'()()

,

=×=×

则

2

5

x

+

2

dx

(5

x

+

2)

x

=

0

=

4arctan1

=

p

.

2

5、（8分）计算不定积分

(arcsin

x

)

dx

.

ò

解：

(arcsin

x

)

dx

=

x

(arcsin

x

)

-

2

2

ò

2

ò

x

arcsin

x

1

-

x

2

dx

=

x

(arcsin

x

)

+

2

ò

arc

sin

xd

(1

-

x

)

=

x

(arcsin

x

)

+

21

-

x

arcsin

x

-

2

dx

22

22

ò

=

x

(arcsin

x

)

+

21

-

x

arcsin

x

-

2

x

+

c

.

4

22

dx

1

+

x

. 6、（8分）计算定积分

ò

1

2

解：令

x

=

t

则

x

=

t

,

dx

=

2

tdt

,

且

当

x

=

1

时,

t

=

1

当

x

=

4

时

t

=

2

2

=

2

2

td

=-

1

d

2(1)

t

=

dxt

1

于是

ò

1

+

x

ò

1

1

+

t

ò

1

1

+

t

4

2[

t

-

2

=

)]

-+

(1ln29ln

t

1

4

7、求由曲线

y

=

1

+

sin

x

与直线

y

=

0,

x

=

0,

x

=

p

围成的曲边梯形绕

x

轴旋转所成的旋

转体的体积．（8分）

V

=

p

(1

+

sin

x

)

2

dx

=

p

(1

+

2sin

x

+

sin

2

x

)

dx

ò

0

ò

0

sin2

x

ù

3

2

é

3

=

p

ëê

2

x

-

2cos

x

-

4

ûú

0

=

2

p

+

4

p

四、证明题（每小题9分，共18分）

1、（9分）当

0

<

x

<

p

pp

p

2

时，

sin

x

+

tan

x

>

2

x

.

222

证：令

f

(

x

)

=

sin

x

+

tan

x

-

2

x

,

f

¢

(

x

)

=

cos

x

+

sec

x

-

2

>

cos

x

+

sec

x

-

2

=

(cos

x

-

sec

x

)

>

0

,当

0

<

x

<

2

p

2

时，

f

(

x

)

在

(0,

p

)

内单调增加.而

f

(

x

)

>

f

(0)

=

0

x

Î

(0,)

即当

0

<

x

<

时，

sin

x

+

tan

x

>

2

x

.

22

2、（9分）设函数

f

(

x

)

和

g

(

x

)

在

[

a

,

b

]

上存在二阶导数，且

g

¢¢

(

x

)

¹

0,

p

p

2

f

(

a

)

=

f

(

b

)

=

g

(

a

)

=

g

(

b

)

=

0

，证明

(1)在(

a

,b)内

g

(

x

)

¹

0

；（2）在(

a

,b)内至少存在一

点

x

，使

f

(

x

)

=

f

¢¢

(

x

)

.

g

(

x

)

g

¢¢

(

x

)

x

使

g

(

x

)0

则在

[

a

,

x

1

]

上有

g

(

a

)

=

g

(

x

1

)

=

0

,

11

=

，证：（1）反证法.设

(

a

，

b

)

内存在一点

由罗尔定理知在

(

a

,

x

1

)

内至少存在一点

x

1

，使

g

¢

(

x

1

)

=

0

，同理在

(

x

1

,

b

)

内也至少存在一

∴

由罗尔定理，

点

x

2

使

g

¢

(

x

2

)

=

0

，则

g

¢

(

x

1

)

=

g

¢

(

x

2

)

=

0

，在

(

x

1

,

x

2

)

内至少存在一点

x

3

使

g

¢¢

(

x

3

)

=

0

，这与

g

¢¢

(

x

)

¹

0

矛盾，故在

(

a

,

b

)

内

g

(

x

)

¹

0

。

（2）令

F

(

x

)

=

f

(

x

)

g

¢

(

x

)

-

g

(

x

)

f

¢

(

x

)

由题设条件可知，

F

(

x

)

在

[

a

,

b

]

上连续，在

(

a

，

b

)

内可导，且

F

(

a

)

=

F

(

b

)

=

0

,由罗尔

定理可知，存在

x

Î

(

a

,

b

)

使得

F

¢

(

x

)

=

0

，即

f

(

x

)

g

¢¢

(

x

)

-

f

¢¢

(

x

)

g

(

x

)

=

0

，

f

(

x

)

f

¢¢

(

x

)

=

由于

g

(

x

)

¹

0,

g

¢¢

(

x

)

¹

0

，故

。

g

(

x

)

g

¢¢

(

x

)

一、

填空题（每空3分，共24分）

x

ì

(

x

+

5)

e

,

x

<

0

1、要使

f

(

x

)

=

í

在

x

=

0

处连续，则

a

=

______；5；

2

î

a

+

x

+

x

,

x

³

0

3

n)co

x

s

dx

2、设

f

(

x

)

的一个原函数为

x

-

x

，则

ò

f

(si

x

；

=

sin

3

x

-

sin

x

+

C

；

2

2

x

2

x

3、设

y

=

3

，则

dy

=

__________；

4ln3

×

3

xdx

；

2

3

4、函数

f

(

x

)

=

x

-

sin

x

是

sin

x

当

x

®

0

时的_同阶_无穷小量。（填等价，同阶或高阶）。

arctan

x

dx

=

___________；0；

5、

ò

-

1

(1

+

x

2

)

2

1

x

3

+

ax

+

4

lim

6、若

x

®-

1

=

b

，则

a

=

_____，

b

=

________；

3,6

x

+

1

7、函数

y

=

x

的单调增加区间为____________。

(

e

,

+¥

)

ln

x

二、求极限（每小题5分，共10分）。

1

ln(1

+

x

)

xx

ln(1)

x

-+

-

-

]

=

lim

1、（5分）

lim[

=

lim

=

2

x

x

®

0

ln(1

x

0

0

®

®

x

x

ln(1

+

x

)

2

+

x

)

x

11

x

2

0

3

3

x

2

x

2、（5分）

lim

++

ò

®®

=

lim

=

12

x

x

0

t

(

t

-

sin

t

)

dt

x

0

x

(

x

-

sin

x

)

ò

0

t

2

dt

三、求导数（每小题6分，共18分）。

dy

d

2

y

1、（6分）求由方程

xy

+

ln

x

+

ln

y

=

1

所确定的隐函数

y

=

f

(

x

)

的一阶导数

和

2

。

dx

dx

y

d

2

y

2

y

1

y

¢

解：方程两边同时对x求导，得

y

+

xy

¢+

x

+

y

=

0

，整理得

y

¢

=-

x

，

dx

2

=

x

2

dy

d

2

y

ì

x

=

t

+

2

+

sin

t

2、（6分）设函数

y

=

y

(

x

)

的参数方程为

í

，求，

2

。

dx

ytt

dx

î

=+

cos

¢

t

1sin

-

æö

ç÷

t

¢

2

dy

=

y

t

1

-

sin

t

，

dy

=

è

1

+

cos

t

ø

-

cos

t

=

=

解：

3

dxx

t

¢

1

+

cos

t

dx

2

t

1

+

cos

t

(

1

+

cos

)

ç

x

÷

ö

sin

x

，求

dy

。

3、（6分）已知

y

=

æ

è

1

+

x

ø

dx

解：方程两边取对数，得

ln

y

=

sin

x

[ln

x

-

ln(1

+

x

)]

y

¢

11

y

=

cos

x

[ln

x

-

ln(1

+

x

)]

+

sin

x

[

x

-

1

+

x

]

两边同时对x求导，得

y

¢

=

y

[cos

x

ln

x

+

sin

x

]

1

+

xx

(1

+

x

)

四、求积分（每小题5分，共20分）。

1、（5分）计算

ò

x

dx

=-

1

2

ò

1

d

(1

-

x

2

)

=-

1

-

x

2

+

C

1

-

x

2

1

-

x

2

2、（5分）计算

ò

dx

1

+

1

+

x

2

；解：令

1

+

x

=

t

，则

x

=

t

-

1

，

dx

=

2

tdt

原式=

2

ò

tdtt

+

1

-

1

dt

2[

t

ln(1

t

)]

C

ò

=

2

=-++

=

2[1

+

x

-

ln(1

+

1

+

x

)]

+

C

1

+

t

1

+

t

e

3、（5分）计算

ò

1

sin(ln

x

)

dx

。

t

解：令

ln

x

=

t

，则

x

=

e

，当

x

=

1

时，

t

=

0

，

x

=

e

时，

t

=

1

，

原式=

1

0

t

sin

tedt

sin

te

0

-

ò

e

sin1

-

e

cos1

+

1

原式

=

2

p

2

2

=

t

1

ò

1

t

0

1

t

ed

sin

t

=

e

sin1

-

e

cos1

+

1

-

0

sin

tedt

ò

4、（5分）计算

p

ò

-

p

2

4cos

q

d

q

p

2

解：

ò

2

-

p

2

4cos

q

d

q

=

8

ò

2

cos

q

d

q

=

8

0

2

p

4

=

2

p

五、证明题（每小题8分，共16分）

1、（8分）证明不等式：当

x

>

0

时，

ln(1

+

证明：设

f

(

x

)

=

ln(1

+

x

)

-

x

+

x

2

x

)

>

x

-

x

2

2

。

，

f

(0)

=

0

2

2

x

1

x

0

当

>

时，

f

¢

(

x

)

=-

1

+

x

=>

0

1

+

x

1

+

x

f

(

x

)

在

[0,

+¥

）上

单调增加，

f

(

x

)

>

f

(0)

=

0

，即

ln(1

+

x

)

>

x

-

x

2

，得证。

2

2、（8分）若

f

(

x

)

在[0，1]上有二阶导数，且

f

(1)

=

f

(0)

=

0,

F

(

x

)

=

xf

(

x

)

，

证明在（0，1）内至少存在一点

x

，使得

F

¢¢(

x

)

=

0

。

证明：

f

(

x

)

在[0，1]上有二阶导数，则

F

(

x

)

=

xf

(

x

)

在[0，1]上有二阶导数，

2

2

F

(1)

=

F

(0)

=

0

，由罗尔定理，在（0，1）至少存在一点

h

，使得

F

¢

(

h

)

=

0

，

F

¢

(

x

)

=

2

xf

(

x

)

+

x

2

f

¢

(

x

)

，

F

¢

(0)

=

0

，由罗尔定理，在

(0,

h

)

内至少存在一点

x

，使得

F

¢¢

(

x

)

=

0

。

2

六、应用题（12分）在曲线

y

=

x

（

x

³

0

）上某点

B

处作一切线，使之与曲线、

x

轴所

围平面图形的面积为

1

，试求：（1）切点

B

的坐标；（2）由上述所围图形绕

x

轴旋转一

周所得立体的体积。

12

2

aa

=

2

a

，于是切线方程

，则过点

B

的切线斜率为

y

¢

解：（1）设切点

B

的坐标为

(,)

x

=

a

y

-

a

=

2

a

(

x

-

a

)

，和

x

轴交点为

a

,0)

(

为，由

A

=

ò

0

2

2

a

a

×

a

2

a

1

x

2

dx

-

2

==

，

21212

得

a

=

1

，因此切点坐标为

(1,1)

)。切线方程

y

=

2

x

-

1

，

（2）

V

=

p

ò

ò

1

0

1

y

2

dx

-

p

4

ò

1

1

2

V

=

p

或

xdx

-

0

1

p

11

(2

x

-

1)

2

dx

=

p

ò

x

4

dx

-

p

ò

(2

x

-

1)

2

dx

=

p

012

30

=

p

(

-

)

=

p

30

3256

11