2024年4月16日发(作者：衡水志臻小升初数学试卷图片)
差分方程作业题
黄冈职业技术学院
宋进健 胡敏 熊梦颖
1．一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月
可有节余900元，且有如下的两种选择：
(1)使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月；
(2) 到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i）每半
个月还316元，(ii) 预付三个月的款。
你能帮他们做出明智的选择吗？
模型假设：
（1）银行及借贷公司在贷款期限内利率不变;
（2）不考虑物价变化和经济等因素从而影响利率；
（3）银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化
建立模型：
个月时欠款余额为
A
k
元，月还款m元。
A
K1
对第一种情况有:
设n年期贷款月利率为r，共贷款
A
元，贷款后第k
0
(1r)
A
k
m,kN
k
模型求解：
A
k
A
0
1r
m
r
k
1r
r
0
1
,kN
300
A
300
0m
A
(1r)
(1r)
1
300
由MATLAB得出结果m=631.9345
建立模型：
对第二种情况有: 设n年期贷款半月利率为r，共贷款
A
0
元，贷款后第
k个月时欠款余额为
A
k
元，半月还款m元。
模型求解：
r
0
A
K1
(1r)
k
A
k
m,kN
A
k
A
0
1r
m
1r
r
k
1
,kN
A
528
0m
A
(1r)
(1r)
1
528
528
由MATLAB得出结果m=
313.0038
模型分析：由第一种方式计算m=631.9345小于月节余额900元，能够承受
月还款；由第二种方式计算m=
313.0038小于借贷公司要求没半个月还款316元，
如果按照借贷公司要求则每月还款为632元大于第一种还款方式631.9345元，
故选择第一种还款方式。
2.
在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分
店。据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦
当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯
德基”。 用二维向量X
k
=[x
k
y
k
]
T
表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场
分配为X
0
= [200 200]
T
如果有矩阵L 存在，使得 X
k+1
= LX
k
，则称 L 为状态转移矩阵。
（1） 写出X
k
=[x
k
y
k
]
T
和X
k+1
=[x
k+1
y
k+1
]
T
的递推关系式，以及状态转移矩阵L。
（2） 根据递推关系计算近几年的市场分配情况；
模型假设：
（1） 当前的肯德基和麦当劳的市场份额继续不变。
（2） 肯德基和麦当劳不推出优惠活动和新的经营计划。
模型建立：
初始的市场分配数量为：
x
0
200,
y
200
0
以一年为一时间段，则某时刻两个快餐店的顾客数量可用向量
X
[
x
1
,
y
示。用向量
X
k
[
x
k
,
y
k
1
]
T
表
]
T
表示第K年两个快餐店顾客数量分布。
1
3
1
2
1
2
2
3
x
y
k1
x
k
y
x
k
k1
y
k
k
模型求解：
1
x
k1
3
y
k+1
]
T
的递推关系式为
1
y
k1
2
x
k
1
2
2
3
y
x
k
故X
k
=[x
k
y
k
]和X
k+1
=[x
k+1
T
，状
k
y
k
1
3
态转移矩阵
L
1
2
1
2
2
3
由初始数据计算近几年的市场分配情况，MATLAB程序如下：
x0=[200;200];
L=[1/3,1/2; 1/2,2/3];
X=x0;
x(1)=X(1);y(1)=X(2);
for k=2:6
X=L*X;
x(k)=X(1);y(k)=X(2);
end
t=0:5;
figure,bar(t,x),
figure,bar(t,y)
运行结果如下：
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
012345
肯德基五年内市场分配情况
300
250
200
150
100
50
0
012345
麦当劳五年内市场分配情况
更多推荐
市场,计算,借贷,模型,快餐店
发布评论