2024年4月11日发(作者：怎样研究数学试卷答案)
第一章 实数集与函数习题课
一 概念叙述
1．叙述
S
有上界，有下界，有界，无上界，无下界，无界的定义．
S
有上界
Û$M,\"xÎ S ,
有
x£ M
；
S
有下界
Û$L,\"xÎ S ,
有
x³ L
；
S
有界
Û
S
既有上界又有下界
Û$m,L,\"xÎ S ,
有
L£x£ m
Û$M>0,\"xÎ S ,
有
x£ M
；
S
无上界
Û\"M,$x
0
Î S ,
使得
x
0
> M
；
S
无下界
Û\"L,$x
0
Î S ,
使得
x
0
< L
；
S
无界
Û
S
无上界或
S
无下界
Û\"M>0,$x
0
Î S ,
使得
x
0
> M
．
2．叙述
h
=
supS
的定义．
1）设
S
为
R
中的一个数集．若数
h
满足：
（i）对一切
xÎ S ,
有
x
£
h
，即
h
是
S
的上界；
（ii）对任何
a
<
h
，存在
x
0
Î S
，使得
x
0
>
a
，即
h
是
S
的最小上界（比
h
小的数就不
是上界） ，则称数
h
为数集
S
的上确界，记作
h
=
supS
．
2）设
S
为
R
中的一个数集．若数
h
满足：
（i）对一切
xÎ S ,
有
x
£
h
，即
h
是
S
的上界；
（ii）对任何
e
>
0
，存在
x
0
Î S
，使得
x
0
>
h
-
e
，即
h
是
S
的最小上界，则称数
h
也为
数集
S
的上确界．
3．叙述
h
= inf S
的定义．
1）设
S
为
R
中的一个数集．若数
x
满足：
（i）对一切
xÎ S ,
有
x
³
x
，即
x
是
S
的下界；
（ii）对任何
b
>
x
，存在
x
0
Î S
，使得
x
0
<
b
，即
x
是
S
的最大下界（比
x
大的数就不
是
S
的下界），则称数
x
为数集
S
的下确界，记作
x
= inf S
．
2）设
S
为
R
中的一个数集．若数
x
满足：
（i）对一切
xÎ S ,
有
x
³
x
，即
x
是
S
的下界；
（ii）对任何
e
>
0
，存在
x
0
Î S
，使得
x
0
<
x
+
e
，即
x
是
S
的最大下界，则称数
x
为数
集
S
的下确界，记作
x
= inf S
．
4．叙述
f
(
x
)
在
D
上有上界,无上界,有下界,无下界，有界，无界．
f
(
x
)
在
D
上有上界
Û
$ M
，
\"xÎ D
，有
f
(
x
)
£ M
；
f
(
x
)
在
D
上无上界
Û
\" M
，
$x
0
Î D
，使得
f
(
x
0
)
> M
；
f
(
x
)
在
D
上有下界
Û
$ L
，
\"xÎ D
，有
f
(
x
)
³ L
；
f
(
x
)
在
D
上无下界
Û
\" L
，
$x
0
Î D
，使得
f
(
x
0
)
< L
．
f
在
D
上的有界
Û
$M > 0
，
\"xÎ D
，有
|f(x)|£ M
；
f
在
D
上的无界
Û
\"M > 0
，
$x
0
Î D
，使得
|f(x
0
)|³ M
．
二 疑难解析与注意事项
1．注意有理数用分数形式
(p,q为整数且 q ¹ 0)
表示．在讨论具体问题时，我们常设
p, q
互
质．
2．确界与最值有什么区别与联系？
（1）
S
的最值必属于
S
,但确界未必属于
S
，确界是一种临界点，例如
(
0,1
)
的上确界 1 不
属于
(
0,1
)
．
（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值，例如
(
0,1
)
有上下确界，
但无最值．
（3）若
maxS
存在,必有
maxS= supS .
对下确界有类似的结论．
3．下列等式
arcsin
(
sinx
)
= x
，
\"xÎ R
是否正确．
p
q
é
pp
ù é
pp
ù
答 不正确，
sinx
在
ê
-,
ú
单调增，则
sinx
在
ê
-,
ú
上具有反函数
arcsinx
，由原函数
ë
22
û ë
22
û
定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数定义域，因此
arcsinx
定义域是
[
- 1,1
]
，值
域是
ê
-
é
pp
ù é
pp
ù
,
ú
．因此
arcsin
(
sinx
)
的取值应该在
ê
-,
ú
上．
ë
22
û ë
22
û
é
pp
ù
,
ú
时，
arcsin(sinx) = x
．
22
û ë
注：1）当
x Î
ê
-
2）当
xÎ
[
- 1,1
]
时，
sin(arcsinx) = x
．
4．试问周期函数是否必定有基本周期（最小正周期） ．
答 否．例如，常数函数，狄利克雷函数都是周期函数．任何正实数都是常数函数的周
期，任何正的有理数都是狄利克雷函数的周期，但是这两个函数都无最小正周期．
，
g
(
x
)
=
，
x > 1
，试问复合 5． 设狄利克雷函数
函数
fo g
和
go f
是否存在？
1
x
答设有两函数设有两个函数
y=f(u),uÎD,u=g(x), xÎ E
，记
E=xg(x) Î D
I
E
，
若
E
g
¹
f
， ，函数
f
与
g
才能进行复合．
1）对 ，
D= R
，
g
(
x
)
=
，
x > 1
，有
g
{ }
1
x
E
g
=
{
xg(x) ÎD
}
I
E=E ¹Æ
于是
f
与
g
可以复合成
fo g
，其定义域为
E
．
（2）对
g
(
u
)
=
，
D=uu > 1
，
1
u
{ }
，
E= R
E
g
=
{
xf(x) ÎD
}
I
E =Æ
，于是
g
与
f
不能复合为
go f
．
6．由§2，习题 7 可知：若
A
，
B
皆为有界数集，则有
．
sup
(
A+B
)
=supA+ sup B
而本节教材例 2 中，若
f
，
g
为
D
上的有界函数，则
sup{f(x)+g(x)}£supf(x)+ supg(x )
xÎDxÎDxÎ D
而且可能成立严格不等式． 上面二式是否有矛盾？为什么？
答 并不矛盾，这是因为
{f(x)+g(x)xÎD}Ì{f(x)xÎD}+{g(x)xÎD}
而且在包含关系中左、 右两边的集合可能不相等．例如，
f
(
x
)
= x
，
g
(
x
)
=- x
，
D
=
[
0,1
]
，
易见
{f(x)+g(x)xÎD} =
{
0
}
，
{f(x)xÎD}+{g(x)xÎD} =
[
- 1,1
]
于是
{f(x)+g(x)xÎ D }
Ì
}
¹
{f(x)xÎD}+{g(x)xÎ D
出现不等的原因在于数集
{f(x)xÎD}+{g(x)xÎ D }
中
x
是独立地取自
D
中． 若把
{f(x)+g(x)xÎD}Ì{f(x)xÎD}+{g(x)xÎ D}
式中左、右两边的数集看作相同而应
用
sup
(
A+B
)
=supA+ sup B
，将导致错误的结论．
三 重点习题
1．设
a
为有理数，
x
为无理数，证明：
（1）
a+ x
是无理数； （2）当
a¹ 0
时，
ax
是无理数．
证 （1）反证法，设
a+ x
是有理数，则可设
a+x =
n
(m,n为整数且 m ¹ 0)
，由于
a
为有理数，
m
则可设
a=
p npnq- mp
(p,q为整数且 q ¹ 0)
， 于是
x =-= (mq,nq-mp为整数且 mq ¹ 0)
， 于是
q mqmq
x
是有理数，矛盾，则
a+ x
是无理数．
（2）反证法，设
ax
是有理数，则可设
ax =
设
a=
n
(m,n为整数且 m ¹ 0)
，由于
a
为有理数，则可
m
p nq
(p,q为整数且 q ¹ 0)
，由
a¹ 0
，知
p ¹ 0
，于是
x = (mp,nq为整数且 mp ¹ 0)
，于
q mp
是
x
是有理数，矛盾，则
ax
是无理数．
2．设
p
为正整数，证明：若
p
不是完全平方数，则
p
是无理数．
证 （反证）假设
p
为有理数，则存在正整数
m, n
使得
p =
22
n
，其中
m, n
互素．于
m
是
mp= n
，则
m
整除
n
，由于
m, n
互素，则
m, n
的最大公约数为 1，于是存在
u, v
，
使
mu+nv = 1
，从而
mu+mnv= m
，于是
m
可整除
n
，这样
m= 1
，从而
p= n
，这与
2
2
2
p
不是完全平方数相矛盾，故
p
是无理数．
3． 设
a, b
为任意实数，证明：
|a+ b||a||b |
£+
1+|a+b|1+|a|1+ |b |
x
证 我们将从函数
f ( x ) =
的性质着手证明不等式．
1 + x
x 1
设
f ( x ) =
=
1 -
，
x> 0
，若
0 1 < x 2 ，则 f ( x x 1 ) < f ( 2 ) ． 1 + x 1 + x 因为 a+b£a+ b ，于是有 |a+b||a|+ |b | £ 1+|a+b|1+|a|+ |b | | a | | b | = + 1 + | a | + | b | 1 + | a | + | b | £ |a||b | + ． 1+|a|1+ |b | 4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1） S=xx <2=- 2,2 { 2 } ( ) 解 sup S = 2 , inf S = - 2 ．下面依定义加以验证 supS = 2 ， 1） \"xÎ S ，有 - 2 < x < 2 ，即 2 是 S 的一个上界， 2） \"a< 2 ，若 a£- 2 ，则 \"x 0 Î S ，都有 x 0 >a ；若 -2 ，则由实数的稠 密性，在 a >a ． ,2 必有实数 x 0 ，即存在 x 0 Î S ，使得 x 0 所以 supS = 2 ． 下证 infS =- 2 1） \"xÎ S ，有 - 2 < x < 2 ，即 - 2 是 S 的一个下界， 2） \"a>- 2 ，若 a³ 2 ，则 \"x 0 Î S ，都有 x 0 ；若 -2 ，则由实数的稠密 性，在 -2, a 必有实数 x ． 0 ，即存在 x 0 Î S ，使得 x 0 所以 infS =- 2 ． （2） S= í xx=1- ( ) ( ) ì î 1 ü ． , nÎ N + ý n 2 þ 1 2 解 因为 nÎ N ， inf S = ． + ，对 n 取 1,2,L ，通过观察会发现 supS = 1 分析：要证 supS = 1 ，只要证： 1) 1 是上界： \"xÎ S , 有 x £ 1 ，显然成立； 2）1 是最小的上界（比 1 小的数不是上界）． 即要证对任何 e > 0 ，存在 x 0 Î S ，使得 x 0 >1 - e ， 即对任何 e > 0 ，要找到一个 x 0 Î S ，使得 x 0 >1 - e ， 1 且 x 0 >1 - e ， n 0 2 1 1 找 n 0 Î N + 的方法-----要使 x 0 >1 - e ，只要 1- n 0 >1 - e ，即要 n 0 < e ，即要 2 2 1 1 1 ù n 0 é 2 > ，即要 n 0 > log ，只要取 n 0 = ê log 2 ú + 1 ，就行． 2 即对任何 e > 0 ，找一个 n 0 Î N + ，使得 x 0 =1 - e e ë e û 下证 supS = 1 1） \"xÎ S , 有 x £ 1 ，即 1 是上界； 2）对任何 e > 0 ，取 n 0 = ê log 2 ú + 1 ，则 x 0 =1 - e 因此 supS = 1 ． 下证 inf S = ： é ë 1 ù û 1 Î S ，且 x 0 >1 - e ， n 0 2 1 2 11 1 ³ ，即 是下界； n 22 2 1 1 2）对任何 e > 0 ，取 n= 1 ，则 x 0 =Î S ，且 x 0 <+ e ， 2 2 1 因此 inf S = ． 2 1) \"xÎ S , 因为 nÎ N - + ，因此 x=1 注 要证 h = supS ，只要证 （i） h 是 S 的上界：对一切 xÎ S , 有 x £ h ； （ii） h 是 S 的最小上界：对任何 a < h ，存在 x 0 Î S ，使得 x 0 > a ． 或对任何 e > 0 ，存在 x 0 Î S ，使得 x 0 > h - e ． 5．设 S 为非空数集，定义 S - = { x| -xÎ S } ，证明 (1) infS - =- sup S ； (2) supS - =- inf S ． 证（1）证 infS=- sup S ， 令 x = inf S ，由下确界的定义知， 1） x 是下界，对任意的 xÎ S - ，有 x ³ x ； 2） x 是最大的下界， 比 x 大的不能作为下界． 任意 e > 0, ， 存在 x 0 Î S ， 使 x 0 < x + e ． 因为 S= { x| -xÎ S } ，当 xÎ S ，有 -xÎ S ． - - - - - 由 1）对任意的 -xÎS, -x £- x ，即 - x 是 S 的上界； 由 2）任意 e > 0, ，存在 -x 0 Î S ，使 -x 0 >- x - e ． 由上确界的定义知 supS =- x ，即 infS - =- sup S ． （2）证 supS - =- inf S ． 令 h = supS ，由上确界的定义知， 1） h 是上界，对任意的 xÎ S - ，有 x£ h ； 2） h 是最小的上界， 比 h 小的不能作为上界． 任意 e > 0, ， 存在 x 0 Î S ， 使 x 0 > h - e ． 因为 S= { x| -xÎ S } ，当 xÎ S ，有 -xÎ S ． - - - - 由 1）对任意的 -xÎS, -x ³- h ，即 - h 是 S 的下界； 由 2）任意 e > 0, ，存在 -x 0 Î S ，使 -x 0 <- h + e ． 由下确界的定义知 inf S =- h ，即 supS=- inf S ． 6．设 a 为任意实数， A 为 R 中非空有界数集，证明： - sup(A+a)=supA+ a , inf(A+a)=inf A+ a 其中 a + A = {a + x | x Î A } ． 证 先证 sup(A+a)=supA+ a , ． 由 supA 的定义，满足： （i） \" xÎ A ， x£ sup A ； （ii） \" e > 0 , $ x , x 0 Î A 0 > sup A - e ． 于是又满足： （i） \" xÎ A ， a+x£a+ sup A ； （ii） \" e > 0 , $ x , a + x 0 Î A 0 > a + sup A - e ． 因而证得 sup( a + A ) = a + sup A ． 同理可证 inf(A+a)=inf A+ a ． 7．设 A 、 B 皆为非空有界数集，定义数集 A+B=zz=x+y,xÎA, yÎ B ． 证明：（1） sup( A + B ) = sup A + sup B ；（2） inf(A+B)=infA+ inf B ． 证（1）因为 A 、 B 皆为非空有界数集，所以 supA 和 supB 都存在． 1）对任意的 zÎA+ B ，存在 xÎ A ， yÎ B ，使 z=x+ y ．于是 x£supA,y£ sup B ， 从而 z£supA+ sup B ，即 supA+ sup B 为 A+ B 的上界． 2）对任意的 e> 0 ，存在 x 0 ÎA, y 0 Î B ，使得 x 0 >supA- 在 z 0 = x 0 + y 0 Î A + B ，使 z 0 >supA+sup B -e ． 所以 sup(A+B)=supA+ sup B ． （2）证 inf(A+B)=infA+ inf B ． 1）对任意的 zÎA+ B ，存在 xÎ A ， yÎ B ，使 z=x+ y ．于是 x³infA,y³ inf B ， 从而 z³infA+ inf B ，即 infA+ inf B 为 A+ B 的下界． 2）对任意的 e> 0 ，存在 x 0 ÎA, y 0 Î B ，使得 x 0 在 z 0 = x 0 + y 0 Î A + B ，使 z 0 ． 因此 inf(A+B)=infA+ inf B ． 8．设 A, B 是数轴上位于原点右方的非空有界数集，记 AB=xyxÎA, yÎ B ，证明： { } ee ,y 0 >sup B - ，则存 22 ee ,y 0 ，则存 22 { } sup ( AB ) = supAsup B ． 证 先证 sup ( AB ) £ supAsup B 由上确界定义， \" ， \" yÎ B ， y£ sup B ，因为 x³0,y ³ 0 ，所以 xÎ A ， x£ supA, xy£ supAsup B ，这说明 supAsup B 是 AB 的一个上界，于是 sup ( AB ) £ supAsup B 再证 supAsupB£ sup ( AB ) ． 按上确界定义， \" e > 0 （不妨设 e< 1 ）， $ x , x , $ y 0 Î B , y 0 > sup B - e ， 0 Î A 0 > sup A - e 于是 $ x 0 y 0 Î AB ，使 x )(sup B - e ) ． 0 y 0 > (sup A - e 这样就有 supAB³x 0 y 0 >(supA-e)(supB -e ) ， 2 =supAsupB-(supA+supB ) e+e > sup A ∙ sup B - (sup A + sup B + 1 ) e 由于 A, B 中元素皆非负，因此 supA³ ³ 0 ， supA+supB +1³ 0 ，于是 e ¢ = (sup A + sup B + 1 ) e 仍为一任意小的正数．这样证得 supAsupB£ sup ( AB ) ． 由此得到 sup ( AB ) = supAsup B ． 9．确定下列初等函数的存在域: (1) y= sin(sinx ) ； (3) y = arcsin(lg (2) y= lg(lgx ) ； (4) y = lg(arcsin x ) ； 10 x ) ． 10 解（1）因为 sinx 的存在域为 R ，所以 y= sin(sinx ) 的存在域为 R ． （2） 存在域为 í x > 0 ì ， 因 lgx > 0 等价于 x> 1 ， 所以 y= lg(lgx ) 的存在域是 ( 1,+¥ ) ． lgx > 0 î ì x > 0 ï x x ï 10 （3）存在域为 í ，而 -1£lg£ 1 等价于 1£x £ 100 ，所以 y = arcsin(lg) x 10 10 ï -1£ lg £ 1 ï 1 0 î 的存在域是 [ 1,100 ] ． 注 y= arcsin x 的存在域是 [ - 1,1 ] ． x ì arcsin > 0 ï x ï é pp ù é pp ù 10 （4）存在域为 í ，因为 arcsin 的值域为 ê -, ú ，且 sinx 在 ê -, ú 上 x 10 ë 22 û ë 22 û ï -1 £ £ 1 ï î 10 递增，因此 arcsin x x ö x æ > 0 等价于 sin ç arcsin ÷ > sin0 ，即 > 0 ，即 x> 0 ．所以 10 10 ø 10 è y= lg(arcsin x ) 的存在域是 ( 0,10 ] ． 10 10．证明关于函数 y = [x ] 的如下不等式： （1）当 x> 0 时， 1-x êú £ 1 ；（2）当 x< 0 时， 1£x êú <1 - x ． x ëû ë x û é 1 ù é 1 ù 1 é 1 ù é 1 ù 1 证（1）因为 - 1 < ê ú £ ，所以当 x> 0 时，有 1-x êú £ 1 ． x ë x û x ë x û 1 é 1 ù é 1 ù 1 （2）当 x< 0 时，在不等式 - 1 < ê ú £ 中同时乘以 x ，可得 1£x êú <1 - x ． x ë x û x ë x û 注 对 y = [x ] 有不等式 x-1<[x] £ x 与 [x]£x<[x ]+ 1 ． 8．证明 f ( x ) = x 是 R 上的有界函数． x 2 + 1 证 当 x ¹ 0 时， f ( x ) = x 1 1 £ = ， 当 时， f (0)= 0 ， 因此 有 f(x ) £ ， x = 0 \"xÎ R 2 2 x + 1 2 x 2 x 故 f ( x ) = x 是 R 上的有界函数． x 2 + 1 注 本题常见错误是不讨论 x 是否为 0 ． 11．设 f和 g 为 D 上的有界函数．证明: (1) inf{f(x)+g(x)}£inff(x)+ supg(x ) ； xÎDxÎ D xÎ D (2) supf(x)+infg(x)£sup{f(x)+ g(x )} ． xÎD xÎ D xÎ D 解 法（1）1 \"e > 0 ， $ x 0 Î D ， 使得 f ( x ) +e ． xÎ D ， 有 g(x)£ supg(x ) ， \" 0 ) < inff (x xÎ D xÎ D 当然有 g(x 0 )£ supg(x ) ，于是 f ( x (x ) +e ，又因为 \"xÎ D ， 0 ) + g(x 0 )< inff(x)+ supg xÎ D xÎ D xÎ D 有 inf{f(x)+g(x)}£f(x)+ g(x ) ，当然有 inf{f(x)+g(x)}£ f ( x (x 0 ) + g 0 ) ，因此有 xÎ D xÎ D inf{f(x)+g(x)}£f ( x ) + e ，由 e 任意性有 0 ) +g(x 0 )< inff(x)+ supg(x xÎDxÎ D xÎ D
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