2024年3月14日发(作者：数学试卷已阅卷的照片)

.

.数 列

一．数列的概念：

（1）已知

a

n

n1

*

{a}

(nN)

，则在数列的最大项为__（答：）；

n

n

2

15625

an

，其中

a,b

均为正数，则

a

n

与

a

n1

的大小关系为__（答：

a

n

a

n1

）；

bn1

（2）数列

{a

n

}

的通项为

a

n

（3）已知数列

{a

n

}

中，

a

n

n

2

n

，且

{a

n

}

是递增数列，求实数

的取值范围（答：

3

）；

二．等差数列的有关概念：

1．等差数列的判断方法：定义法

a

n1

a

n

d(d

为常数

）

或

a

n1

a

n

a

n

a

n1

(n2)

。

设

{a

n

}

是等差数列，求证：以b

n

=

a

1

a

2

a

n

nN*

为通项公式的数列

{b

n

}

为等差数列。

n

2．等差数列的通项：

a

n

a

1

(n1)d

或

a

n

a

m

(nm)d

。

(1)等差数列

{a

n

}

中，

a

10

30

，

a

20

50

，则通项

a

n

（答：

2n10

）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

8

d3

）

3

3．等差数列的前

n

和：

S

n

n(a

1

a

n

)n(n1)

d

。 ，

S

n

na

1

22

1315

(n2,nN

*

)

，

a

n

，前n项和

S

n



，求

a

1

，

n

（答：

a

1

3

，

n10

）；

222

2

（1）数列

{a

n

}

中，

a

n

a

n1

2*

12nn(n6,nN)

T

n

2

（2）已知数列

{a

n

}

的前n项和

S

n

12nn

，求数列

{|a

n

|}

的前

n

项和

T

n

（答：）.

*

n12n72(n6,nN)

三．等差数列的性质：

1．当公差

d0

时，等差数列的通项公式

a

n

a

1

(n1)ddna

1

d

是关于

n

的一次函数，且率为公差

d

；前

n

和

S

n

na

1

n(n1)dd

dn

2

(a

1

)n

是关于

n

的二次函数且常数项为0.

222

2．若公差

d0

，则为递增等差数列，若公差

d0

，则为递减等差数列，若公差

d0

，则为常数列。

3．当

mnpq

时,则有

a

m

a

n

a

p

a

q

，特别地，当

mn2p

时，则有

a

m

a

n

2a

p

.

（1）等差数列

{a

n

}

中，

S

n

18,a

n

a

n1

a

n2

3,S

3

1

，则

n

＝____ （答：27）

（2）在等差数列

a

n

中，

a

10

0,a

11

0

，且

a

11

|a

10

|

，

S

n

是其前

n

项和，则

.

.

A、

S

1

,S

2

LS

10

都小于0，

S

11

,S

12

L

都大于0 B、

S

1

,S

2

LS

19

都小于0，

S

20

,S

21

L

都大于0

C、

S

1

,S

2

LS

5

都小于0，

S

6

,S

7

L

都大于0 D、

S

1

,S

2

LS

20

都小于0，

S

21

,S

22

L

都大于0

（答：B）

*

4．若

{a

n

}

、

{b

n

}

是等差数列，则

{ka

n

}

、

{ka

n

pb

n

}

(

k

、

p

是非零常数)、

{a

pnq

}(p,qN)

、

S

n

,S

2n

S

n

,S

3n

S

2n

，…也成等差数列，而

{a

a

n

}

成等比数列；若

{a

n

}

是等比数列，且

a

n

0

，则

{lga

n

}

是等

差数列. 等差数列的前

n

项和为25，前2

n

项和为100，则它的前3

n

和为 。（答：225）

S

偶

－S

奇

nd

；

S

奇

S

偶

a

中

，

S

2n1

(2n1)a

中

5．在等差数列

{a

n

}

中，当项数为偶数

2n

时，项数为奇数

2n1

时，

（这里

a

中

即

a

n

）；

S

奇

:S

偶

(k1):k

。如

（1）在等差数列中，S

11

＝22，则

a

6

＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列

{a

n

}

中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

6．若等差数列

{a

n

}

、

{b

n

}

的前

n

和分别为

A

n

、

B

n

，且

A

n

a(2n1)a

n

A

2n1

f(n)

，则

n

f(2n1)

.

B

n

b

n

(2n1)b

n

B

2n1

a

n

S

n

6n2

3n1

，求（答：）

b

n

T

n

4n3

8n7

如设{

a

n

}与{

b

n

}是两个等差数列，它们的前

n

项和分别为

S

n

和

T

n

，若

7．“首正”的递减等差数列中，前

n

项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前

n

项和的最小

a

n

0

a

n

0

确定出前多少项为非负（或非正）值是所有非正项之和。法一：由不等式组

；

或

a

n1

0

a

n1

0

法二：因等差数列前

n

项是关于

n

的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

nN

。

（1）等差数列

{a

n

}

中，

a

1

25

，

S

9

S

17

，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，

（2）若

{a

n

}

是等差数列，首项

a

1

0,a

2003

a

2004

0

，

a

2003

a

2004

0

，则使前

n

项和

S

n

0

成立的最大正整数

n

是

（答：4006）

8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差

数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究

a

n

b

m

.

四．等比数列的有关概念：

1．等比数列的判断方法：定义法

*

a

n1

aa

，其中

q0,a

n

0

或

n1

n

(n2)

。

q(q

为常数

）

a

n

a

n

a

n1

（1）一个等比数列{

a

n

}共有

2n1

项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则

a

n1

为____（答：

.

5

）；

6


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