数列的上极限和下极限

2024年1月21日发(作者：数学试卷中的方格图怎么画)

2017年2月教育教学论坛Feb.2017第8期EDUCATIONTEACHINGFORUMNO.8数列的上极限和下极限尹海燕（华侨大学数学科学学院，福建泉州430079）摘要：数列的上极限和下极限是数学分析课程中数列理论的重要概念。事实上，数列的上极限和下极限不仅在数列敛散性判别、求数列极限、级数敛散性判别等方面起着重要的作用，而且可以加深学生对实数完备基本定理的掌握和理解，为学生进一步学习函数、集合的上极限和下极限打下基础。下面将数列上极限和下极限做一简单介绍，以飨读者。关键词：数列的上极限和下极限；聚点；收敛中图分类号：G642.41文献标志码：A文章编号：1674-9324（2017）08-0195-02在数学分析课程中，数列的敛散性判别非常重容易证明：要，而证明数列收敛的方法也有很多方法[1]，比如ε-N聚点的等价定义[3]xn定义、柯西收敛准则、两个重要准则、归结原理和子列限a，则称a为数列瑟的子列嗓xnk瑟有极原理等。但是有时也可以用上极限和下极限来判断。聚点的存在性嗓xn定瑟：若数列理的一[2]：个有界数聚点。嗓本文主要介绍数列上极限和下极限的定义，性质以及列其应用。点，且存在最大聚点和最小聚点。嗓xn瑟至少有一个聚数列聚点的定义[2]：下面是数列上、下极限的定义：的无限项，称如a为果数在列a∈嗓xR的任何邻域内都有数列嗓x上极限和下极限的定义[2]：有界数列n瑟n瑟的一个聚点。点a与最小聚点a称为数列例1：数列（{-1）nn嗓x嗓xn瑟的最大，聚nn+1}的聚点是±1；作a=lim瑟的上极限和下极限记n→∞xna=limxn.n→∞例2：数列{sinnπ

4}的聚点是±1，±姨22和0；上极限和下极限的等价定义1[2]：若嗓xn瑟为有界例3：数列kk例4：数列嗓11瑟有聚点0；数列，则坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得当n>N时，有nxna-ε，k=1，2，3，…则称12123123a为数列2，3，3，4，4，4，5，5，5，若嗓嗓xnx瑟的上极限。n4使得当n>N瑟时为，有界数有x列，则坌ε>0，（1）若存在N∈篆，5，…的聚点是整个闭区间［0，1］；n>a-ε；（2）存在子列嗓xnkkk=1，2，3，…则a称为数列例5：数列1，1，2，1112，3，3，…，n，n，…的聚点是上极限和下极限的等嗓x瑟，xn

2017年2月教育教学论坛Feb.2017第8期EDUCATIONTEACHINGFORUMNO.8定理2[2]：若嗓xn瑟为有界数列，则数列nlim→∞xn=a的充存在子列K=max{N嗓bnk瑟，对于k∈篆，bnkK时，a-ε0，埚N∈篆，当n>N时，证明。|xn-a|<ε.由聚点的定义，a是数列嗓xn定理4[2，3]：上、下极限的四则运算。外一个聚点，不妨a0，liman+limbn≤lim（an+bn）≤liman+limbn，n→∞n→∞n→∞n→∞n→∞存在N∈篆，当n>N时，xa+ba+bliman2}只n→∞bn≤nlim→∞（an+bn）≤nlimn→∞→∞an+limn→∞bn.有数列的有限项，这与b是数列当an≥0，bn≥0，则数列liman·limbn≤lim（anbn）≤liman·limbn，n→∞n→∞n→∞n→∞n→∞是数嗓x嗓xn瑟的聚点矛盾。从而n列瑟嗓只x有唯一的聚点，（充分性N）由等价定义1，由an瑟的上极限，坌ε>0，埚1∈篆，当n>N1时，liman·xnlim→∞bn≤nlim→∞（anbn）≤nlim→∞an·n→∞nlim→∞bn.埚nN嗓xn瑟的下极限，对}于，上述ε，2∈篆2，xn>a-ε.取N=max{N1，N2当n>N时，当an>0，liman>0，则lima1n=|xn-a|<ε.从而a是注：必要性也可以使用嗓瑟子的列极原理限证。明得，证过程。n→∞n→∞n→∞更参考文献：简单。另外此定理也可以用来证明数列极限的存在[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京:高等教育性。出版社，2006.定理3[2]（上、下极限的保不等式性）：若[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社，2001.为有界数列，满足：存在N当n>N嗓an瑟，嗓bn瑟0∈篆，0时，an≤bn，则[3]费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].山东liman≤limbn，liman≤limbn.科学技术出版社,2008.n→∞n→∞n→∞n→∞[4]杜广麟.关于数列的上下极限的几个等价定义[J].安徽师大证明：假设a=liman，b=limbn，由等价定义2，学报(自然科学版),1981.坌ε>0，存在Nn→∞n→∞1∈篆，当n>N1时，an>a-ε；对于上述ε，UpperLimitandLowerLimitofSequenceYINHai-yan(SchoolofMathematicalSciences,HuaqiaoUniversity,Quanzhou,Fujian430079,China)Abstract:Aseriesoftheupperandlow,upperandlowerlimitsoftheseriesnotonlyintheseriesconvergencecriterion,thelimitofseries,playsanimportantroleintheseriesconvergencecriterionandsoon,butalsocandeepenthestudentstocompletethebasicrealthetheoremofgraspandunderstanding,forthestudentstolearnfunction,low-ingwillmakeabriefintroductiononthesequencelimitandlowerlimit,ds:upperandlowerlimitsofseries;accumulation;convergence-196-.. All Rights Reserved.