全国高二高中数学单元试卷带答案解析

2024年3月9日发(作者：金太阳必修四数学试卷)

全国高二高中数学单元试卷

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、选择题

1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )

**A．∀n∈N，f(n)∉N且f(n)＞n

**C．∃n0∈N，f(n0)∉N且f(n0)＞n0

B．∀n∈N，f(n)∉N或f(n)＞n

**D．∃n0∈N，f(n0)∉N或f(n0)＞n0

**

2.命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )

A．若A∪B≠A，则A∩B≠B

B．若A∩B＝B，则A∪B＝A

C．若A∩B≠B，则A∪B≠A

D．若A∪B≠A，则A∩B＝B

3.命题“若x2<1，则－1

2A．若x≥1，则x≥1，或x≤－1

2B．若－1

2C．若x>1或x<－1，则x>1

2D．若x≥1或x≤－1，则x≥1

4.对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（ )

A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5.下列命题中，真命题是( )

A．命题“若|a|＞b，则a＞b”

B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题

2C．命题“当x＝2时，x－5x＋6＝0”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”

6.已知命题p：∀x>0，A．p是假命题

；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，B．q是真命题

C．p∧(，则下列判断正确的是( )

)是真命题

D．()∧q是真命题

7.“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8.已知命题p：若x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则③，④A．1

，其中真命题的个数为( )

B．2

C．3

给出下列四个命题：①p∧q，②p∨q，D．4

9.命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）

A．0B．1

C．2

D．3

10.命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>则（ ）

A．p真q假

C．“p∨q”为假

，命题q：在△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的充要条件，B．“p∧q”为真

D．“p∨q”为真

11.是定义在上的函数，A．充要条件

C．必要而不充分条件

则“均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）

B．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件

12.有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①④

二、填空题

1.已知集合，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．

2.命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数“p∨q”“p∧q”“”中是真命题的为_________．

的定义域是[3，＋∞)，则3.已知p:-4＜x-a＜4，q:(x-2)(3-x)＞0,若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 .

4.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．

三、解答题

1.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)能被6整除的数一定是偶数；

(2)当时，a＝1，b＝－2；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.

2.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．

(1)对数函数都是单调函数；

(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

(3)∀x∈{x|x＞0}，；

(4)∃x0∈Z，log2x0＞2.

3.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假：

(1)p：3是素数，q：3是偶数；

(2)p：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解，q：x＝1是方程x2＋x－2＝0的解．

4.已知命题p：{x|1－c＜x＜1＋c，c＞0}，命题q：(x－3)2＜16，p是q的充分不必要条件，试求c的取值范围．

5.已知a＞0，a≠1.设命题p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．

6.已知命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题．

(1)求实数m的取值集合B；

(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

全国高二高中数学单元试卷答案及解析

一、选择题

1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )

A．∀n∈N，f(n)∉N且f(n)＞n

**C．∃n0∈N，f(n0)∉N且f(n0)＞n0

**B．∀n∈N，f(n)∉N或f(n)＞n

**D．∃n0∈N，f(n0)∉N或f(n0)＞n0

**

【答案】D

【解析】全称命题的否定为特称命题，则

命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0.

本题选择D选项.

2.命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )

A．若A∪B≠A，则A∩B≠B

B．若A∩B＝B，则A∪B＝A

C．若A∩B≠B，则A∪B≠A

D．若A∪B≠A，则A∩B＝B

【答案】A

【解析】根据命题“若，则”的否命题为“若非，则”，故选A.

3.命题“若x2<1，则－1

2A．若x≥1，则x≥1，或x≤－1

2B．若－1

2C．若x>1或x<－1，则x>1

2D．若x≥1或x≤－1，则x≥1

，则非”可得“若，则”的否命题为“若

【答案】D

【解析】逆否命题需将原命题的条件和结论交换后并分别否定，所以为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1

【考点】四种命题

4.对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（ )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】非零向量， ， ∥ 推不出“+=”；反之， += “ ∥，由此可知“ ∥”是“+=成立的充分不必要条件,选.

【考点】1.充要条件；2.共线向量.

5.下列命题中，真命题是( )

A．命题“若|a|＞b，则a＞b”

B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题

2C．命题“当x＝2时，x－5x＋6＝0”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”

【答案】D

【解析】时，

6.已知命题p：∀x>0，A．p是假命题

；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，B．q是真命题

C．p∧(，则下列判断正确的是( )

)是真命题

D．()∧q是真命题

时，成立，但，则不成立，故命题“若”，为假命题；命题“当，则时，”为假命题；命题“若，则”的逆命题为命题“若”的否命题为命题“当”，为假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，故选D.

【答案】C

【解析】当时，，，当且仅当为假命题，则时等号成立，∴命题为真命题．∴为真命题，为假命题；当是假命题，，∴命题：是真命题，故选C.

点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，考查了利用基本不等式求最值，是中档题；利用基本不等式求最值判断命题的真假，由指数函数的值域判断命题的真假，然后结合复合命题的真值表加以判断.

7.“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )

D．既不充分也不必要条A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

件

【答案】C

【解析】当程“

时，方程，即，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方，所以，由上述推理可知，“”是方程至少有一个负数根时，不可以为0，从而至少有一个负数根”的充要条件，故选C.

8.已知命题p：若x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则③，④A．1

，其中真命题的个数为( )

B．2

C．3

给出下列四个命题：①p∧q，②p∨q，D．4

【答案】B

【解析】若，即命题：若，根据实数的性质得：，则，即、全为0，则命题为假命题，②为真命题；若为真命题，③非，则为假命题，为假命题；故：①④非为真命题，即真命题的个数为2个，故选B.

9.命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】C

【解析】直接判断原命题真假，写出原命题的逆命题，判断其真假，然后结合原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，再根据互为逆否命题的两个命题共真假加以判断．

解：命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”是真命题，

∴其逆否命题也为真命题．

原命题的逆命题为：“若△ABC是直角三角形，则∠C=90°”是假命题（△ABC是直角三角形不一定角C为直角），

∴原命题的否命题也是假命题．

∴真命题的个数是2．

故选：C．

【考点】四种命题的真假关系．

10.命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>则（ ）

A．p真q假

C．“p∨q”为假

，命题q：在△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的充要条件，B．“p∧q”为真

D．“p∨q”为真

【答案】B

【解析】由题意得，不等式是恒成立，所以，所以命题是真命题；又因为在中，的充要条件是正确的，所以命题为真命题；所以为真命题，故选B．

【考点】复合命题的真假判定．

11.是定义在上的函数，A．充要条件

C．必要而不充分条件

则“均为偶函数”是“B．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件

为偶函数”的（ ）

【答案】B

【解析】由于立时，即是定义在上的函数，说明函数定义域关于原点对称，同时当条件成均为偶函数”，则可知f(-x)=\"f(x),\" g(-x)=g(x),那么根据偶函数定义可知h(-x)=\" f(-x)+g(-x)=\"

f(x)+g(x)=h(x),因此可知为偶函数.反之则当h(x)==显然是偶函数，但是f(x)不是偶函数，结论不能推出条件，故选B。

【考点】本题主要是考查函数奇偶性的运用。

点评：解决该试题的关键是能根据函数的偶函数的定义得到由条件可以判定结论成立，同时当结论成立的时候可以举出反例说明不一定成立。

12.有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①④

【答案】D

【解析】①的逆命题为若，若且，则的解集是为真命题，故否命题也为真；②的逆命题为“对角线相等的四的解集是，即的范围为，则，时，应满足边形是矩形”，是假命题，故否命题也为假命题；③其逆命题为：若所以其逆命题是真命题；④其逆否命题为：若不是无理数，则①③④正确，故选C.

不是无理数，所以其逆否命题是真命题；故

二、填空题

1.已知集合则实数的取值范围是 ．

【答案】

【解析】因为成立的一个充分不必要的条件是，所以，，若成立的一个充分不必要条件是，，即所以实数的取值范围是

【考点】充分条件和必要条件的应用

2.命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数“p∨q”“p∧q”“【答案】【解析】∵若数”中是真命题的为_________．

，则或.

，即不成立；故命题：是的定义域是[3，＋∞)，则的充分条件，为假命题；∵函为真命题；的定义域是假命题，故答案为，∴命题为真命题；由复合命题真值表得：非p为真命题；点睛：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，其中判断出命题p与命题q的真假，是解答本题的关键，对复合命题真值表要牢记；根据充要条件的定义及函数定义域的求法，我们先判断出命题与命题的真假，再根据复合命题真值表，逐一判断题目中三个命题的真假，即可得到答案.

3.已知p:-4＜x-a＜4，q:(x-2)(3-x)＞0,若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 .

【答案】［-1,6］

【解析】∵p是q的充分条件，∴p是q的必要条件，又p:a-4＜x＜a+4，q:2

【考点】本题考查了简易逻辑的运用

点评：等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命

题来考查条件与结论间的充分、必要关系．

4.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．

【答案】[1,2)

【解析】主要考查简单的逻辑联结词的含义。

解：x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，

即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，

所以1≤x<2，即x∈[1,2)．

三、解答题

1.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)能被6整除的数一定是偶数；

(2)当时，a＝1，b＝－2；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.

【答案】见解析

【解析】分别确定每个命题的条件和结论然后改写成“若被6整除，则这个数为偶数．真命题．

(2)若，则且真命题．

，则”的形式，并判断真假.试题解析：(1)若一个数能(3)已知，为正整数，若，则且，假命题．

2.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．

(1)对数函数都是单调函数；

(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

(3)∀x∈{x|x＞0}，；

(4)∃x0∈Z，log2x0＞2.

【答案】见解析

【解析】根据全称命题和特称命题的定义，全称命题要包含全称量词，特称命题要包含特称量词，我们逐一分析四个命题（1）中隐含“所有”，（2）中含至少，（3）中含任意，（4）中含存在，易得到答案.

试题解析：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．

(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．

(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题；

(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．

3.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假：

(1)p：3是素数，q：3是偶数；

(2)p：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解，q：x＝1是方程x2＋x－2＝0的解．

【答案】见解析

【解析】（1）由题设知：或：3是素数或3是偶数；且：3是素数且3是偶数；非：3不是素数，由此能判断它们的真假；（2）或：是方程的解或是方程的解；且：是方程的解且x＝1是方程的解；非：不是方程的解，由此能判断它们的真假.

试题解析：(1)或：3是素数或3是偶数；且：3是素数且3是偶数；非：3不是素数，因为真，假，所以“或”为真命题，“且”为假命题，“非”为假命题．

(2)或：是方程的解或是方程的解；

且：是方程的解且x＝1是方程的解；

非：不是方程的解．

因为真，真，所以“或”为真命题，“且”为真命题，“非”为假命题．

4.已知命题p：{x|1－c＜x＜1＋c，c＞0}，命题q：(x－3)2＜16，p是q的充分不必要条件，试求c的取值范围．

【答案】

【解析】对于：，得其对应的集为集合B的真子集，解出即可.

试题解析：命题对应的集合，因为，由且可解得命题对应的集合，所以解得，所以，由于是的充分而不必要条件，可得是的充分不必要条件，所以

的取值范围是．

5.已知a＞0，a≠1.设命题p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．

【答案】【解析】当为真命题时，

为真命题时，根据对数型函数单调性的规律得到或，因为“”为真且“；根据一元二次方程根的判别式，得到当、中一个为真，另一个为假，最”为假，说明命题后据此进行分类讨论，可得的取值范围.

试题解析：当时，函数是单调递减函数，故真时，在内单调递减，当时，，即或在，∵内不或为真，，为真等价于且为假，∴，中必定是一个为真一个为假．(1)若真，假时，则，即，(2)若假，真时，则，∴，综上可知，的取值范围为.

6.已知命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题．

(1)求实数m的取值集合B；

(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】

，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，求出的范围；（2）通过对二，求出的范围.

在【解析】（1）分离出次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合，“是试题解析：(1)命题：“，都有不等式时恒成立，∴(2)不等式分不必要条件，则，∴的充分不必要条件，则的充分不必要条件，则，①当，此时成立；③当成立，∴，得，即，即的充分不必要条件”即成立”是真命题，得．

时，解集；②当，即，即时，解集，若时，解集是，若，若的充是是. ，此时，综上①②③可得的取值范围是点睛：本题主要考查了一元二次不等式在给定范围内恒成立问题以及含有参数的一元二次不等式的解法，解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，经常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论.