数学形态学的应用研究

2024年4月2日发(作者：完成二张数学试卷)

数学形态学的应用研究

摘要

对信号进行分析时通常采用传统的傅立叶变换方法，傅立叶变换是时域和频域相互转换

的数学工具，从物理意义上讲其实质是将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加。这样我

们可以把对波形函数的研究转化为对其变换的研究。当信号中混杂着噪声时，通常的方法是

将混杂着噪声的信号变换到频域，根据有用信号和噪声在频域所占的频段不同，通过低通、

高通、带通或带阻滤波器对噪声加以滤除，再进行信号的重构，恢复原信号，但现实中的噪

声和有用信号通常在频域中是分不开的，例如随机噪声、白噪声等。

为了解决这一问题，人们一直在寻找新的方法。近些年来，基于图象或信号直观特点的

数学形态学，在图象处理领域取得了广泛的应用。它摒弃了传统的数值建模及分析的观点，

从集合的角度来刻画和分析图象。其研究图象几何结构的基本思想是利用一个结构元素去探

测一个图象，看是否能够将这个结构元素很好的填放在图象的内部，同时验证填放结构元素

的方法是否有效。因此，形态学算子的性能将主要以几何方式进行刻画。这种显式的几何描

述特点更适合视觉信息的处理和分析。

在信号处理领域，Matlab作为功能强大的应用型软件，其傅立叶分析工具箱和小波分析

工具箱己经非常成熟，研究者可以将其提供的功能函数应用到实际工作中去，但是形态学工

具箱目前还主要集中在二维图象处理上，在一维信号处理方面并没有提供相应的函数，鉴于

数学形态学在图象处理方面取得的骄人成绩，开发其一维信号处理工具箱以便研究人员更好

的应用就显得有价值。

本文即是在深入研究数学形态学基本理论的基础上，编写出其一维信号形态处理函数，

包括腐蚀、膨胀、开、闭等多种形态运算，并应用这些基本函数对一维信号的降噪滤波特性

予以仿真分析，加深对该方法相关特性的认识。

关键词:数学形态学;结构元素;腐蚀;膨胀

数学形态学(Mathematical Morphology)诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院

博士生赛拉(J. Serra)和导师马瑟荣，在从事铁矿核的定量岩石学分析及预测其开采

价值的研究中提出“击中/击不中变换”，并在理论层面上第一次引入了形态学的表

达式，建立了颗粒分析方法。他们的工作奠定了这门学科的理论基础，如击中/击不

中变换、开闭运算、布尔模型及纹理分析器的原型等。数学形态学的基本思想是用具

有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的

目的。

数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它具有完备的数学基础，这为

形态学用于图像分析和处理、形态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。

数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结

构。数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构，实现了形态学分析和处理算法的

并行，大大提高了图像分析和处理的速度。

数学形态学是由一组形态学的代数运算子组成的，它的基本运算有4个：膨胀（或

扩张）、腐蚀（或侵蚀）、开启和闭合，它们在二值图像和灰度图像中各有特点。基

于这些基本运算还可推导和组合成各种数学形态学实用算法，用它们可以进行图像形

状和结构的分析及处理，包括图像分割、特征抽取、边界检测、图像滤波、图像增强

和恢复等。数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，当探

针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而了解图像的结

构特征。数学形态学基于探测的思想，与人的FOA(Focus Of Attention)的视觉特点

有类似之处。作为探针的结构元素，可直接携带知识（形态、大小、甚至加入灰度和

色度信息）来探测、研究图像的结构特点。

数学形态学的基本思想及方法适用于与图像处理有关的各个方面，如基于击中/

击不中变换的目标识别，基于流域概念的图像分割，基于腐蚀和开运算的骨架抽取及

图像编码压缩，基于测地距离的图像重建，基于形态学滤波器的颗粒分析等。迄今为

止，还没有一种方法能像数学形态学那样既有坚实的理论基础，简洁、朴素、统一的

基本思想，又有如此广泛的实用价值。有人称数学形态学在理论上是严谨的，在基本

观念上却是简单和优美的。

数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科，其基本思想和方法对图像

处理的理论和技术产生了重大影响。事实上，数学形态学已经构成一种新的图像处理

方法和理论，成为计算机数字图像处理的一个重要研究领域，并且已经应用在多门学

科的数字图像分析和处理的过程中。这门学科在计算机文字识别，计算机显微图像分

析(如定量金相分析，颗粒分析)，医学图像处理（例如细胞检测、心脏的运动过程研

究、脊椎骨癌图像自动数量描述），图像编码压缩，工业检测(如食品检验和印刷电

路自动检测)，材料科学，机器人视觉，汽车运动情况监测等方面都取得了非常成功

的应用。另外，数学形态学在指纹检测、经济地理、合成音乐和断层X光照像等领域