2024年4月17日发(作者：数学试卷高中大题有几题)

2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二上学期第一次月考（11月）数学

（理）试题

一、单选题

22

1．若直线

xya0

过圆

C:xy2x4y30

的圆心，则

a

（

）

A．0

D

B．1C．2D．3

22

C:xy2x4y30

的圆心坐标，根据圆心在直线

xya0

上，代入即【分析】先求出圆

可求解.

22

【详解】解：圆

C:xy2x4y30

，

x1

y2

即

22

2

，

圆

C

的圆心坐标为：

(

1,2

)

，

1,2

将

(

)

代入

xya0

，

即

12a0

，

解得.

a3

故选：D.

2．直线

A．

3

C．

3

或

2

A

【分析】由直线与直线平行的判断条件求解即可

【详解】因为直线

l

1

:ax3y10

，

l

2

:2x(a1)y10

，若

l

1

∥l

2

，则

a

的值为（

）

B．

2

D．

3

或

2

l

1

:ax3y10

，

l

2

:2x(a1)y10

，且

l

1

∥l

2

，

a3



1

所以

2a

1

，解得a＝3，

故选：A．

3．已知平面

,

,

，直线

m

和

n

，则下列命题中正确的是（

）

A．若

m

,m

，则

∥

B．若

,

，则

∥

C．若

mn,m

，则

n∥

,n

，则

m

∥

n

D．若

m∥∥

A

【分析】对于A选项，垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

对于B选项，垂直于同一个平面的两个平面有可能相交，也有可能互相平行；

对于C选项，由线面垂直的性质即可判断；

对于D选项，平行于同一个平面的两条直线有可能相交、平行或异面.

【详解】选项A正确，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；

选项B错误，平面

和

也可以相交；

选项C错误，直线

n

可能在平面

内；

选项D错误，直线

m

和

n

还可能相交或者异面.

故选：A.

3

4．已知体积公式

VkD

中的常数

k

称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方

3

体，球也可利用公式

VkD

求体积（在等边圆柱中，

D

表示底面圆的直径；在正方体中，

D

表示

棱长，在球中，

D

表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为

a

），正方体

（棱长为

a

），球（直径为

a

）的“立圆率”分别为

k

1

，

k

2

，

k

3

，则

k

1

:k

2

:k

3

（

）

A．

4

:1:

6

C．

3:2

:2

A

B．

4

11

:

6

D．

:2:

6

1

4

:

【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.

a

V

圆柱

=



a

k

1

a

3

k

1

2

4

，【详解】因为，所以

因为

2

V

正方体

a

3

k

2

a

3

3

，所以

k

2

1

，

4

a

V

球





k

3

a

3

k

3

3

2

6

，因为，所以

所以

k

1

:k

2

:k

3

4

:1:

6

.

故选：A.

22

PF3

PF

F

5．点P为椭圆

4xy16

上一点，

1

，

F

2

为该椭圆的两个焦点，若

1

，则

2

（

）

A．13

D

B．1C．7D．5

【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到

PF

1

PF

2

2a8

，从而求出答案.

x

2

y

2



1

PFPF

2

2a8

416

【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：

1

，

故

PF

2

5

故选：D

6．已知函数

A．

C．

D

【分析】由

f

x

log

2

xx1

，则不等式

f

x

0

的解集是（

）

1,2

0,2

,1

2,

B．

D．

0,1

2,

f

x

0

可得

log

2

xx1

，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案.

等价于【详解】解：依题意，

在同一坐标系中作出

f

x

0

log

2

xx1

，

ylog

2

x

，

yx1

的图象，如图所示：

如图可得

故选：D.

log

2

xx1

的解集为.

0,1

2,

0,

7．下列函数中，同时满足：①在

2

上是严格增函数；②以

2

为周期；③是奇函数的函数是

（

）

A．

C．

C

【分析】由三角函数的单调性、周期性及奇偶性逐项判断即可得解.

ysin

x

B．

ycosx

D．

ytanx

ytan

x

2

0,

ysin

x

sinx

【详解】对于A，，该函数在

2

上单调递减，不合题意；

0,

ycosx

对于B，，该函数在

2

上单调递减，且为偶函数，不合题意；

ytan

对于C，

x

x

0,

ytan

x

0,

x

0,

2

时，

2

4

，

2

，当

2

在

2

上是增函数，

T

最小正周期

1

2

2

，且为奇函数，符合题意；

0,

ytanx

对于D，，在

2

上单调递减，不合题意.

故选：C.

2222

C

C

(xa)(y2)4(xb)(y1)1

相外切，则

ab

的最大值为（　　

1

2

8．已知圆：与圆：

）

A．2

A

2

【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得

(ab)=8

，要使

ab

取得最大值，则

a

，

B．

17

9

C．

4

D．4

b

同号，不妨取

a0

，

b0

，然后利用基本不等式求得

ab

的最大值.

22

C:(xa)(y2)4

的圆心为

C

1

(a,2)

，半径

r

1

2

，

1

【详解】圆

22

C:(xb)(y1)1

的圆心为

C

2

(b,1)

，半径

r

2

1

，

2

圆

由圆C

1

与圆C

2

相外切，得

|C

1

C

2

|r

1

r

2

即

(ab)

2

(21)

2

3

，

2

(ab)=8

；∴

要使

ab

取得最大值，则

a

，

b

同号，不妨取

a0

，

b0

，

由基本不等式，得

ab

(

a

b

2

8

)

=2

24

，当且仅当

ab2

时等号成立，

∴ab的最大值为2．

故选：A

14

m,n

1,5

ll

135

mn

的最小值为（

）9．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则

A．4

D

B．9

2

C．

3

3

D．

2

【分析】由题得

mn6(m0,n0)

，再利用基本不等式求解.

n

5

tan135



1,

m

n

6(m

0,n

0)

【详解】由题得

m

1

，

141141n4m1n4m3



(

)(m

n)

(5



)

(5

2

)

6mn6mn2

.所以

mn6mn

当且仅当

m2,n4

时取等.

3

14

所以

mn

的最小值为

2

.

故选：D

14114



(

)(m

n)

mn6mn

关键点睛：解答本题的关键在于“拼凑”化简，再利用基本不等式求解.

10．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂

心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角

形的欧拉线. 已知

ABC

的顶点

A．

x2y30

C．

x2y30

D

【分析】求出重心，求出

AB

边上的高和AC边上的高的方程，联立可求出垂心，即可求出欧拉线

的方程.

A

4,0

,B

0,2

,C

0,3

，则

ABC

欧拉线的方程为（

）

B．

2xy30

D．

2xy30

41

G

,

【详解】由题可得

ABC

的重心为

33

，

0

21



2

，所以

AB

边上的高的斜率为2，则

AB

边上的高的方程为直线

AB

的斜率为

4

0

y32

x0

，即

2xy30

，

0

33

4

直线AC的斜率为

4

04

，所以AC边上的高的斜率为

3

，则AC边上的高的方程为

4

y2

x0

3

，即

4x3y60

，

2x

y

3

0

3

H

,0

联立

4x

3y

6

0

可得垂心坐标为

2

，

1



0

3

2

3



43

y

0

2

x

2

，

则直线GH的斜率为

32

，则直线GH的方程为

所以

ABC

欧拉线的方程为

2xy30

.

故选：D.

11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一

条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，在堑

堵

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

AC

BC

，且

AA

1

AB2

.下列说法错误的是（

）

A．四棱锥

B．四面体

BA

1

ACC

1

为“阳马”

AC

11

CB

为“鳖臑”

2

BA

1

ACC

1

体积的最大值为

3

C．四棱锥

D．过A点作

C

【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当

ACBC

时，四棱锥

AEA

1

B

于点E，过E点作

EFA

1

B

于点F，则

A

1

B

面AEF

BA

1

ACC

1

体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证

A

1

B

平面

AEF

，进而判断D的

正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

∴在堑堵

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

AC

BC

，侧棱

AA

1

平面

ABC

，

AA

1

BC

，又

AC

BC

，且

AA

1

ACA

，则

BC

平面

A

1

ACC

1

，A选项，∴

∴ 四棱锥

BA

1

ACC

1

为“阳马”，故A正确；

A

1

C

1

BC

，又

AC

11

C

1

C

且

BCC

1

CC

，B选项，由

AC

BC

，即

∴

A

1

C

1

平面

BB

1

C

1

C

，∴

A

1

C

1

BC

1

，则

A

1

BC

1

为直角三角形，

又由

BC

平面

AA

1

C

1

C

，得

A

1

BC

为直角三角形，由“堑堵”的定义可得

AC

11

C

为直角三角形，

CC

1

B

为直角三角形，∴ 四面体

AC

11

CB

为“鳖膈”，故B正确；

22

C选项，在底面有

4ACBC2ACBC

，即

ACBC2

，当且仅当

ACBC2

时取等号，

4

1124

V

B

A

1

ACC

1

S

A

1

ACC

1

BC

AA

1

AC

BC

AC

BC

3333

，最大值为

3

，故C错误；

D选项，因为

故选：C

AEA

1

B

，

EFA

1

B

，

AEEFE

，所以

A

1

B

平面

AEF

，故D正确；

x

2

y

2

C:

2

2

1(a

b

0)

F

F,F

12

ab

12．已知分别为椭圆的左､右焦点，过

1

的直线与

C

交于

P,Q

两点，

若

PF

1

2PF

2

5F

1

Q

，则

C

的离心率是（

）

3

B．

4

5

C．

4

3

A．

5

5

D．

3

D

【分析】由已知，画出图像，根据

PF

1

2PF

2

5F

1

Q

，可令

F

1

Qt

，然后表示出

PF

1

，

PF

2

，

然后利用椭圆定义找到

t

与

a

之间的关系，然后用

a

分别表示出

利用勾股定理判定

PQ

、

QF

1

、

QF

2

，在

PQF

2

中，

QPF

2

π

2

，然后在

△PF

1

F

2

中，可表示出

c

与

a

之间的关系，从而求解离心率.

【详解】由已知，可根据条件做出下图：

因为

PF

1

2PF

2

5F

1

Q

，令

F

1

Qt

，

515

5

PFPF2a5ttt

PFt

12

2

PF

1

5t

22

，

2

所以，，由椭圆的定义可知

4424

4

4

42

PQPF

1

F

1

Qaaa

F

1

Qa

ta

PF

1

aPF

2

a

31515

15

15

33

所以，所以，，，，

由椭圆的定义可知

在

QF

1

QF

2

2aQF

2

222

26

a

15

，

π

2

,

2

PQF

2

中，

QF

2

QPPF

2

，所以

2

QPF

2

2

2

c

FFF

1

PPF

2

△PF

1

F

2

中，

FF

12

在，所以

12

16

2

4

2

c

2

5c5

2

a

a

4c

2



e



9a9a3

.所以

9

5

所以

C

的离心率是

3

.

故选：D.

二、填空题

1,1

在圆

xa

13．若点

2

y

2

5

的外部，则实数a的取值范围是___________.

,1

3,

【分析】根据题意，建立不等式即可求解.

1a

【详解】由题意可知

则实数a的取值范围是

故

2

1

2

5

，解得

a1

或

a3

，

,1

3,

，

,1

3,

a

n



a

S

n

n

2

3n

14．数列中，，则

n

__________.

2n2

当

n1

时，

a

1

S

1

4

，当

n2

时，根据

【详解】当

n1

时，

a

1

S

1

4

，

22

当

n2

时，

S

n

1

(n

1)

3(n

1)

n

n

2

，

22

a

S

S

n

3n

(n

n

2)

2n

2

，

nnn

1

所以

*

a

n

S

n

S

n

1

，即可求得

a

n

，综合即可得答案.

又

a

1

4

，满足上式，所以

a

n

2n2(nN)

，

故

2n2

15．若三棱锥

PABC

的各顶点都在球

O

的表面上，

ABBCCA43

，

PAPBPC42

，

则球

O

的表面积为___________.

64π

【分析】由已知条件可知三棱锥

PABC

是正三棱锥，设

ABC

的中心为

O

1

，则外接球的球心

O

在

PO

1

所在直线上，在在

RtAOO

1

中，由勾股定理求得外接球半径

R

，再由球的表面积公式即可求解.

【详解】因为三棱锥

PABC

中，

ABBCCA43

，

PAPBPC42

所以此三棱锥为正三棱锥，

设底面

ABC

的中心为

O

1

，连接

AO

1

并延长交

BC

于点

D

，则

D

为

BC

的中点，

外接球球心

O

在

PO

1

所在直线上，

因为

AB43

，所以

因为

PA42

，所以

AO

1

223

AD434

332

，

PO

1

PA

2

AO

1

2



442

2

2

4

，

设球

O

的半径为

R

，在

RtAOO

1

中，

2

AO

1

4

，

AOR

，

OO

1

4R

，

222

16

4R

R

2

AOOOAO

11

由可得，解得

R4

，

2

所以

O

1

即为球心

O

，球的半径

R4

，所以球

O

的表面积为

4π464π

.

故答案为.

64π

16．某海轮以

30

海里/时的速度航行，在点

A

测得海面上油井

P

在南偏东

60

方向上，向北航行


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直线,椭圆,题意,已知,分析