2023年12月7日发(作者：数学试卷没考好写检讨怎么写)

2022全国I卷新高考真题

数 学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合M={x|x4}，N={x|3x1}，则MA．{x|0x2} B．{x|1x2}

3N=(

)

C．{x|3x16} D．{x|1x16}

32．若i(1−z)=1，则z+z=(

)

A．−2 B．−1 C．1 D．2

3．在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=(

)

A．3m−2n B．−2m+3n C．3m+2n D．2m+3n

4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(72.65)(

)

A．1.0109m3 B．1.2109m3 C．1.4109m3 D．1.6109m3

5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

)

A．1

61B．

3C．1

2D．2

3326．记函数f(x)=sin(x+)+b(0)的最小正周期为T．若，2)中心T，且y=f(x)的图像关于点(234对称，则f()=(

)

2A．1

7．设a=0.1e0.1，b=A．abc

B．3

2C．5

2D．3

1，c=−ln0.9，则(

)

9B．cba C．cab D．acb

8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36，且3l33，则该正四棱锥体积的取值范围是(

)

A．[18，81]

4B．[2781，]

44C．[2764，]

43D．[18，27]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则(

)

A．直线BC1与DA1所成的角为90

B．直线BC1与CA1所成的角为90

1 / 18

C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45 D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45

10．已知函数f(x)=x3−x+1，则(

)

A．f(x)有两个极值点

B．f(x)有三个零点

C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心

D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

11．已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则( )

A．C的准线为y=−1

C．|OP||OQ||OA|2

B．直线AB与C相切

D．|BP||BQ||BA|2

312．已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x)．若f(−2x)，g(2+x)均为偶函数，则2( )

A．f(0)=0

1B．g(−)=0 C．f(−1)=f（4）

2D．g(−1)=g（2）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

y13．(1−)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 （用数字作答）．

x14．写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程 ．

15．若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．

x2y2116．已知椭圆C:2+2=1(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的ab2直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则ADE的周长是 ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：111+++2．

a1a2ancosAsin2B．

=1+sinA1+cos2BSn1}是公差为的等差数列．

3an18．（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若C=2，求B；

3a2+b2（2）求的最小值．

c219．（12分）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．

（1）求A到平面A1BC的距离；

2 / 18 （2）设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值．

20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

病例组

对照组

不够良好

40

10

良好

60

90

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，

B表示事件“选到的人患有该疾病”，

P(B|A)P(B|A)与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

P(B|A)P(B|A)（ⅰ）证明：R=P(A|B)P(A|B)；

P(A|B)P(A|B)（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

n(ad−bc)2附：K=．

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P(K2k)

k

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828

x2y2=1(a1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之21．（12分）已知点A(2,1)在双曲线C:2−2aa−1和为0．

（1）求l的斜率；

（2）若tanPAQ=22，求PAQ的面积．

22．（12分）已知函数f(x)=ex−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．

（1）求a；

（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

3 / 18 参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．

【解答】解：由x4，得0x16，M={x|x4}={x|0x16}，

由3x1，得xM11，N={x|3x1}={x|x}，

33N={x|0x16}{x|x11}={x|x16}．

33故选：D．

【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．

2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，再求出z+z．

1−i【解答】解：由i(1−z)=1，得1−z==2=−i，

i−iz=1+i，则z=1−i，

z+z=1+i+1−i=2．

故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

133．【分析】直接利用平面向量的线性运算可得CB=CD−CA，进而得解．

22【解答】解：如图，

CD=CA+AD=CA+1111DB=CA+(CB−CD)=CA+CB−CD，

222213CB=CD−CA，即CB=3CD−2CA=3n−2m．

22故选：B．

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．

4．【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．

【解答】解：140km2=140106m2，180km2=180106m2，

140106+180106+140106180106(157.5−148.5) 根据题意，增加的水量约为3(140+180+607)106=9

3(320+602.65)1063=14371061.4109m3．故选：C．

4 / 18 【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．

5．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．

【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有C72=21种方式，

其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，

故所求概率为故选：D．

【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．

142=．

2136．【分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与b值，可得函数解析式，则f()可求．

2【解答】解：函数f(x)=sin(x+)+b(0)的最小正周期为T，

4则T=2，由222T，得，23，

333，2)中心对称，b=2，

2y=f(x)的图像关于点(且sin(33+)=0，则+=k，kZ．

2244521=(k−)，kZ，取k=4，可得=．

23455f(x)=sin(x+)+2，则f()=sin(+)+2=−1+2=1．

222424故选：A．

【点评】本题考查y=Asin(x+)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．

7．【分析】构造函数f(x)=lnx+x1，x0，设g(x)=xex+ln(1−x)(0x1)，则x1(x2−1)ex+1g(x)=(x+1)e+=，令h(x)=ex(x2−1)+1，h(x)=ex(x2+2x−1)，利用导数性质由此能求出结x−1x−1果．

【解答】解：构造函数f(x)=lnx+则f(x)=11−，x0，

xx2 5 / 18

1，x0，

x当f(x)=0时，x=1，

0x1时，f(x)0，f(x)单调递减；

x1时，f(x)0，f(x)单调递增，

f(x)在x=1处取最小值f（1）=1，

lnx1−1，

xln0.91−111=−，−ln0.9，cb；

90.99−ln0.9=ln0.1e0.1101091，e0.1，

1−=9910101，ab；

9设g(x)=xex+ln(1−x)(0x1)，

1(x2−1)ex+1=则g(x)=(x+1)e+，

x−1x−1x令h(x)=ex(x2−1)+1，h(x)=ex(x2+2x−1)，

当0x2−1时，h(x)0，函数h(x)单调递减，

当2−1x1时，h(x)0，函数h(x)单调递增，

h(0)=0，当0x2−1时，h(x)0，

当0x2−1时，g(x)0，g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，

g(0.1)g(0)=0，0.1e0.1−ln0.9，ac，

cab．

故选：C．

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

8．【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R=3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得l2=2a212)，所以l2=6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2=12h−2h2，a+h2，又R2=(h−3)2+(222所以该正四棱锥体积V(h)=−h3+4h2，利用导数即可求出V(h)的取值范围．

3【解答】解：如图所示，正四棱锥P−ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，

设正四棱锥的底面边长为a，高为h，

在RtPAE中，PA2=AE2+PE2，即l2=(2a21)+h2=a2+h2，

22球O的体积为36，球O的半径R=3，

在RtOAE中，OA2=OE2+AE2，即R2=(h−3)2+(2a2)，

2 6 / 18 112a+h2−6h=0，a2+h2=6h，

2239，

h22l2=6h，又3l33，112该正四棱锥体积V(h)=a2h=(12h−2h2)h=−h3+4h2，

333V(h)=−2h2+8h=2h(4−h)，

当39时，V(h)0，V(h)单调递减，

h4时，V(h)0，V(h)单调递增；当4h22V(h)max=V（4）=64，

33272781981又V()=，V()=，且，

2442442764，

V(h)43即该正四棱锥体积的取值范围是[故选：C．

6427，]，

34

【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．

【解答】解：如图，

连接B1C，由A1B1//DC，A1B1=DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，

可得DA1//B1C，BC1⊥B1C，直线BC1与DA1所成的角为90，故A正确；

7 / 18 A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1B1C=B1，BC1⊥平面DA1B1C，而CA1平面DA1B1C，

BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90，故B正确；

设A1C1B1D1=O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，

sinC1BO=OC11=，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30，故C错误；

BC12CC1⊥底面ABCD，C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45，故D正确．

故选：ABD．

【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．

10．【分析】对函数f(x)求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f(x)+f(−x)=2，可判断选项C；假设y=2x是曲线y=f(x)的切线，设切点为(a,b)，求出a，b的值，验证点(a,b)是否在曲线y=f(x)上即可．

【解答】解：f(x)=3x2−1，令f(x)0，解得x−f(x)在(−,−3333或x，令f(x)0，解得−，

x33333333),(,+)上单调递增，在(−,)上单调递减，且3333f(−323+939−23)=0,f()=0，

3939f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；

又f(x)+f(−x)=x3−x+1−x3+x+1=2，则f(x)关于点(0,1)对称，故选项C正确；

3a2−1=2a=1a=−1假设y=2x是曲线y=f(x)的切线，设切点为(a,b)，则，解得或，

b=−2b=22a=b显然(1,2)和(−1,−2)均不在曲线y=f(x)上，故选项D错误．

故选：AC．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．

11．【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y=kx−1(k2)，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两根之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．

【解答】解：点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p0)上，

2p=1，解得p=1，

21抛物线C的方程为x2=y，准线方程为y=−，选项A错误；

4由于A(1,1)，B(0,−1)，则kAB=1−(−1)=2，直线AB的方程为y=2x−1，

1−0 8 / 18 y=2x−1联立2，可得x2−2x+1=0，解得x=1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；

x=y根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y=kx−1(k2)，与抛物线在第一象限交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

y=kx−1联立，消去y并整理可得x2−kx+1=0，则x1+x2=k，x1x2=1，2y=xy1y2=(kx1−1)(kx2−1)=k2x1x2−k(x1+x2)+1=1，

|OP||OQ|=x12+y12x22+y222x1y12x2y2=2x1x2y1y2=2=|OA|2，由于等号在x1=x2=y1=y2=1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；

|BP||BQ|=x12+(y1+1)2x2+(y2+1)2x12+4y1x22+4y2=5x125x22=5(x1x2)2=5=|BA|2，选项D正确．

故选：BCD．

【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

3312．【分析】由f(−2x)为偶函数，可得f(x)关于x=对称，可判断C；g(2+x)为偶函数，可得2253g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x=2对称，可判断D；由g()=0，g(x)关于x=2对称，可得g()=0，得到22x=51是f(x)的极值点，x=−也是极值点，从而判断B；f(x)图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确22定，从而判断A．

【解答】解：令x=3333f(−2x)为偶函数，可得f(−2x)=f(+2x)，f(x)关于x=对称，

222253535，可得f(−2)=f(+2)，即f(−1)=f（4），故C正确；

42424g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x=2对称，故D不正确；

f(x)关于x=33对称，x=是函数f(x)的一个极值点，

22333函数f(x)在(，t)处的导数为0，即g()=f()=0，

222535又g(x)的图象关于x=2对称，g()=g()=0，函数f(x)在(，t)的导数为0，

222x=53351是函数f(x)的极值点，又f(x)的图象关于x=对称，(，t)关于x=的对称点为(，t)，

222221511是函数f(x)的极值点可得x=是函数f(x)的一个极值点，g()=f()=0，

2222由x=7317进而可得g()=g()=0，故x=是函数f(x)的极值点，又f(x)的图象关于x=对称，

222231711(，t)关于x=的对称点为(−，t)，g(−)=f()=0，故B正确；

22222 9 / 18 f(x)图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故A错误．

解法二：构造函数法，

3令f(x)=1−sinx，则f(−x)=1+cos2x，则g(x)=f(x)=−cosx，

2g(x+2_=−cos(2+x)=−cosx，

满足题设条件，可得只有选项BC正确，

故选：BC．

【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【分析】由题意依次求出(x+y)8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．

【解答】解：(x+y)8的通项公式为Tr+1=C8rx8−ryr，

当r=6时，T7=C86x2y6，当r=5时，T6=C85x3y5，

8!y8!5(1−)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为C86−C8=−=28−56=−28．

6!2!5!3!x故答案为：−28．

【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．

14．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．

【解答】解：圆x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径r1=1，

圆(x−3)2+(y−4)2=16的圆心坐标为C(3,4)，半径r2=4，

如图：

|OC|=r1+r2，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．

kOC=334，l1的斜率为−，设直线l1:y=−x+b，即3x+4y−4b=0，

443由|−4b|5，则l1:3x+4y−5=0；

=1，解得b=（负值舍去）454x对称，

3由图可知，l2:x=−1；l2与l3关于直线y= 10 / 18 x=−14联立4，解得l2与l3的一个交点为(−1,−)，在l2上取一点(−1,0)，

y=x33y04x0−1=2322474该点关于y=x的对称点为(x0，y0)，则，解得对称点为(，−)．

25253y0=−34x0+1244+253=7，则l:y=7(x+1)−4，即7x−24y−25=0．

kl3=3724243+125−与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程为：

x=−1（填3x+4y−5=0，7x−24y−25=0都正确）．

故答案为：x=−1（填3x+4y−5=0，7x−24y−25=0都正确）．

【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

15．【分析】设切点坐标为(x0，(x0+a)ex0)，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得x02+ax0−a=0，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由△0即可求出a的取值范围．

【解答】解：y=ex+(x+a)ex，设切点坐标为(x0，(x0+a)ex0)，

xx切线的斜率k=e0+(x0+a)e0，

xxx切线方程为y−(x0+a)e0=(e0+(x0+a)e0)(x−x0)，

又切线过原点，−(x0+a)ex0=(ex0+(x0+a)ex0)(−x0)，

整理得：x02+ax0−a=0，

切线存在两条，方程有两个不等实根，

△=a2+4a0，解得a−4或a0，

即a的取值范围是(−，−4)(0，+)，

故答案为：(−，−4)(0，+)．

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．

16．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．

x2y21【解答】解：椭圆C:2+2=1(ab0)的离心率为，

ab2x2y2不妨可设椭圆C:2+2=1，a=2c，

4c3cC的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，

△AF1F2为等边三角形，

过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，

11 / 18 kDE=tan30=3，

3由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，

设直线DE方程为y=3(x+c)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，

3将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx−32c2=0，

32c28c由韦达定理可得，x1+x2=−，x1x2=−，

131318c2128c24813|DE|=k+1|x1−x2|=k+1(x1+x2)−4x1x2=+1(−)+=c=6，解得c=，

83131313222由椭圆的定义可得，ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=8故答案为：13．

13=13．

8【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；

（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．

【解答】解：（1）已知a1=1，{所以Sn1}是公差为的等差数列，

3anSn12112=1+(n−1)=n+，整理得Sn=nan+an，①，

33an33312故当n2时，Sn−1=(n−1)an−1+an−1，②，

331111①−②得：an=nan−nan−1−an−1，

3333故(n−1)an=(n+1)an−1，

化简得：aaan34an+1n，n−1=，........，3=，2=；

=a22a11an−1n−1an−2n−2所以ann(n+1)=，

a12n(n+1)（首项符合通项）．

2故an=所以an=n(n+1)．

2n(n+1)，

2证明：（2）由于an=所以1211==2(−)，

ann(n+1)nn+1111111111++...+=2(1−+−+...+−)=2(1−)2．

a1a2an223nn+1n+1 12 / 18

所以【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

18．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．

（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．

【解答】解：（1）cosAsin2B，1+cos2B=2cos2B0，cosB0．

=1+sinA1+cos2BcosA2sinBcosBsinB，

==1+sinA2cos2BcosB化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，

cos(B+A)=sinB，

−cosC=sinB，C=2，

3sinB=0B1，

23，B=6．

（2）由（1）可得：−cosC=sinB0，cosC0，C(，)，

2C为钝角，B，A都为锐角，B=C−sinA=sin(B+C)=sin(2C−2．

2)=−cos2C，

a2+b2sin2A+sin2Bcos22C+cos2C(1−2sin2C)2+(1−sin2C)2+4sin4C−5sin2C2=====+4sin2C−5224−5=42−5，当且仅当222222csinCsinCsinCsinCsinCsinC=142时取等号．

a2+b2的最小值为42−5．

2c【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；

（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A−BD−C的正弦值．

14【解答】解：（1）由直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，可得VA1−ABC=VA1B1C1−ABC=，

33设A到平面A1BC的距离为d，由VA1−ABC=VA−A1BC，

1S3A1BCd=144，22d=，解得d=2．

333AA1=AB，四边形为正方形， （2）连接AB1交A1B于点E，AB1⊥A1B，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC平面ABB1A1=A1B，

13 / 18 AB1⊥平面A1BC，AB1⊥BC，

由直三棱柱ABC−A1B1C1知BB1⊥平面ABC，BB1⊥BC，又AB1BC⊥平面ABB1A1，BC⊥AB，

BB1=B1，

以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

AA1=AB，BC2AB11=22，又ABBCAA1=4，解得AB=BC=AA1=2，

22则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(2，0，0)，A1(0，2，2)，D(1，1，1)，

则BA=(0，2，0)，BD=(1，1，1)，BC=(2，0，0)，

设平面ABD的一个法向量为n=(x，y，z)，

nBA=2y=0则，令x=1，则y=0，z=−1，

nBD=x+y+z=0平面ABD的一个法向量为n=(1，0，−1)，

设平面BCD的一个法向量为m=(a，b，c)，

mBC=2a=0，令b=1，则a=0，c=−1，

mBD=a+b+c=0平面BCD的一个法向量为m=(0，1，−1)，

cosn，m=122=1，

213二面角A−BD−C的正弦值为1−()2=．

22【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．

20．【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．

（2）(i)根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；

（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．

【解答】解：（1）补充列联表为：

病例组

对照组

合计

不够良好

40

10

50

良好

60

90

150

14 / 18

合计

100

100

200 200(4090−1060)2计算K==246.635，

100100501502所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．

P(AB)（2）(i)证明：R=P(B|A):P(B|A)=P(B|A)P(B|A)=P(A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)==P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A|B)P(A|B)；

P(B)=P(AB)P(A|B)P(A|B)P(B)（ⅱ）利用调查数据，P(A|B)=P(A|B)=1−P(A|B)=9，

101040213，P(A|B)=1−P(A|B)=，==，P(A|B)=1所以R=510=6．

31510【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．

x221．【分析】（1）将点A代入双曲线方程得−y2=1，由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，与双曲线联2立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为，由tanPAQ=22，得y1−1x12PAQ2=2，及−y12=1，根据三角形面积公式即可求解． ，联立tan=x1−2222【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得42241−=1，

22aa−1x2化简得a−4a+4=0，a=2，故双曲线方程为−y2=1，

2由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1，y1)Q(x2，y2)，

则联立双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，

2m2+24km故x1+x2=−2，x1x2=，

2k2−12k−1kAP+kAQ=y1−1y2−1kx1+m−1kx2+m−1+=+=0，

x1−2x2−2x1−2x2−2化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，

2k(2m2+2)4km+(m−1−2k)(−)−4(m−1)=0， 故2k2−12k2−1即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1；

（2）设直线AP 的倾斜角为，由tanPAQ=22，

PAQPAQ22=22，得tan

=222PAQ1−tan22tan由2+PAQ=，=−PAQ2，

15 / 18 得kAP=tan=2，即y1−1=2，

x1−2y1−1x1210−4242−5联立，

=2，及−y12=1 得x1=,y1=x1−2332代入直线l 得m=x1+x2=5，故

32068

,x1x2=39而|AP|=3|x1−2|,|AQ|=3|x2−2|，由tanPAQ=22，得sinPAQ=SPAQ=1162．

|AP||AQ|sinPAQ=2|x1x2−2(x1+x2)+4|=2922 故

3【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．

22．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f(x)和g(x)的单调性，从而求得f(x)和g(x)的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；

（2）由a的值可求得函数f(x)与函数g(x)的表达式，对函数f(x)与函数g(x)在(0,+)上的大小进行比较，可作出曲线函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象，根据该图象可确定直线y=b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．

【解答】解：（1）f(x)定义域为R，

f(x)=ex−ax，

f(x)=ex−a，

若a0，

则f(x)0，f(x)无最小值，

故a0，

当f(x)=0时，x=lna，当g(x)=0时，x=1，

a当xlna时，f(x)0，函数f(x)在(−,lna)上单调递减，

当xlna时，f(x)0，函数f(x)在(lna,+)上单调递增，

故f(x)min=f(lna)=a−alna，

g(x)的定义域为(0,+)，

g(x)=ax−lnx，

g(x)=a−1，

x1，

a令g(x)=0，解得x=当0x11时，g(x)0，函数g(x)在(0,)上单调递减，

aa 16 / 18 当x11时，g(x)0，函数g(x)在(，+)上单调递增，

aa故g(x)min=1+lna，

函数f(x)=ex−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值

a−alna=1+lna，

a0，

a−alna=1+lna化为lna−a−1=0，

a+1令h(x)=lnx−x−1，x0，

x+11x+1−(x−1)12x2+1则h(x)=−，

=−=x(x+1)2x(x+1)2x(x+1)2x0，

x2+1h(x)=0恒成立，

x(x+1)2h(x)在(0,+)上单调递增，

又h（1）=0，

h（a）=h（1），仅有此一解，

a=1．

（2）证明：由（1）知a=1，函数f(x)=ex−x在(−,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，

函数g(x)=x−lnx在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，

设u(x)=f(x)−g(x)=ex−2x+lnx(x0)，

则u(x)=ex−2+1ex−2，当x1时，u(x)e−20，

x所以函数u(x)在(1,+)上单调递增，因为u（1）=e−20，

所以当x1时，u(x)u（1）0恒成立，即f(x)−g(x)0在x1时恒成立，

所以x1时，f(x)g(x)，

因为f(0)=1，函数f(x)在(0,+)上单调递增，g（1）=1，函数g(x)在(0,1)上单调递减，

所以函数f(x)与函数g(x)的图象在(0,1)上存在唯一交点，设该交点为(m，f(m))(0m1)，

此时可作出函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象，

17 / 18 由图象知当直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时，

直线y=b必经过点M(m，f(m))，即b=f(m)，

因为f(m)=g(m)，所以em−m=m−lnm，即em−2m+lnm=0，

令f(x)=b=f(m)得ex−x=em−m=m−lnm，解得x=m或x=lnm，由0m1，得lnm0m，

令g(x)=b=f(m)得x−lnx=em−m=m−lnm，解得x=m或x=em，由0m1，得m1em，

所以当直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时，

从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，

因为em−2m+lnm=0，所以em+lnm=2m，

所以lnm，m，em成等差数列．

存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．

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