集合论与第三次数学危机

2024年3月28日发(作者：一年语文上数学试卷)

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集合论与第三次数学危机

作者：李长杉

来源：《学周刊·C》2013年第01期

数学的产生和发展，始终与人类社会的生产和生活有着密不可分的联系。在新教材中，任

何一个新概念的引入，都特别强调它的现实背景、数学理论发展背景或数学发展的历史背景，

只有这样才能让学生感到知识发展水到渠成。所以特别希望在教学中能不时渗透数学史的相关

知识，充分发挥和利用数学史的教育价值，使学生通过了解数学史，而更加全面更加深刻地理

解数学、感悟数学。

一、集合论的诞生

一般认为，集合论诞生于1873年底。1873年11月29日，康托尔（，1845-

1918）在给戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831—1916）的信中提问“正整数

集合与实数集合之间能否一一对应起来？”这是一个导致集合论产生的大问题。几天后，康托

尔用反证法证明了此问题的否定性结果，“实数是不可数集”，并将这一结果以标题为《关于全

体实代数数集合的一个性质》的论文发表在德国《克莱尔数学杂志》上，这是“关于无穷集合

论的第一篇革命性论文”，在其系列论文中，他首次定义了集合、无穷集合、导集、序数、集

合运算等，康托尔的这篇文章标志着集合论的诞生。

二、集合论成为现代数学大厦的基础

康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论，他处理了数学上最棘手的对象—

—无穷集合，让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神

家园。它的概念和方法渗透到了代数、拓扑和分析等许多数学分支，甚至渗透到物理学等其他

自然学科，为这些学科提供了奠基的方法。几乎可以说，没有集合论的观点，很难对现代数学

获得一个深刻的理解。

集合论诞生的前后20年里，经历千辛万苦，但最终获得了世界的承认，到了20世纪初，

集合论已经得到数学家们的普遍赞同，大家一致认为，一切数学成果都可以建立在集合论的基

础之上了，简言之，借助集合论的概念，便可以建立起整个数学大厦，就连集合论诞生之初强

烈反对的著名数学家庞加莱（Jules Henri Poincaré，1854-1912）也兴高采烈地在1900年的

第二次国际数学家大会上宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们

可以说绝对的严格性已经达到了。”然而，好景不长，一个震惊数学界的消息传出，集合论是

有漏洞的！如果是这样，则意味着数学大厦的基础出现了漏洞，对数学界来说，这将是多么可

怕啊！

三、罗素（Bertrand Russell，1872－1970）悖论导致第三次数学危机

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1903年，英国数学家罗素在《数学原理》一书上给出一个悖论，很清楚地表现出集合论

的矛盾，从而动摇了整个数学的基础，导致了数学危机的产生，史称“第三次数学危机”。

罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R，现在问R是否属于

R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不属于自身，即R不属于R。另一方面，如果

R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R，这样，不论任何情况

都存在矛盾，这就是有名的罗素悖论（也称理发师悖论）。

罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础，也波及到了逻辑领域，德国的著名逻辑学家弗

里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时，收到了罗素关于这一悖论的信，他立刻发

现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟，他只能在自己著作的末尾写

道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的

基础崩溃了。”这样，罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科——数学和逻辑

学。

四、消除悖论，化解危机

罗素悖论的存在，明确地表示集合论的某些地方是有毛病的，由于20世纪的数学是建立

在集合论上的，因此，许多数学家开始致力于消除矛盾，化解危机。数学家纷纷提出自己的解

决方案，希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这

就需要建立新的原则。

在20世纪初，大概有两种方法。一种是1908年由数学家策梅洛（Zermelo，Ernst

Friedrich Ferdinand，1871～1953）提出的公理化集合论，把原来直观的集合概念建立在严格

的公理基础上，对集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，从而避免悖论的出现，这就是集

合论发展的第二阶段：公理化集合。

解铃还须系铃人，在此之前，危机的制造者罗素在他的著作中提出了层次的理论以解决这

个矛盾，又称分支类型化。不过这个层次理论十分复杂，而策梅洛则把这个方法加以简化，提

出了“决定性公理（外延公理）、初等集合公理、分离公理组、幂集合公理、并集合公理、选

择公理和无穷公理”，通过引进这七条公理限制排除了一些不适当的集合，从而消除了罗素悖

论产生的条件。后来，策梅洛的公理系统又经其他人，特别是弗兰克尔（el）和斯

科伦（）的修正和补充，成为现代标准的“策梅洛——弗兰克尔公理系统（简称ZF系

统）”，这样，数学又回到严谨和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支——《基础数

学》迅速发展。

五、危机的启示

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从康托尔集合论的提出至今，时间已经过去了一百多年，数学又发生了巨大的变化，而这

一切都与康托尔的开拓性工作密不可分，也和数学家们的艰辛努力密不可分。从危机的产生到

解决，我们可以看到，数学的发展跟提出问题和面对困难是离不开的，期间要经历无数的挫折

和失败，但是只要坚持，终会走向成功。

矛盾的消除，危机的化解，往往给数学带来新的内容，新的变化，甚至革命性的变革，这

也反映出矛盾斗争是事物发展的历史性动力的基本原理。正如数学家克莱因

（FelixChristianKlein1849－1925）在《数学——确定性丧失》中说：“与未来的数学相关的不

确定性和可疑，将取代过去的确定性和自满，虽然这次悖论已经找到解释，危机也已化解，但

是更多的还是未知，因为只要仔细分析，矛盾又将会被认识更为深刻的研究者发现，这种发现

不应该被认为是‘危机’，而应该感到，下一个突破的机会来到了。”

参考文献：

1.《普通高中课程标准实验教科书——数学必修1》教师教学用，人民教育出版社

2.胡作玄，《第三次数学危机》

【责编 金 东】