2024年3月21日发(作者：四会小升初数学试卷)
中等数学
２０ １ ７年湖南省高中数学联合竞赛
中图分类号：Ｇ４２４．７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４１６（２０１８）０５—００２０—０６
一
、
选择题（每小题５分，共３０分）
（Ｄ）（ ， ，Ｗ） Ｓ，且（ ， ，Ｗ） Ｓ
２．已知Ｐ为正三棱柱ＡＢＣ—Ａ Ｂ Ｃ 的上
底面△ Ｂ。Ｃ 的中心，作平面ＢＣＤ上ＡＰ，
１．设集合Ｘ＝｛１，２，…，２ ０１７｝，
Ｓ＝｛（ ，ｙ， ）Ｉｘ、Ｙ、 ∈ｘ，且条件
＜Ｙ＜ ，Ｙ＜ ＜ ， ＜ ＜Ｙ
与棱 交于点 ．若ＡＡ ＝２ＡＢ＝２，则三棱
）．
中恰有一个成立｝．
锥Ｄ—ＡＢＣ的体积为（
若（ ，ｙ，ｚ）∈Ｓ，且（ ，Ｗ， ）∈Ｓ，则下列
选项正确的为（ ）．
（Ａ）（Ｙ， ，Ｗ）∈Ｓ，且ｘ，Ｙ，Ｗ） Ｓ
（Ｂ）（Ｙ， ，Ｗ）∈５，且（ ，Ｙ，Ｗ）∈Ｓ
（ｃ）（Ｙ， ，Ｗ） Ｓ，且（ ，Ｙ，Ｗ）∈Ｓ
（Ａ） （Ｂ）会 （ｃ） （Ｄ）
２
，
２
３·已知椭圆ｃ：等＋ ＝１．对于任意实
数ｋ，椭圆Ｃ被下列直线中所截得弦长，与被
有两条边，故图Ｇ中最多含有
３＋２ Ｘ ６＋２＋２×３＋２＝２５
Ｇ的一个３一团，令Ｂ＝Ｖ＼Ａ＝｛Ｖ ， ，…，Ｖ ｝．
则集合 中含有三条边，集合 中的每个点
最多与Ａ中的两个点相连，否则，图Ｇ中就
会产生一个４一团．
条边，与题设矛盾．
若ｅ ＝０，则集合Ｂ 、Ｂ：中均不含边，且
Ｂ 和 之间也没有边相连（否则，与Ｂ 的取
法矛盾），故图Ｇ中最多含有
３＋２ Ｘ ６＝１５
若集合曰中仍包含一个３一团，不妨设为
Ｂ１＝｛Ｖ４， ５，Ｖ６｝．取Ｂ２＝Ｂ＼Ｂ１：｛ ７，Ｖ８， ９｝．类
似地，集合 中的每个点最多与集合Ｂ 中
的两个点相连，而 中最多含有三条边．故
图Ｇ中最多含有
３＋２×６＋３＋２×３＋３＝２７
条边，同样与题设矛盾．
（２）若Ｗ＝２，则在图Ｇ中必然存在这样
的三个点 １、 ２、 ３，使得１）１Ｖ２、１）１ ３∈Ｅ，但
）１２ Ｅ（否则，由于Ｗ＝２，图Ｇ最多含有四
条边，与题设矛盾．
若集合Ｂ中不含３一团，则在Ｂ中取这
样的三个点，不妨记为 、 、 ，使得集合
Ｂ ：｛Ｖ ， ，Ｖ ｝是集合Ｂ的所有三元子集中
包含边数最多的．设该边数为８ ，则０≤ｅ ≤２．
取Ｂ２＝Ｂ＼Ｂ１＝｛ ７， ８，Ｖ９｝．
若ｌ≤ｅ ≤２，则集合曰 中的每个点最多
与集合Ｂ 中的两个点相连（否则，日中会产
生一个３～团，与假设矛盾）．而 中最多含
条边，与题设矛盾）．
接下来，在图Ｇ中新增加一条边１）２）１ ，得
到一个新图Ｇ ，则Ｇ 的团数Ｗ ＝３．由（１）的
证明，图Ｇ 最多含有２７条边，从而，图Ｇ最
多含有２７—１＝２６条边，同样与题设矛盾．
因此，图Ｇ中必然含有一个４一团，即必
然有四名选手，他们之问均互相比赛过．
（曹湘江提供）
２０１８年第５期 ２１
直线Ｚ：Ｙ＝ ＋１所截得的弦长不可能相等
的为（ ）．
１０·记ｓ ！（、： ｋ １１面 －１ ： ／
Ｓ２ ０１７＝
——
（Ａ） ＋Ｙ＋ｋ＝０
（Ｃ） ＋Ｙ—ｋ＝０
（Ｂ） 一Ｙ一１＝０
（Ｄ） ＋Ｙ一２＝０
．
１１．设０≤ ≤７ｃ，且
４．对任意正整数 、ｋ（ｋ≤ ），用ｆ（ ，ｋ）
３ｓｉｎ ： 面
则ｔａｎ ＝Ｊ．
一√Ｔ ．
表示不超过ｌ ｎ ｌ（［ ］表示不超过实数 的
最大整数）且与ｎ互素的正整数的个数．则
．
厂（１００，３）的值为（ ）．
（Ａ）１ １ （Ｂ）１３ （Ｃ）１４ （Ｄ）１９
５．若三角形ｓ的三个内角的余弦值分别等
于三角形 的三个内角的正弦值，则（ ）．
（Ａ）．ｓ、 均为锐角三角形
（Ｂ）．ｓ、 均为钝角三角形
（ｃ） 为锐角三角形， 为钝角三角形
（Ｄ）．ｓ为钝角三角形， 为锐角三角形
６．如图１，将石子摆成梯形形状，称具有
“梯形”结构的石子数依次构成的数列｛ａ ｝：
５，９，１４，２０，…为“梯形数列”．据“梯形”的构
成，知ａ 的值为（ ）．
图１
（Ａ）１６６ ２４７ （Ｂ）１９６ ２４８
（Ｃ）１９６ ２４９ （Ｄ）１９６ ２５０
二、填空题（每小题８分，共４８分）
７．已知函数 ）满足：
ｍ＋ ）＝．厂（ｍ） ｒｔ）， １）＝３．
则 ＝
８．已知Ａ、Ｂ、Ｃ为ｏＯ上三点，且
Ａ—Ｏ
：＝
÷（
（
＋Ａ
＋ ）．
—Ｃ）
．
则数量秕———Ｂ·——｝—ＡＣ＝ ————
９．已知 ∈Ｃ．若关于 的方程
４ 一８ ＋４ ｉ＋３：０
有实数根．则 的最小值为
１２．设函数ｆ（ ）为定义在区间（一∞，０）
上的可导函数，其导函数为－厂 （ ），且２ｆ（ ）
＋ （ ）＞ ．贝０
（ ＋２ ０１７） ＋２ ０１７）一 一１）＞０
的解集为——．
三、解答题（共７２分）
１３．（１６分）在锐角△ ｃ中，ｓｉｎ Ａ＝竽，
且ａ，ｂ、Ｃ为 、 Ｂ、 Ｃ的对边．
（１）求ｓｉｎ ２（Ｂ＋ｃ）＋ｓｉｎｚ生 的值；
（２）若０＝４，试求当 ·ＡＣ取得最大值
时，△ＡＢＣ的面积Ｓ的值．
１４．（１６分）已知数列｛ａ ｝满足：
。 ：２，ｎ ＋，：一 （ｎ∈ｚ＋），
其中，ｓ 为｛ａ ｝的前ｎ项和．
（１）证明：｛ ）为等差数列；
（２）对任意的ｌ＂ｂ，均有
Ⅱ（ｓ ＋１）≥ ，
试求ｋ的最大值．
１５．（２０分）已知口、６∈Ｒ＋且ａ≠ｂ．
（１）证明：何＜
＜ ；
ｌｎ
ａ
—ｌｎ Ｄ
（２）若ａ，ｂ为 ）＝ｌｎ 一 的两个
零点，证明：ａｂ＞ｅ ．
１６．（２Ｏ分）如图２，ＡＢ为椭圆
＋妒＝１（ｍ、ｎ＞０，ｍ＃ｎ）
２２ 中等数学
上斜率等于１的弦，ＡＢ的垂直平分线与椭圆
交于点Ｃ、Ｄ．证明：
（１）Ｉ ＣＤ Ｉ ２ ｌＡＢ Ｉ ＝４ ＩＥＦＩ ；
Ｐ
肋： ＝
×
＝
孚，
（２） 、Ｃ、Ｂ、Ｄ四点共圆．
ｙ
ＡＤ＝
√
＝÷．
３－× １＝鱼
×１×
５
４８．
、一
故 Ｄ—Ａ ｃ＝寺ｓ Ｂｃ。ＡＤ
＝ ×
Ｉ １
ＡＸｅ
． ＼
＼、
、－－．＿
～
２
参考答案
——
、
１．Ｂ．
由（ ，ｙ，Ｚ）∈Ｓ，知
＜Ｙ＜ｚ，ｙ＜ ＜ ， ＜ ＜Ｙ
恰有一个成立．
由（ｚ，Ｗ， ）∈Ｓ，知
２＜Ｗ＜ ， ＜ ＜ｚ， ＜ｚ＜Ｗ
恰有一个成立．
不妨设 ＜Ｙ＜ ，则
＜Ｙ＜ ＜Ｗ或Ｗ＜ ＜Ｙ＜ｚ．
无论哪种情况，均有
（ｙ，ｚ，Ｗ）∈Ｓ，且（ ，Ｙ，Ｗ）∈Ｓ．
２．Ａ．
如图３，设平面ＡＡｌＰ
与边ＢＣ、Ｂ Ｃ。分别交于
点Ｅ、Ｅ。．
在矩形ＡＥＥ１Ａ１中，
ＡＡｌ＝２，
／４ ： ｌＥ１：鱼
２，
ＡｌＰ＝鱼
３．
图３
由Ａ Ａ１
ＡＰ
＝
，
得
对于选项（Ａ），当ｋ＝１时，椭圆Ｃ被直
线 ＋Ｙ＋ｋ＝０所截得的弦长与被Ｚ所截得
的弦长相等；
对于选项（Ｂ），当ｋ＝０时，椭圆ｃ被直
线ｋｘ—Ｙ一１＝０所截得的弦长与被Ｚ所截得
的弦长相等；
对于选项（Ｃ），当ｋ＝一ｌ时，椭圆Ｃ被直
线 ＋Ｙ—ｋ＝０所截得的弦长与被Ｚ所截得
的弦长相等．
由【 ］＝３３，知所求为１￣］１３３中与１ｏ０
互素的正整数的个数．先去掉所有偶数，还剩
下ｌ７个奇数，再去掉其中５的倍数（共３个），
于是，所求为１４．
取特殊三角形：Ｓ各内角依次为６０。、
４５。、７５。， 各内角依次为３０。、１３５。、１５。．
显然满足：
ＣＯＳ ６０。＝ｓｉｎ ３０。，ＣＯＳ ４５。＝ｓｉｎ １３５。，
此时，Ｓ为锐角三角形， 为钝角三角形．
易知，此数列的各项依次为
ａ１＝２＋３，ａ２ ａ１＋４，ａ３＝ａ２＋５，…，
ａ ＝ａ
一
ｌ＋（ｎ＋２）．
故ｎ ：÷（凡＋２）（ｎ＋３）一１
２０１８年第５期
＝ 口６２４＝１９６ ２５０．
二、７．２４．
注意到，符合
ｍ＋ｎ）＝ ｍ）厂（ｎ）， １）＝３
的函数原型为指数函数Ｙ＝３ ．
故 ＝
壹
．
ｋ
＝ｌ
８．Ｏ．
设ＡＤ为ｏ０的直径，联结ＤＢ、ＤＣ．则由
题给等式得 Ｄ＝ＡＢ＋ＡＣ．————－＇－——— ———
故四边形ＡＢＤＣ为圆内接平行四边形，
即为矩形， ＢＡＣ＝９０。，ＡＢ‘·ＡＣ＝０．
９．１．
设ｚ＝口＋ｂ ｉ（口、ｂ∈Ｒ）， ＝‰为题给方
程的实数根．则
４ 一８（０＋ｂ ｉ）ｘｏ＋４ ｉ＋３＝０
ｆ４ｘ 一８ａｘｏ＋３＝０，
＝
【一８ｂｘｎ＋４：０．
消去‰整理得
３ ４ １＝０ 口＝ ．
ｉ￣ｌ ｚｌ ｚ＝ａ２＋ｂｚ＝（
＝
篙 去＋ ３一＞５ ＋ ３＿１’
当且仅当６＝± 时，上式等号成立．
１０·一 ·
由 由丽 一丽＝ 一 丽，，得
．ｓ 圳（ （ １一 ）一 ）
＝ｎ！ １
（／Ｉ＋１）！
）＝一 ．
故ｓ ＝一 ．
１１．０．
注意到，已知等式可化为
９ｓｉｎｚ詈＝２—２蕊＝２—２１ ｅ Ｉ．
若０≤ ≤詈，则
９ｓｉｎ２詈＝２—２ｃ。ｓ ＝４ｓｉｎ２詈
ｓｉｎ等＝０ ｔａｎ ＝ｏ；
若 ＜ ≤ ，则
９ｓｉｎ２等＝２＋２ｃ。ｓ ＝４ｃｏｓ２詈
ｊ ｔａｎ詈＝ ２＜ｌ（不合要求，舍去）．
故ｔａｎ ＝０．
１２．（一∞，一２ ０１８）．
将原不等式化为
（ ＋２ ０１７）２／ｇ（Ｘ＋２ ０１７）＞（一１）２７＾（一１）． ①
构造Ｆ（ ）＝ ＰＣ），使得式①化为
Ｆ（ ＋２ ０１７）＞Ｆ（一１）． ②
由已知条件２厂（ ）＋矿 （ ）＞ 两边同乘
以ＰＣ（ ＜０），得
Ｆ （ ）＝２ 厂（ ）十戈 （ ）＜ ＜ｏ．
故Ｆ（ｘ）在区间（一∞，０）上为减函数．
由式②得
＋２ ０１７＜一１＝ ＜一２ Ｏ１８．
因此，不等式的解集为（一∞，一２ ０１８）．
三、１３．（１）由题意知ｃｏｓ ＝言．
故ｓｉｎ ２（ｇ＋ｃ） ｎ 半
：ｓｉｎ（２兀一２ ）＋ ＿＝＿里 旦
：一
２ｓｉｎ Ａ ｓ Ａ＋
×
竽× ＋ ：４５ －８４￣－。
（２）易知，Ａ／｝· ＝６ｃｃ。ｓ ＝９ｂｃ．
由余弦定理得
１６＝ａ２＝ｂ ＋Ｃ２—２ｂｃｃ０ｓ Ａ
＝６
６
ｂ Ｃ２
一２ｂ
一
９ｂｃ≥２６ｃ一９
ｃ≥２６ｃ—
ｂｃ＝９
ｃ＝
～ｂ
＝
＂
ｃ
ｊ ｂｅ≤９．
当且仅当ｂ＝ｃ＝３时，以上各式等号均
成立．
故Ｊｓ＝ １ ６ｃｓｉｎ ４≤ １×９×竽＝２ ．
１４．（１）当ｎ≥１时，由条件得
ｓ ：一
ｓ川一 ： ．
故 一 ＝ 一
又 ＝ －１＇则｛ ）是首项、
公差均为１的等差数列．
（２）由（１）知
＝ｎ ｊ Ｓ．－ ｎ＋１
．
由条件得
≤（ 宜ｃ ｓ
记 ）＝
Ⅱ
（５ ＋１）·则
ｎ
ｉ＝ｌ
＝
．
厂（ｎ）
ａ １
＋
＝
（＋１）
ｎ
…
故 ） ｉ ： １）： ：３， 。 ：３．
１５．（１）由对称性，不妨设ａ＞ｂ＞０．
注意到，
ａ—ｂ ａ＋ｂ
，
ｌｎ ｎ—ｌｎ ｂ＼２
§ｌｎ ０一ｌｎ ｂ＞
中等数学
铮１ｎ ＞
２（詈一 ）
６
詈＋
构造函数
／．（ ）＝ｌｎ 一 三二 ｛ ＿）（ ＞１）．
）＝ ＞０．
于是，．厂（ ）在区间（１，＋ｃ一。）上为单调递
增函数．
取 ＝詈＞１，得 詈）＞０，即
ａ—ｂ ａ＋ｂ
＜丁‘
注意到，
√口６＜ 厂『 ａ—ｏ
锚１ｎ口一１ｎ ６＜
、／口６
ａ
一
１
钏ｎ詈＜ ·
√
构造函数
ｇ（ ）＝２ｌｎ 一（ 一÷）（ ＞１）．
贝０ ｇ （ ）＝一（ 一１） ＜ｏ．
于是，ｇ（ ）在区间（１，＋∞）上为单调递
减函数．
取 ＝詈＞１，得ｇ（詈）＜０，即
厂『 ａ—ｏ
￣／曲＜
综上， ＜
＜ ．
Ｉｎ ａ
一
ｌｎ Ｄ Ｚ
（２）由题意，只需证明
ｌｎ ０６＝ｉｎ ａ＋ｉｎ ｂ＞２．
沣煮 【．
２０１８年第５期
２ ０１７一
一
：
Ｉ．Ｊ１／
２ ０１７ｘ。
若 ＝２ ０１７，则 （ ）＝Ｏ；
与椭圆方程联立消去Ｙ，整理得
若 ∈（Ｏ，２ ０１７），￣１．１ｆ （ ）＞０，函
单调递增；
）
（…）Ｘ２一 ＋（ 一－）＝。．
若 ∈（２ ０１７，＋∞），￣１．１ｆ （ ）＜０，函数
）单调递减．
由对称性，不妨设ａ＞ｂ＞Ｏ，则
０＜ｂ＜２ ０１７＜ａ．
由条件知
ｌｎ。＝ 口且ｌｎ ６＝ ６．
再由（１）得２ ０１７＝ ＜ ．
故ｌｎ口６＝ｌｎ口＋ｌｎ ６＝丽１（。＋６）＞２
＝ ０ｂ＞ｅ２
．
１６．（１）设ＺＡ口： ＝ ＋ｔ，与椭圆方程联立
消去Ｙ，整理得
（ｍ＋ｎ）ｘ ＋２ｎｔｘ＋（ｎｔ 一１）：０．
由点Ａ、Ｂ存在，故ｍ＋ｎ＃Ｏ，且
△１＝４ｎ ｔ一４（ ＋ｎ）（ｎｔ 一１）
＝４（ｍ＋ｎ—ｍｎｔ ）＞Ｏ，
即ｔ ＜ ｍ＋
，ｎｎ
记Ａ（ 。，Ｙ１），Ｂ（ ２，Ｙ２），ＡＢ的中点为
Ｅ（ ｏ，Ｙｏ）． 于是，
２ ｔ ￡ 一１
１＋ ２
ｍ＋ｎ ．ＸＩ￣￣２＝
ｍ＋ｎ
则 ：一
ｍ＋ｎ’
Ｙｏ＝Ｘ０＋ｔ＝
ｍ＋ｎ
故ＩＡＢＩ＝
２
一
Ｉ ｍ＋ ｌ ‘
又ｌｃＤ：ｙ—
：一
１．ｆＩ ＋
ｍ＋ｒｔ ｍ＋ｎ
即
￣１１ Ａ２＝
一
（ｍ＋
ｎ
）一
４ｃ ｍ （ 一－）
＿４． ．
（ｍ＋ｎ Ｊ一
因为点Ｃ、Ｄ存在，所以，
△２＞。 ＜
记Ｃ（ ，Ｙ３），Ｄ（ ４，Ｙ４），ＣＤ的中点为
Ｆ（ｘ ，Ｙ ）． 于是，
３＋ ４ 一
（ 二 ）
一
（ ＋ｒｔ）
＝
等 ．
则 ＝一３＋ ４ ＝
ｎ（ｍ—ｎ）ｔ
２
（ｍ＋ｎ） ’
ｙ ＝一 ＋
二
ｍ
－
Ｉ－
兰ｎ ： ｆ － Ｉ－ ）
故ｌ ＣＤ Ｉ＝￣／２、
２ ＝
一
（ｍ＋ｎ） ’
ＥＦＩ ＝（ 。一 ） ＋（Ｙｏ一）， ）
８ｍ
一
（ｍ＋ ） ’
ＣＤ ＝
＿４ｌ ①
ｌ
ｍ
十
ｎ
Ｊ
（２）式①两边同除以４，变形得
１ ＣＤ－）２＝·衄ｈ－
即 ｌ ＦＣ Ｉ＝ｌ ＦＢ Ｉ．
由上，知Ｉ ＦＡ Ｉ＝Ｉ ＦＢ ｌ＝Ｉ ＦＣＩ＝ｌ ＦＤ Ｉ．
因此，Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ四点共圆．
（黄仁寿提供）
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